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2016-2017学年湖北省武汉市第二中学高二上学期期末考试数学(理)试卷(带解析)


绝密★启用前

2016-2017 学年湖北省武汉市第二中学高二上学期期末考试 数学(理)试卷(带解析)
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题
+2

1.已知

= + (, 是实数) ,其中 是虚数单位,则 =(



A. -2 B. -1 C. 1 D. 3 2.设为等差数列{}的前项和,1 = ?2, 3 = 0,则{}的公差为( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.已知集合 = {1,2,3,4}, = {| = 2, ∈ }则 ∩ =( ) A. {2} B. {1,2} C. {2,4} D. {1,2,4}



? ? 1 ≤ 0 4. 在平面直角坐标系 中, 不等式组{ + ? 1 ≤ 0表示的平面区域的面积为 ( ≥ ?1



A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5.命题:甲的数学成绩不低于 100 分,命题:乙的数学成绩低于 100 分,则 ∨ (? )表 示 ( ) A. 甲、乙两人数学成绩都低于 100 分 B. 甲、乙两人至少有一人数学成绩低于 100 分 C. 甲、乙两人数学成绩都不低于 100 分 D. 甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于 100 分 6.我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题:今有北乡八千一百人, 西乡七千四百八十八人, 南乡六千九百一十二人, 凡三乡, 发役三百人, 则北乡遣 ( ) A. 104 人 B. 108 人 C. 112 人 D. 120 人 7.执行如图所示的程序框图,若分别输入 1,2,3,则输出的值的集合为 ( )

试卷第 1 页,总 5 页

A. {1,2}

B. {1,3}

C. {2,3}

D. {1,3,9} )

8.已知某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为(

A.

7 2

B.

14 3

C. 7

D. 14

9.设曲线 =

2 ? 2上的点到直线 ? ? 2 = 0的距离的最大值为,最小值为,则 ) C.
1 2 2

? 的值为 (
A.
2 2

B.

2

+1

D. 2 )

10.函数 = sin ? 的图象大致是(


A.

B.

C.

D.

11.已知的外接圆半径为 2,为该圆上的一点,且 + = ,则的面积的 最大值为 ( )
试卷第 2 页,总 5 页

A. 3

B. 4

C. 3 3

2

D. 4 3
2

12.已知双曲线: 2 ? 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为1 、2 , 为双曲线上一 点,为双曲线渐近线上一点,、均位于第一象限,且 = 2 , 1 ·2 = 0,则双 曲线的离心率为( ) A. 5?1 B. 3 C. 3+1 D. 5+1 13.已知tan = 2,则
sin+



2sin+cos

=__________.

试卷第 3 页,总 5 页

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 14 . 若 直 线 ( + 1) ? + 2 = 0 与 直 线 + ( ? 1) ? 1 = 0 平 行 , 则 实 数 的 值 为 __________. 15.已知 = 0是函数() = ( ? 2)(2 + 2 + 23 )的极小值点,则实数的取值范围 是__________. ? 16. 已知数列{}的前项和为, 且满足: 1 = 1, 2 = 2, + 1 = +2 ? +1 ( ∈ ), 若不等式 > 恒成立,则实数的取值范围是__________. 评卷人 得分 三、解答题


17.已知向量 = (sin, cos), = (cos( + 6) + sin, cos),函数() = ·. (1)求()的单调递增区间; (2)若 ∈ (0, 2)且cos( + 12) = 3,求(). 18.心理学家分析发现“喜欢空间想象”与“性别”有关,某数学兴趣小组为了验证此 结论,从全体组员中按分层抽样的方法抽取 50 名同学(男生 30 人、女生 20 人) ,给每 位同学立体几何题、代数题各一道,让各位同学自由选择一道题进行解答,选题情况统 计如下表: (单位:人) 立体几何题 男同学 女同学 总计 22 8 30 代数题 8 12 20 总计 30 20 50

1

(1)能否有 97.5%以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关? (2)经统计得,选择做立体几何题的学生正答率为5,且答对的学生中男生人数是女生 人数的 5 倍, 现从选择做立体几何题且答错的学生中任意抽取两人对他们的答题情况进 行研究,求恰好抽到男女生各一人的概率. 附表及公式:
4

(2 ≥ )

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

( ? )2 ( + )( + )( + )( + ) 19 .如图 , 在三棱柱 ? 1 1 1 中, 为 的中点, ⊥ 1 , ⊥ , ∠ 1 = 450 , = = 1 = 2. 2 =

试卷第 4 页,总 5 页

(1)证明:1 ⊥ ; (2)求点到平面1 的距离. 20.过椭圆: 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为1 、2 ,过2 且垂直于轴的直 线与椭圆相交于、两点,|| =
3 5 8 5 5

2

2

,点是椭圆上的动点,且cos∠ 1 2的最小值为



(1)求椭圆的方程; (2)过点(?2,0)的直线 与椭圆相交于 、 两点,求2 ·2 的取值范围. 21.已知函数() = ? + ( > 0, ∈ ). (1)求()的最值; (2)若函数()有两个不同的零点1 , 2 ,证明:1 + 2 < ?2ln. 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 中,直线 : {

= ( 为参数) ,以原点为极点,轴正半轴为极 = 5 + 2

轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为2 cos2 + 4 = 0. (1)写出曲线的直角坐标方程; (2)已知点(0, 5),直线 与曲线相交于点 、 ,求| + ||的值. | 23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数() = | ? | + | + |( > 0, > 0). (1)若 = 1, = 2,解不等式() ≤ 5; (2)若()的最小值为 3,求 + 的最小值.
2 2
1 1

试卷第 5 页,总 5 页

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参考答案 1.A 【解析】解析:由题设可得 + 2 = ? 1,则 = ?1, = 2,故 = ?2,应选答案 A。 2.B 【解析】由题设可得3 × (?2) + 3.B 【解析】解析:由题设可知 = { , 1, , 2},则 ∩ = {1,2},应选答案 B。
2 2 1 3 3× 2 2

= 0,解之得 = 2,应选答案 B。

4.B

【解析】

? ? 1 ≤ 0 画出不等式组{ + ? 1 ≤ 0表示的区域如图, 因|| = 2 ? (?2) = 4, 点(1,0)到直线 = ?1 ≥ ?1
的距离为 = 2,则其面积为 = 2 × 4 × 2 = 4,应选答案 B。 5.D 【解析】解析:由题设可知? :表示乙的数学成绩不低于 100 分,则 ∨ (? )表示甲、乙两 人至少有一人数学成绩不低于 100 分,应选答案 D。 6.B 【解析】解析:由题设可知这是一个分层抽样的问题,其中北乡可抽取的人数为 300 × 8100+7488+6912 = 300 × 22500 = 108,则 ∩ = {1,2},应选答案 B。 7.A 【解析】解析:当 = 1 时, 2 × 2 + 1 = 3 > 2 ,则输出 = log3 3 = 1 ;当 = 2 < 3 时, 2 × 2 + 1 = 9 > 2,则输出 = log3 9 = 2;当 = 3 > 2时,则输出 = log3 3 = 1,故输出的 数值构成的集合 = {1,2},应选答案 A 。 8.B
8100 8100 1

答案第 1 页,总 5 页

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【解析】 从三视图中提供的图形信息与数据信息可知该几何体是上下底都等腰直角三角形的 三棱台, 上底面积与下底面积分别为1 = × 2 × 2 = 1, 2 = × 2 2 × 2 2 = 4, 高 = 2,
2 2 1 1

故该几何体的体积 = 3 (1 + 4 + 1 × 4) × 2 = 3 ,应选答案 B。 9.C 【解析】 解析: 由题设可知这是一个半圆2 + ( ? 1)2 = 1上点到直线 ? ? 2 = 0的距离的 最大值和最小值问题, 因圆心(0,1)到直线 ? ? 2 = 0的距离 = 故 ? = 1 + 10.B 【解析】解析:因() = sin ? 是奇函数,且当 ∈ (? , 0)时,都有/ = cos +

2 1 2 2 3 2

1

14

, 则 =

4 2

, =

3 2

? 1,

,应选答案 B。



1

2

> 0,函

数() = sin ? 单调递增,故应选答案 B。 11.B 【解析】解析:由题设 + = 可知四边形是平行四边形,由圆内接四边形的性质 可知 ∠ = 900 ,且当 = 时,四边形 的面积最大,则 的面积的最大值为

1

max = 2 × sin900 = 2 × (2 2)2 = 4,应选答案 B。
12.A 【 解 析 】 设 ( , ), 1 (? , 0), 2 ( , 0) , 则 1 = ( + , ), 2 = ( ? , ) , 由 题 设


1

1

1 ? 2 = 0可得 2 ? 2 + 2 2 = 0,解之得 = ,故(, ),又由 = 2可知点是2中
点,则(
+
2 2

2

, ),代入双曲线方程可得

(+ )2 42

? = 1,即
4

1

(+ )2

2

= ,所以 = 5 ? 1,应选答
4

5

案 A。 点睛: 本题将向量与圆锥曲线的几何性质有机整合在一起, 旨在检测双曲线的标准方程与焦 点、渐近线、离心率等几何性质。求解时充分借助题设条件,探求三点, , 2 之间的关系, 运用代点法将点( 13.
3 5 sin+ tan+1 3

+
2

, 2)代入双曲线方程建立关于离心率的方程, 通过解方程使得问题获解。

【解析】∵ tan = 2, ∴ 2sin+cos = 2tan+1 = 5 点睛:本题主要考查同角三角函数的基本关系式的应用,属基础题 14.0 【解析】由两直线平行的条件可得( + 1)( ? 1) = ?1,解之得 = 0,应填答案0。 15. > 2或 < 0 【 解 析 】 因 为 () = 3 + (2 ? 2)2 ? 44 , 所 以 令 / () = 32 + 2(2 ? 2) = 3[ +
2(2 ?2) 3

] = 0, 可得函数() = 3 + (2 ? 2)2 ? 44的两个极值点分别为 = 0, = ?

2(2 ?2) 3



答案第 2 页,总 5 页

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由题意

2(2 ?2) 3

> 0,即2 ? 2 > 0,解之得 < 0或 > 2,应填答案(?∞, 0) ∪ (2, +∞)。
2(2 ?2) 3

点睛:本题的求解思路是先求函数的导数,再求出其极值点分别为 = 0, = ?

,最

后 再 依 据 题 设 条 件 = 0 是 函 数 () = ( ? 2)(2 + 2 + 23 ) 的 极 小 值 点 建 立 不 等 式
2(2 ?2) 3

> 0,通过解此二次不等式使得问题获解。

16. > 1 【解析】解析:因 + 1 = +2 ? +1 ,则+1 + 1 = +3 ? +2 ,将以上两式两边相减可 得+3 = 2+2 ,则由等比数列的定义可得公比 = 2,所以 = 2?1 , = 2 ? 1,则不等式

> 可化为 > 2?1 ( > 1),而2?1 < 1,则 > 1,应填答案5。
17.(1) ( ? 3 , + 6), ∈ ;(2) () =

2 2 9 3 2

2?1

2?1

3

+ 4. sincos ? 2 sin2 + 1 =
1 3 4

3

【解析】 (1)() = sincos( + 6) + 1 =
1 2

sin2 + 4 cos2 + 4

1

3

sin(2 + ) + ,
6 4



3

2 ? 2 < 2 + 6 < 2 + 2 ? ? 3 < < + 6, 故()的增区间为( ? 3 , + 6), ∈ ; (2)() = 2 sin(2 + 6) + 4 = sin( + 12)cos( + 12) + 4, 又cos( + 12) = 3且 ∈ (0, 2),∴sin( + 12) = ∴() =
2 2 9 1

















3





3



1





2 2 3



+ 4.
50(22× 12?8× 8)2 30× 20× 30× 20

3

18.(1) 有 97.5%以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关;(2)见解析. 【解析】 (1)2 = =
50 9

> 5.024,

故有 97.5%以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关; (2)由题知选做立体几何题且答对的共 24 人,其中男生 20 人、女生 4 人, 故的所有取值分别为 0,1,2,分布列为



0 3 14

1 4 7

2 3 14

= 1.
19.(1)见解析;(2)
10 5

.
1

【解析】 (1)由题知 = 2 = 2,又1 = 2且∠ 1 = 450 ,∴∠ 1 = 900,即1 ⊥ ;
答案第 3 页,总 5 页

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(2)∵ ⊥ , ⊥ 1 , ∴ ⊥平面1 ,∴平面1 ⊥平面1 , 过作 ⊥ 1于,则 ⊥平面1 ,即为所求距离,

1 = 1 2 + 1 1
20. (1) +
5

2

= 10,故在1中由等面积法 =
41 5

2× 2 10

=

10 5



2

2
4

= 1; (2)[?4, ].
22

【解析】 (1)由题知
2

2
4

=

8

, 5

22 ?4 2 22

= 5,∴ = 5, = 2, = 1,

3

∴椭圆的方程为 5 +

= 1;

(2)当直线 不与轴重合时,设其方程为 = ? 2, 2 与椭圆的方程联立得(4 + 5)2 ? 16? 4 = 0, 设 (1 , 1 ), (2 , 2 )则1 + 2 = 4 , = 4 , 2 2 +5 1 2 +5
16 ?4

2 ·2 = (1 ? 1)(2 ? 1) + 1 2 = ( 1 ? 3)( 2 ? 3) + 1 2
2 = ( + 1)1 2 ? 3 (1 + 2 ) + 9 = 2 2 ?4( + 1) 48 ? +9 2 2 4 +5 4 +5 61 41 = ?4 + 2 ∈ (?4, ] 5 4 + 5

当 与轴重合时, , 即为椭圆左右顶点,2 ? 2 = ?( + )( ? ) = ?4; 综上,2 ? 2 ∈ [?4, ].
5 41

21. (1)()max = ln ? 1 + ; (2)见解析. 【解析】 (1) ′ () = 1 ? > 0 ? < ln , ∴()在(?∞, ln )上单增, 在(ln , +∞)上单减,

1 1 1

1

∴()max = (ln ) = ln ? 1 + ;


1

1

(2)由题知{

1 ? 1 + = 0 1 ?2 ,两式相减得1 ? 2 = (1 ? 2 )即 = 1 , ?2 2 ? 2 + = 0
1 ?2 即证1 +2 1 ?2

故要证1 + 2 < ?2ln只需证1 + 2 < ?2ln

<(

1 ?2 2 ) 即证, 1 ?2

(1 ? 2 )2 < 1 ?2 ? 2 + 2 ?1 , 不妨设1 < 2, 令2 ? 1 = > 0, 则需证 2 <? ? 2 + , 设 ( ) = 2 ? ? + 2 ? , 则 ′ ( ) = 2 + ? ? , 设 ( ) = 2 + ? ? , 则 ′ ( ) = 2 ? ? ? < 0, 故( )在(0, +∞)上单减,∴( ) < (0) = 0即′ ( ) < 0,∴( )在(0, +∞)上单减, ∴( ) < (0) = 0,故原不等式得证. 点睛:本题以含参数的函数解析式为背景,精心设置了两道问题,旨在考查导数在研究函数 的单调性最值等方面的运用。求解第一问时,先求导函数,再确定函数的极值点也就是最值 点, 最后求得最大值; 第二问的推证过程中, 也是借助导数这一重要工具, 先通过分析转化, 2 ? 再构造函数设( ) = ? + 2 ? 将不等式的证明问题进行等价转化,从而使得不等式 的证明过程简捷、明快。 22. (1)2 ? 2 = 4; (2)4 .
答案第 4 页,总 5 页

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【解析】 (1)2 cos2 ? 2 sin2 + 4 = 0 ? 2 ? 2 + 4 = 0 ? 2 ? 2 = 4; (2)将直线 的参数方程化为标准形式:{ 代入曲线的方程得5 2 + 4 + 1 = 0, 则| + || = | | + | | = | |
1 2

=

1 5

,
2

= 5 +

5

( 为参数) ,

3

1

1

1

1

1 + 2 | 1 2

=4

23. (1){| ? 3 ≤ ≤ 2}; (2)3 . 【解析】 (1)| ? 1| + | + 2| ≤ 5,左式可看作数轴上;点到-2 和 1 两点的距离之和, 当 = ?3或 2 时,距离之和恰为 5,故?3 ≤ ≤ 2;解集为{| ? 3 ≤ ≤ 2}. (2)() = | ? | + | + | ≥ | ? ? ? | = + ,∴ + = 3, 由柯西不等式得( + )( + ) ≥ ( + )2 ,∴ +
3 2

2

2

2

2

≥ + = 3,

当且仅当 = = 时等号成立,∴ + 的最小值为 3.

2

2

答案第 5 页,总 5 页


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