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吉林省吉林市年高三上学期期末教学质量检测(数学理)


189378126.doc

吉林市普通中学高中毕业班上学期期末教学质量检测
数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 22 小题,共 150 分,共 4 页,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1、答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名填写在答题卡上。 2、答案请使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚。 3、请按照题号在各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效。 参考公式:样本数据 x1,x 2 , ? x n 的标准差
1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ? ( x n ? x) 2 ] 其中 x 为样本的平均数 n 柱体体积公式 s?

V ? Sh 其中 S 为底面面积,h 为高
锥体体积公式
V? 1 Sh 其中 S 为底面面积,h 为高 3

球的表面积、体积公式
S ? 4?R 2 , V ?

4 3 ?R 其中 R 表示球的半径 3
第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.设全集 U ? {1,2,3,4,5}, P ? {1,3}, Q ? {3,4,5} ,则∪ ( P ? Q) = A.{3} B.{4,5} C.{3,4,5} D.{1,2,4,5}

2.复数 z1 ? 3 ? i , z2 ? 1 ? i ,则 z

? z1 ? z 2 在复平面内对应的点位于
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A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3.用 p,q,r,s 表示命题,下列选项中满足:“若 p 是真命题,则 q 也是真命题”的是 A.p:r 是 s 的必要条件 q: r ? s C. p: r ? s B.p: r ? s

q: ?r ? ?s

q: r ? s

D. p: ?x0 ? M,P( x0 ) q: ?x ? M,?P(x)

4.已知数列 {a n } 是公比为 q 的等比数列,且 a1 , a3 , a2 成等差数列,则公比 q 的值为
1 1 B.1 C. ? 2 2 5.如右图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正 1 方形,且体积为 .则该几何体的俯视图可以是 2

A.1 或 ?

D.-2

1

1

1

1 (第 5 题图)

A A

BB

C C

D D

6.已知 ΔABC 的顶点 A(x, y) B(? 1, , C( , ,若 ΔABC 满足的条件分别是: , 0) 1 0) (1) ?ABC 的周长是 6 (2) ?A ? 900 (3) k AB ? k AC ? 1 (4) k AB ? k AC ? ?2 ; 下列给出了点 A 的轨迹方程:

1 (a) x 2 ? y 2 ?(y ? 0) (b) x 2 ? y 2 ? 1( y ? 0) ,
(c)
x2 1 , ? y 2 ?(y ? 0) (d) y ? x 2 ?(y ? 0) 1 4

其中与条件(1)(2)(3)(4)分别对应的轨迹方程的代码依次是 、 、 、 A.(a) (c) (b) (d) B.(c) (d) (a) (b)

C.(d) (b) (a) (c) D.(c) (b) (a) (d) 7.框图表示的程序所输出的结果是
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A.121 C.1320

B.132 D.11880

? x ? 2 ( ?2 ? x ? 0 ) ? 8.函数 f ( x) ? ? ? 的图象与 x 轴所围成的 ?2 cos x(0 ? x ? 2 ) ?
封闭图形的面积为 A.
3 2

(第 7 题图)

B.1

C.4

D.

1 2

9.函数 f ( x) ? ( ) ? sin x 在区间[0, 2? ]上的零点个数为
x

1 2

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

10.已知直线 x ? y ? a 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 交于 A,B 两点,且 | OA ? OB |?| OA ? OB | (其中 O 为坐标原点) ,则实数 a 是 A.2
2

B.-2
2

C.2 或-2

D.以上答案都不对

11.已知点 F 是双曲线

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交 2 a b 于 A、B 两点,若 ΔABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是

A. 1,??) (

B. 1,2) (

( C. 1,1 ? 2)

( D. 2,1 ? 2)

12.若函数 f ( x) ? (k ? 1)a x ? a ? x (a ? 0且a ? 1) 在 R 上既是奇函数,又是减函数,则 g ( x) ? log a ( x ? k ) 的图象是

A

B

C

D

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第Ⅱ卷 二.填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分. 13 . 观 察 下 列 式 子 : 1 ? 有

1 3 1 1 5 1 1 1 7 ? ,1 ? 2 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? , ? ? , 则 可 以 猜 想 : 当 n ? 2 时 , 2 2 2 2 3 3 2 3 4 4
. .

14.在三棱锥 P—ABC 中, PA ? 底面ABC , AC ? BC , PA ? AC ? BC ,则两直线 PC 与 AB 所成角的大小是 15.如图所示,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边 长为 2 的大正方形,若直角三角形中较小的锐角 ? ?

?
6

,现在向

?

该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在小正方形内的概率 是___ (第 15 题图)

16.已知函数 f (x) 的定义域为[-2,+∞),部分对应值如下表, f ?(x) 为 f (x) 的导函数,函数 y ? f ?(x) 的图象如右图所示, 若两正数 a,b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则

b?3 的取值范围是 a?3

. y

-2 x 0 4 -2 三.解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. O x 17. (本小题满分 10 分) f (x) 1 1 -1 ?? 已知 ?ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,向量 m ? (4, ?1),

? ?? ? 7 A n ? (cos 2 , cos 2 A) ,且 m ? n ? . 2 2
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 3 ,bc=3,试判断 ?ABC 形状.

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18. (本小题满分 12 分) 右图是一个直三棱柱(以 A1 B1C1 为底面)被

A C O

一平面所截得到的几何体,截面为 ABC . B 已知 A1 B1 ? B1C1 ? 1 ,
?A1 B1C1 ? 90 ,
?

C1

AA1 ? 4,

BB1 ? 2, CC1 ? 3 .

A1 B1 (第 18 题图)

(Ⅰ)设点 O 是 AB 的中点,证明: OC ∥平面 A1 B1C1 ; (Ⅱ)求二面角 B ? AC ? A1 的大小.

19. (本小题满分12分) 甲、乙两种鱼的身体吸收汞,当汞的含量超过体重的1.00ppm(即百万分之一)时,就会对人体产生危害。质检部 门对市场中出售的一批鱼进行检测,在分别抽取的10条鱼的样本中,测得汞含量与鱼体重的百分比如下: 甲种鱼1.31 1.55 1.42 1.35 1.27 1.44 1.28 1.37 1.36 1.14

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乙种鱼1.01

1.35

0.95

1.16

1.24

1.08

1.17

1.03

0.60

1.11

(Ⅰ)用前两位数做茎,画出样本数据的茎叶图,并回答下面两个问题: (ⅰ)写出甲、乙两种鱼关于汞分布的一个统计结论. (ⅱ)经过调查,市场上出售汞超标的鱼的原因是这些鱼在出售前没有经过检验,可否得出每批这两种鱼的平均 汞含量都超过1.00ppm? (Ⅱ)如果在样本中选择甲、乙两种鱼各一条做一道菜, (在烹饪过程中汞含量不会发生改变) (ⅰ)如果20条鱼中的每条鱼的重量都相同,那么这道菜对人体产生危害的概率是多少? (ⅱ)根据算出的结论,你对政府监管部门有什么建议?(提出一条建议即可)

20. (本小题满分 12 分) 已知数列 ? a n ?的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ,且 3a n?1 ? 2S n ? 3 ( n 为正整数) (Ⅰ)求出数列 ? a n ?的通项公式; (Ⅱ)若对任意正整数 n , k ? S n 恒成立,求实数 k 的最大值.

21. (本小题满分 12 分) 定义在 R 上的函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? 3 同时满足以下条件:
3 2

① f (x) 在 ?? ?,?1? 上是增函数,在 ?? 1,0? 上是减函数;② f (x) 的导函数是偶函数;
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③ f (x) 在 x ? 0 处的切线与第一、三象限的角平分线垂直. (Ⅰ)求函数 y ? f (x) 的解析式; (Ⅱ)设 g ( x) ? ln x ?

m ,若存在 x ? ?1, e?,使 g ( x) ? f ?( x) ,求实数 m 的取值范围. x

22. (本小题满分 12 分) 如图,已知点 A 、 B 是椭圆

x2 y2 (t>0)在椭圆上,且满足 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的两个顶点,若点 C (t,t) a2 b2

OA ? 3 OB , OC ? OA ?
(Ⅰ)求椭圆的方程;

3 .(其中 O 为坐标原点) 2

(Ⅱ)若直线 l 与椭圆交于两点 M , N ,当 OM ? ON ? mOC , m ? (0, 2) 时,求 ?OMN 面积的最大值。 y B A O x

吉林市普通中学 2009—2010 学年度高中毕业班上学期期末教学质量检测 数学(理科)参考答案及评分标准
一.选择题(每题 5 分,共 60 分)
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题号 答案

1 D

2 D

3 C

4 A

5 C

6 D

7 A

8 C

9 B

10 C

11 B

12 A

二.填空题(每题 5 分,共 20 分)

1 1 1 2n ? 1 (n ? 2) ? 2 ??? 2 ? 2 n 2 3 n 3 3 7 15. 1 ? 16. ( , ) 2 5 3
13. 1 ? 三.解答题 17. 解: (Ⅰ)由 m ? (4, ?1), n ? (cos 2

14. 60

?

A , cos 2 A) 2 ?? ? A 1 ? cos A m ? n ? 4cos 2 ? cos 2 A ? 4 ? ? (2cos 2 A ? 1) ? ?2cos2 A ? 2cos A ? 3 2 2 ?? ? 7 7 1 2 又因为 m ? n ? , 所以-2cos A ? 2cos A ? 3 ? 解得 cos A ? 2 2 2

??

?

??(2 分)

? 0 ? A ? ? ,? A ?

?

?????????????(3 分) ?????????????(5 分)

3 (Ⅱ)在 ?ABC中,a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, 且a ? 3 , 1 ? ( 3) 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc ? ? b2 ? c2 ? bc ???????(6 分) 2 ? bc ? 3,? b 2 ? c 2 ? 6 ????????????(7 分)

?b ? c ?2 ? 2bc ? 6 ? b ? c ? 2

3

???????????(9 分)

? b ? c ? a ? 3 故 ?ABC 为等边三角形.????????(10 分) 18.解:法一: (Ⅰ)证明:作 OD || AA1 交 A1 B1 于 D ,连 C1 D .??(1 分)
则 OD || BB1 || CC1 . 因为 O 是 AB 的中点,

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1 ( AA1 ? BB1 ) ? 3 ? CC1 . 2 则 ODC1C 是平行四边形,因此有 OC || C1 D .????????(3 分)
所以 OD ?

C1 D ? 平面 C1 B1 A1 且 OC ? 平面 C1 B! A1 ,
则 OC || 面 A1 B1C1 . 作 BH ? A2 C 2 于 H ,连 CH . 又因为 AB ? ????????(5 分) (Ⅱ)如图,过 B 作截面 BA2 C 2 || 面 A1 B1C1 ,分别交 AA1 ,CC1 于 A2 ,C 2 . ????????(7 分) 因为 CC1 ? 面 BA2 C 2 ,所以 CC1 ? BH ,则 BH ? 平面 A1C .

5 , BC ? 2 , AC ? 3 ? AB 2 ? BC 2 ? AC 2 .

所以 BC ? AC ,根据三垂线定理知 CH ? AC ,所以 ?BCH 就是所求二面角的平面角.

2 BH 1 因为 BH ? ,所以 sin ?BCH ? ? ,故 ?BCH ? 30 ? ,???(11 分) 2 BC 2 ? 即:所求二面角的大小为 30 . ????????(12 分)
法二: (Ⅰ)如图,以 B1 为原点建立空间直角坐标系, 则 A(0,1,4), B(0,0,2), C (1,0,3) 因为 O 是 AB 的中点,所以 O(0, ,3) , ??????(1 分)

????????(9 分)

1 OC ? (1,? ,0) . 2 易知, n ? (0,0,1) 是平面 A1 B1C1 的一个法向量.
因为 OC ? n ? 0, OC ? 平面 A1 B1C1 , 所以 OC || 平面 A1 B1C1 . (Ⅱ) AB ? (0,?1,?2), BC ? (1,0,1) , 取 x ? z ? ?1, m ? (1,2,?1) .

1 2

??(3 分)

??????(5 分)

设 m ? ( x, y, z ) 是平面 ABC 的一个法向量,则 AB ? n ? 0, BC ? m ? 0 得: ?

????????(7 分)
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?? y ? 2 z ? 0 ?x ? z ? 0

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显然, l ? (1,1,0) 为平面 AA1C1C 的一个法向量. ????????(9 分) 则 cos(m ? l ) ?

m?l

结合图形可知所求二面角为锐角. 所以二面角 B ? AC ? A1 的大小是 30 . 19.解:(Ⅰ)(ⅰ) 甲
?

m?l

?

3 , 2

????????(11 分)

????????(12 分) 乙

0.6 0 0.8 0.9 5 1.0 1 8 3 4 1.1 6 7 1 8 7 1.2 4 6 7 5 1 1.3 5 4 2 1.4 5 1.5 ??????????(2 分) 1. 甲种鱼的汞含量分布成对称性,基本都集中在 1.3 左右。 乙种鱼的汞含量分布大致成对称性,基本集中在 1.0—1.1 左右, 2.甲种鱼的汞含量的中位数是 1.355;乙种鱼的汞含量的中位数是 1.095 其他答案老师酌情给分 . ??????????(4 分) (ⅱ)可以或者不可以不给分;若答不一定或者无法确定则给分. ??????????????(6 分) (Ⅱ) (ⅰ)P= 93 ??????????????(10 分)
100

(ⅱ)建议政府加强市场管理,鱼要检验后再出售:产鱼的水域尽量减少污染. 他类似答案酌情给分) 20.解: (Ⅰ)? 3a n?1 ? 2S n ? 3 , ① ? 当 n ? 2 时, 3a n ? 2S n?1 ? 3 . 由 ① - ②,得 3a n ?1 ? 3a n ? 2a n ? 0 . ????????(2 分) a 1 ( n ? 2) . ? n ?1 ? ????????(3 分) an 3 1 又 ? a1 ? 1 , 3a 2 ? 2a1 ? 3 ,解得 a 2 ? . ?? (4 分) 3 1 ? 数列 ? a n ?是首项为 1,公比为 q ? 的等比数列. 3
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?????????(12 分)(其

② ??(1 分)

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?1? ? a n ? a1 q n ?1 ? ? ? ( n 为正整数)????????(6 分) ?3? 3? 1 n? (Ⅱ)由(Ⅰ)知? S n ? ?1 ? ( ) ? ???????(8 分)

n ?1

2?

3 ?

n 3 ? ?1? ? 由题意可知,对于任意的正整数 n ,恒有 k ? ? 1 ? ? ? ? ,. 2 ? ? 3? ? ? ?
n ? 2 ? ? ?1? ? 1 ? ? ? ? 单调递增, 当 n ? 1 时,数列中的最小项为 , ? 数列 ? 3 ?3? ? ? ? ? ? 必有 k ? 1,即实数 k 的最大值为 1 ?????? (12 分)

?(10 分)

21.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c ? f (x) 在 ?? ?,?1? 上是增函数,在 ?? 1,0? 上是减函数, ? f (?1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 ??① ??(1 分) b 由 f (x) 的导函数是偶函数得: ? ???(2 分) ? 0 ????② 3a 又 f (x) 在 x ? 0 处的切线与第一、三象限的角平分线垂直, ? f ?(0) ? c ? ?1 ???③ ???(3 分) 1 1 3 由①②③得: a ? , b ? 0, c ? ?1 ,即 f ( x) ? x ? x ? 3 ??????(4 分) m3 2 3 (Ⅱ)由已知得:存在 x ? ?1, e?,使 ln x ? ? x ?1 x 3 即存在 x ? ?1, e?,使 m ? x ln x ? x ? x
2

设 M ( x) ? x ln x ? x ? x
3

x ? ?1, e?,则 M ?( x) ? ln x ? 3x 2 ? 2

??(6 分) ??(8 分)

设 H ( x) ? M ?( x) ? ln x ? 3x ? 2 ,则 H ?( x) ?
2

? x ? ?1, e?,? H ?( x) ? 0 ,即 H (x) 在 ?1, e ? 递减 2 于是, H (e) ? H ( x) ? H (1) ,即 3 ? 3e ? H ( x) ? ?1 ? 0 ,即 M ?( x) ? 0

1 1 ? 6x ? 6x ? x x

2

? M (x) 在 ?1, e ? 上递减,? M ( x) ? M (e) ? 2e ? e 3 3 于是有 m ? 2e ? e 为所求 ?????????(12 分)
22.解: (Ⅰ)由

????????(10 分)

OA ? 3 OB ,

知a ?

3b

?????(1 分)

?A(a,0),可设 C(t,t)且 t>0,
第 11 页 共 13 页

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t2 t2 3 ?????(2 分) ? 2 ? 1 ,解得 t ? b. 2 2 a b 3 3 3 ? OC ? ( b, b) , OA ? (a, 0) ,? OC ? OA ? 2 2 2 x2 ? b ? 1, a ? 3 . ??(3 分) ?椭圆的方程为 ?(4 分) ? y 2 ? 1. 3 ? 3 m ?2 x0 ? x1 ? x 2 ? ? 2 (Ⅱ) MN中点为G ( x0 , y 0 ) ? OM ? ON ? mOC , ? ? ?2 y ? y ? y ? 3 m 1 2 ? 0 2 ? 2 2 x x 2 2 又? M , N 在椭圆上,则 1 ? y1 ? 1 -------- ①; 2 ? y 2 ? 1 -------- ②; 3 3 y1 ? y 2 1 x1 ? x 2 1 ?? ? ?? 由①—②得 k MN ? ?????(6 分) x1 ? x 2 3 y1 ? y 2 3 ?

?直线 MN 的方程为 y ?

3 1 3 m ? ? (x ? m) ,即 x ? ?3 y ? 3m 4 3 4

? x ? ?3 y ? 3m ? 2 2 联立 ? x 2 ,整理得 4 y ? 2 3my ? m ? 1 ? 0 ?????(7 分) 2 ? ? y ?1 ?3

? ? 12 m 2 ? 16(m 2 ? 1) ? 0 ,即 ? 2 ? m ? 2
? MN ? ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ? 1 ? k MN
2 2

? y1 ? y 2 ?

3 m2 ?1 m, y1 y 2 ? 2 4

3m 2 ? 4(m 2 ? 1) y1 ? y 2 ? 10 ? 2
?????(9 分)

4 ? m2 = 10 ? ; 2

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?原点(0,0)到直线 MN 的距离为 h ?
? S ?OMN ?

3m 10

?????(10 分)

1 3 3 m2 ? 4 ? m2 3 MN ? h ? m 2 (4 ? m 2 ) ? ? ? 2 4 4 2 2 3 。?????(12 分) ?当且仅当 m ? 2 时取等号,所以 ?OMN 面积的最大值为 2 (其他方法酌情给分)
(第 22 题图)

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