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高中数学新课标人教A版选修2-1:2.2.1-椭圆及标准方程-课件(共34张ppt)_图文

淡淡 的忧伤 我 把头埋 进天空 ,想要 去感受 你留下 的那份 淡淡的 忧伤。 ──题记 仿 佛在你 离开以 后,我 就忘了 我是谁 ,每天 默默地 看着天 空,没 有 人明白我 在想什 么。我 一直都 是这样 的孤单 ,过去 如此, 现在亦 如此, 只不过 你 的离开让 我平添 了一丝 忧伤而 已。 你说 你很喜 欢淡蓝 色,很 喜欢在 寂寞的 时 候看天空 ,很喜 欢像猫 一样静 静的享 受阳光 浴,我 抬头看 你,慢 慢地说 :“猫 ? ”我不喜 欢猫, 对它我 有一种 莫名的 恐惧, 我对周 围的一 切都怀 有深深 的抵触 , 我想如果 我是猫 ,也只 是一只 只想躲 在角落 里的不 起眼的 猫罢了 。 我也曾 经 庆幸我还 有你这 个好朋 友,但 是现在 你也不 在了, 空旷的 阳台只 有我单 薄的身 影 在寒冷的 风中孤 独,不 知道为 什么, 常常也 会和你 一样在 寂寞的 时候在 天空里 寻 找慰藉。 我们都 是很孤 独的孩 子,被 人们遗 忘,即 使某天 有人会 想起来 ,也只 能 摇摇头走 开。我 们又何 苦去奢 求哪怕 一点点 的关心 呢? 你说 过,蓝 色代表 忧 郁,可你 的幸运 色就是 蓝色, 你想要 改变吗 ?一定 要走, 可是你 的确是 换了一 个 人吗,到 底两个 人有什 么不好 ,安静 时一起 看天, 高兴时 说说话 ,真的 很怀恋 那
段时光, 你呢? 忘记了 吗,你 说我们 是永远 永远的 好朋友 ,要一 起哭, 一起笑 …… 还记得 我们
2.2 椭圆
2.2.1 椭圆及其标准方程

通过图片我们看到,在我们所生活的世界中, 随处可见椭圆这种图形,而且我们也已经知道了椭 圆的大致形状,那么我们能否动手画一个标准的椭 圆呢?

1.了解椭圆的实际背景,感受椭圆在刻画现 实世界和解决实际问题中的作用.(重点)
2.掌握椭圆的定义,会求椭圆的标准方程. (重点、难点)

实验操作
(1)取一条定长的细绳; (2)把它的两端都固定在图板的同一点处; (3)套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点)
画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段 距离,分别固定在图板的两点处套上铅笔,拉紧绳 子,移动笔尖,画出的轨迹是椭圆.

探究点1 椭圆的定义 根据刚才的实验请同学们回答下面几个题: 1.在画椭圆的过程中,细绳的两端的位置是固定的 还是运动的? 2.在画椭圆的过程中,绳子的长度变了没有?说明 了什么?

3.在画椭圆的过程中,绳子长度与两定点距离大小 有怎样的关系? 思考: 结合实验,请同学们思考:椭圆是怎样定 义的?

椭圆定义: 我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等
于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点. 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

【提升总结】
思考:在平面内动点M到两个定点F1,F2的距离之 和等于定值2a的点的轨迹是否一定为椭圆?

|MF1|+ |MF2|>|F1F2| |MF1|+ |MF2|=|F1F2| |MF1|+ |MF2|<|F1F2|

椭圆 线段 不存在

探究点2 椭圆的标准方程 根据椭圆的定义如何求椭圆的方程呢? 思考:求曲线的方程的基本步骤是什么呢?
(1)建系设点; (2)写出点集;
(3)列出方程; (4)化简方程;
(5)检验.

第一步: 如何建立适当的坐标系呢?

想一想:圆的最简单的标准方程,是以圆的两条相

互垂直的对称轴为坐标轴,椭圆是否可以采用类似

的方法呢?

y

y

M

F2

M

F1 O

F2 x

O

x

F1

方案一

方案二

设M(x, y)是椭圆上任意一点,椭圆的两个焦 点分别为F1和F2,椭圆的焦距为2c(c>0),M与F1和 F2 的距离的和等于2a(2a>2c>0) .
请同学们自己完成剩下的步骤,求出椭圆的方程.

解:以焦点F1,F2的所在直线为x轴,线段F1F2的垂直 平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy(如图).

设M(x, y )是椭圆上任意一点,椭圆 的焦距为2c(c>0),M与F1和F2的距离的 和等于正常数2a (2a>2c) ,则F1,F2 的坐标分别是(?c,0)、(c,0) .

y M
F1 O F2 x

由椭圆的定义得
| MF1 | ? | MF2 |? 2a.
因为 | MF1 |? ( x ? c)2 ? y2 ,| MF2 |? ( x ? c)2 ? y2 ,
所以 ( x ? c)2 ? y2 ? ( x ? c)2 ? y2 ? 2a.
移项,再平方
( x ? c)2 ? y2 ? 4a2 ? 4a ( x ? c)2 ? y2 ? ( x ? c)2 ? y2,
a2 ? cx ? a ( x ? c)2 ? y2 ,

两边再平方,得
a4 ? 2a2cx ? c2 x2 ? a2 x2 ? 2a2cx ? a2c2 ? a2 y2 ,

整理得 (a2 ? c2 )x2 ? a2 y2 ? a2(a2 ? c2 ),

两 边 同 除 以 a 2 (a 2 ? c 2 ), 得 :

x2

y2

a2 ? a2 ? c2 ? 1.

请看图片:你能从图中找出表示a, c, a2 - c2的线段吗?

解 : 令 b2 ? a 2 - c 2 (a ? b ? 0),

y
P

a a2 ? c2

F1

O c F2

x

所以椭圆的方程为 x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?

b?

0).

类似的也可以得到椭圆的方程

为 y2 a2

?

x2 b2

? 1(a

?

b

?

0).

1.我们把形如

x2 a2

?

y2 b2

? 1?a

?

b

?

0?的方程叫做椭圆的标准方程,

yM

它表示焦点在x轴上的椭圆.

F1 o F2 x

2.也把形如

y2 a2

?

x2 b2

? 1(a

?

b

?

0)叫做椭圆的标准方程,

y

它表示焦点在y轴上的椭圆.

F2 M
ox

F1

【提升总结】
椭圆的标准方程有哪些特征呢? (1)椭圆的标准方程的形式:左边是两个分式 的平方和,右边是1; (2)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大, 则焦点在哪一个轴上; (3)椭圆的标准方程中a,b,c满足a2=b2+c2.

例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),

(2,0),

并且经过点

(

5

,

?

3 )

.求它的标准方程.

22

解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设

它的标准方程为

x2 a2

?

y2 b2

?1

(a

?

b ? 0).

由椭圆的定义知

2a ? ( 5 ? 2)2 ? (? 3)2 ? ( 5 ? 2)2 ? (? 3)2 ? 2 10

2

2

2

2

所以 a ? 10 .
又因为 c ? 2,所以
b2 ? a2 ? c2 ? 10 ? 4 ? 6.
因此, 所求椭圆的标准方程为
x2 y2 ? ?1.
10 6

能用其他方 法求它的方
程吗?

另解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它

的标准方程为:

x2 y2 a2 ? b2 ? 1 (a ? b ? 0).

又∵焦点的坐标为 (?2,0),(2,0),

? a2 ? b2 ? 4. ①

又由已知

(

5 2

)2

a2

?

(?

3 2

)2

b2

? 1, ②

联立①②, 解 得 a 2 ? 10, b 2 ? 6

因此,

所求椭圆的标准方程为:

x2 ?

y2

?1 .

10 6

【变式练习】
已知椭圆经过两点 (? 3 , 5 ) 和 ( 3, 5 ) ,求椭圆的 22
标准方程.

解:设椭圆的标准方程为 m x2? n y2? 1 (m ? 0 ,n? 0 ,m ? n ),

则有

? ? ?

(?

3)2 2

m

?

(5)2 2

n

? 1,

解得

??( 3)2 m ? ( 5)2 n ? 1,

m

?

1 6

,n

?

1. 10

所以,所求椭圆的标准方程为 x 2 ? y 2 ? 1 . 6 10

例2 如图,在圆 x 2 ? y 2 ? 4上任取一点P,过点P
作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动

时,线段PD的中点M的轨迹是什么?为什么?

解:设点M的坐标为(x,y),点P的 坐标为(x0,y0),则

y
.P .M

x?

x0 , y ?

y0 2

,

因为点P(x0,y0)在圆

OD

x

x2 ? y2 ? 4上 , 所 以

x

2 0

?

y

2 0

?

4.



把点x0=x,y0=2y代入方程①,得

x 2 ? 4 y 2 ? 4,

从例2你能发



x2 ? y2 ? 1.

4

现椭圆与圆之 间的关系吗?

所以点M的轨迹是一个椭圆.

例3 如图,设点A,B的坐标分别是(-5,0)和(5,0),

直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是 ? 4 ,求
9
点M的轨迹方程.

解:设点M的坐标(x,y),因为

点A的坐标是(-5,0),所以,直

线AM的斜率为

A

k AM

?

y (x x?5

?

?5);

y M

B

O

x

同理,直线BM的斜率

kBM

?

x

y (x ?5

?

5).

由已知有

y ? y ? ? 4 ( x ? ?5), x?5 x?5 9

化简,得点M的轨迹方程为

x2 ? y2 ? 1( x ? ?5). 25 100
9

1.已知F1,F2是椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 的两个焦点, 25 9
过F1的直线交椭圆于M,N两点,则三角形

MNF2的周长为( B )

A.10

B.20

C.30

D.40

yM

F1 o

F2

x

N

2. (2013·广东高考)已知中心在原点的椭圆 C 的右 1
焦点为 F??? ?? ,离心率等于 2 ,则 C 的方程是( D )

x2 y2
A. 3 ? 4 ?1

C.

x2 4

?

y2 2

?1

B.

x2 4

?

y2 3

?1

D.

x2 4

?

y2 3

?1

2.椭圆的长轴是短轴的3倍,且过点A(3,0), 则椭圆的标准方程是_________.

答案:x2 ?y2?1或x2?y2=1

9

9 81

3.已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是 一个椭圆,它的焦距为2.4 m,外轮廓线 上的点到两个焦点的距离和为3 m, 求这个椭圆的标准方程.

解:以两个焦点F1,F2所在的直线为x轴,以线

段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,

则这个椭圆的标准方程为

y P

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0)
a2 b2

F1 O

F2 x

根据题意知,2a=3,2c=2.4,即a=1.5,c=1.2.所以

b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81,因此椭圆的标准方程为

x2

y2

? ? 1.

2.25 0.81

y



P



F1 o F 2 x

y

F2

P

ox
F1

定义
方程 焦点
a,b,c 的关系

{P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|}

x2 a2

?

y2 b2

?1

?a ? b ? 0?

y2 x2 a2 ? b2 ? 1

?a ? b ? 0?

F(±c,0)

F(0,±c)

b 2 ? a 2 ? c 2 (a,b,c中a最大)

每个人都有潜在的能量,只是很容易: 被习惯所掩盖,被时间所迷离,被惰性所消 磨.



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