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高考数学计算试题分类汇编——三角函数


2010 年高考数学试题分类汇编——三角函数
(2010 上海文数)19.(本题满分 12 分) 已知 0 ? x ?

?
2

,化简:

x ? lg(cos x ? tan x ? 1 ? 2sin 2 ) ? lg[ 2 cos( x ? )] ? lg(1 ? sin 2 x) . 2 2
解析:原式?lg(sinx?cosx)?lg(cosx?sinx)?lg(sinx?cosx)2?0.

(2010 湖南文数)16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin 2 x (I)求函数 f ( x ) 的最小正周期。 (II) 求函数 f ( x ) 的最大值及 f ( x ) 取最大值时 x 的集合。

(2010 浙江理数) (18)(本题满分 l4 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已 知 cos 2C ? ?

1 4

(I)求 sinC 的值; (Ⅱ)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长. 解析:本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同事考查运算求解能力。 (Ⅰ)解:因为 cos2C=1-2sin2C= ?

1 ,及 0<C<π 4

所以 sinC=

10 . 4
a c ? ,得 sin A sin C

(Ⅱ)解:当 a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理 c=4

第 1 页 共 20 页

由 cos2C=2cos2C-1= ?

1 ,J 及 0<C<π 得 4

cosC=±

6 4

由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC,得 b2± 6 b-12=0 解得 所以 b= 6 或 2 6 b= 6 c=4 或 b= 6 c=4

(2010 全国卷 2 理数) (17) (本小题满分 10 分)

?ABC 中, D 为边 BC 上的一点, BD ? 33 , sin B ?

5 3 , cos ?ADC ? ,求 AD . 13 5

【命题意图】 本试题主要考查同角三角函数关系、 两角和差公式和正弦定理在解三角形中的 应用,考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【参考答案】

由 cos∠ADC=

>0,知 B<

.

由已知得 cosB=

,sin∠ADC=

.

从而 sin∠BAD=sin(∠ADC-B)=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB=

=

.

由正弦定理得

,所以

=

.

【点评】 三角函数与解三角形的综合性问题, 是近几年高考的热点, 在高考试题中频繁出现. 这类题型难度比较低,一般出现在 17 或 18 题,属于送分题,估计以后这类题型仍会保留, 不会有太大改变.解决此类问题,要根据已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理,求边角 或将边角互化. (2010 陕西文数)17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点, AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长. 解 在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得

第 2 页 共 20 页

cos ?

1 AD 2 ? DC 2 ? AC 2 100 ? 36 ? 196 ?? , = 2 ?10 ? 6 2 2 AD DC

? ? ADC=120°, ? ADB=60° 在△ABD 中,AD=10, ? B=45°, ? ADB=60°, AB AD ? 由正弦定理得 , sin ?ADB sin B
AD sin ?ADB 10sin 60? ? ? ? AB= sin B sin 45? 10 ? 2 2 3 2 ?5 6 .

(2010 辽宁文数) (17) (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边, 且 2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? sin C ? 1 ,试判断 ?ABC 的形状. 解: (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a 2 ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c 即 a ? b ? c ? bc
2 2 2

由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

故 cos A ? ?

1 , A ? 120 ? 2
2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C. 又 sin B ? sin C ? 1 ,得 sin B ? sin C ? 因为 0? ? B ? 90?,0? ? C ? 90? , 故B?C 所以 ?ABC 是等腰的钝角三角形。 (2010 辽宁理数) (17) (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且

1 2

2asin A ? (2a ? c)sin B ? (2c ? b)sin C.
(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B ? sin C 的最大值. 解: (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c
2



a 2 ? b2 ? c 2 ? b c

第 3 页 共 20 页

由余弦定理得 故

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A
……6 分

1 cos A ? ? ,A=120° 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:

sin B ? s iC n?

sB in ?

sin ?( ?6 B0

)

3 1 cos B ? sin B 2 2 ? sin(60? ? B) ?
故当 B=30°时,sinB+sinC 取得最大值 1。 (2010 全国卷 2 文数) (17) (本小题满分 10 分) ……12 分

ABC 中, D 为边 BC 上的一点, BD ? 33 ,sin B ?

5 3 , cos ?ADC ? ,求 AD 。 13 5

【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。 由 ?ADC 与 ? B 的差求出 ? BAD ,根据同角关系及差角公式求出 ? BAD 的正弦,在三角 形 ABD 中,由正弦定理可求得 AD。 (2010 江西理数)17.(本小题满分 12 分)

?? ? ?? ? f ? x ? ? ?1 ? cot x ? sin 2 x ? m sin ? x ? ? sin ? x ? ? 4? ? 4 ?。 ? 已知函数
? ? 3? ? ? , ? f ? x? (1) 当 m=0 时,求 在区间 ? 8 4 ? 上的取值范围;
(2) 当 tan a ? 2 时,

f ?a? ?

3 5 ,求 m 的值。

【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三 角函数化简,考查函数值域,作为基本的知识交汇问题,考查基本三角函数变换,属于中等 题. 解: (1) 当 m=0 时,f ( x) ? (1 ?

cos x 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ) sin 2 x ? sin 2 x ? sin x cos x ? sin x 2

1 ? ? 3? ? 2 ? [ 2 sin(2 x ? ) ? 1] ,由已知 x ? [ , ] ,得 2 x ? ? [? ,1] 2 4 8 4 4 2
从而得: f ( x ) 的值域为 [0,

1? 2 ] 2

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cos x ? ? ) sin 2 x ? m sin( x ? ) sin( x ? ) sin x 4 4 1 1 化简得: f ( x) ? [sin 2 x ? (1 ? m) cos 2 x] ? 2 2 2sin a cos a 2 tan a 4 3 ? ? , cos 2a ? , 当 tan ? ? 2 ,得: sin 2a ? 2 2 2 sin a ? cos a 1 ? tan a 5 5
(2) f ( x) ? (1 ? 代入上式,m=-2. (2010 安徽文数)16、 (本小题满分 12 分)

?ABC 的面积是 30,内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c , cos A ?
(Ⅰ)求 AB AC ;

12 。 13

(Ⅱ)若 c ? b ? 1 ,求 a 的值。 【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系,三角形面积公式,向量的数量积,利用余 弦定理解三角形以及运算求解能力. 【解题指导】 (1)根据同角三角函数关系,由 cos A ?

12 得 sin A 的值,再根据 ?ABC 面积 13
2 2 2

公式得 bc ? 156 ;直接求数量积 AB AC .由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ,代入已知 条件 c ? b ? 1 ,及 bc ? 156 求 a 的值. 解:由 cos A ?

12 12 2 5 ,得 sin A ? 1 ? ( ) ? . 13 13 13



1 bc sin A ? 30 ,∴ bc ? 156 . 2
12 ? 144 . 13
2

(Ⅰ) AB ? AC ? bc cos A ? 156 ?

2 2 2 (Ⅱ) a ? b ? c ? 2bc cos A ? (c ? b) ? 2bc(1 ? cos A) ? 1 ? 2 ?156 ? (1 ?

12 ) ? 25 , 13

∴a ? 5. 【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知,需求 bc 的值,考虑已知 ?ABC 的 面积是 30, cos A ?

12 ,所以先求 sin A 的值,然后根据三角形面积公式得 bc 的值.第二问 13

中求 a 的值,根据第一问中的结论可知,直接利用余弦定理即可. (2010 重庆文数)(18).(本小题满分 13 分), (Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 8 分.) 设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且 3 b +3 c -3 a =4 2 bc .
2 2 2

(Ⅰ) 求 sinA 的值;

2sin( A ? )sin( B ? C ? ) 4 4 的值. (Ⅱ)求 1 ? cos 2 A

?

?

第 5 页 共 20 页

(2010 浙江文数) (18) (本题满分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为 △ABC 的面积,满足 S ?

3 2 (a ? b 2 ? c 2 ) 。 4

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A ? sin B 的最大值。

(2010 重庆理数) (16) (本小题满分 13 分, (I)小问 7 分, (II)小问 6 分) 设函数 f ? x ? ? cos ? x ? (I) (II)

? ?

2 ? x ? ? ? 2cos2 , x ? R 。 3 ? 2

求 f ? x ? 的值域; 记 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a,b,c,若 f ? B ? =1,b=1,c= 3 ,

第 6 页 共 20 页

求 a 的值。

(2010 山东文数)(17)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? ? ? x)cos ? x ? cos2 ? x ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? , (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图像上各点的横坐标缩短到原来的

1 ,纵坐标不变,得到 2

? ? ? 函数 y ? g ( x) 的图像,求函数 y ? g ( x) 在区间 ? 0, ? 上的最小值. ? 16 ?

第 7 页 共 20 页

(2010 北京文数) (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos 2 x ? sin 2 x (Ⅰ)求 f ( ) 的值;

?

3

(Ⅱ)求 f ( x ) 的最大值和最小值 解: (Ⅰ) f ( ) ? 2 cos

?

3

2? ? 3 1 ? sin 2 = ?1 ? ? ? 3 3 4 4
2 2

(Ⅱ) f ( x) ? 2(2cos x ?1) ? (1 ? cos x)

? 3cos2 x ?1, x ? R
因为 cos x ?? ?1,1? ,所以,当 cos x ? ? 1 时 f ( x ) 取最大值 2;当 cos x ? 0 时,

f ( x) 去最小值-1。

(2010 北京理数) (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f (x) ? 2cos 2 x ? sin x ? 4cos x 。
2

(Ⅰ)求 f ? ( ) 的值;

?

3

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(Ⅱ)求 f (x) 的最大值和最小值。 解: (I) f ( ) ? 2 cos

?

3

2? ? ? 3 9 ? sin 2 ? 4 cos ? ?1 ? ? ? 3 3 3 4 4

(II) f ( x) ? 2(2cos2 x ?1) ? (1 ? cos2 x) ? 4cos x = 3cos x ? 4cos x ? 1
2

= 3(cos x ? ) ?
2

2 3

7 ,x?R 3

因为 cos x ? [?1,1] ,

o s x? 所以, 当 cos x ? ?1 时, f ( x ) 取最大值 6; 当c
(2010 四川理数) (19) (本小题满分 12 分)

2 7 时, f ( x ) 取最小值 ? 3 3

1 证明两角和的余弦公式 C (Ⅰ)○ ? ? ? : cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; 2 由C ○ ? ? ? 推导两角和的正弦公式 S? ? ? : sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos ? sin ? .

(Ⅱ)已知△ABC 的面积 S ?

1 3 , AB ? AC ? 3 ,且 cos B ? ,求 cosC. 5 2

本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运 算能力。 解:(1)①如图,在执教坐标系 xOy 内做单位圆 O,并作出角 α、β 与-β,使角 α 的始边为 Ox,交⊙O 于点 P1,终边交⊙O 于 P2;角 β 的始边为 OP2,终边交⊙O 于 P3;角-β 的始 边为 OP1,终边交⊙O 于 P4. 则 P1(1,0),P2(cosα,sinα) P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)) 由 P1P3=P2P4 及两点间的距离公式,得 [cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2 展开并整理得:2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ) ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.……………………4 分

? ? -α)=sinα,sin( -α)=cosα 2 2 ? ? sin(α+β)=cos[ -(α+β)]=cos[( -α)+(-β)] 2 2 ? ? =cos( -α)cos(-β)-sin( -α)sin(-β) 2 2
②由①易得 cos( =sinαcosβ+cosαsinβ……………………………………6 分 (2)由题意,设△ABC 的角 B、C 的对边分别为 b、c 则 S=

1 1 bcsinA= 2 2

AB ? AC =bccosA=3>0

第 9 页 共 20 页

∴A∈(0,

? ),cosA=3sinA 2
10 3 10 ,cosA= 10 10

又 sin2A+cos2A=1,∴sinA= 由题意,cosB=

3 4 ,得 sinB= 5 5

∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=

10 10 10 …………………………12 分 10

故 cosC=cos[π -(A+B)]=-cos(A+B)=-

(2010 天津文数) (17) (本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中,

AC cos B ? 。 AB cos C
1 ?? ? ,求 sin ? 4B ? ? 的值。 3 3? ?

(Ⅰ)证明 B=C: (Ⅱ)若 cos A =-

【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角 的正弦与余弦等基础知识,考查基本运算能力.满分 12 分. ( Ⅰ ) 证 明 : 在 △ ABC 中 , 由 正 弦 定 理 及 已 知 得

sinBcosC-cosBsinC=0,即 sin(B-C)=0.因为 ?? ? B ? C ? ? ,从而 B-C=0. 所以 B=C.

s i n B cosB = .于是 s i n C cosC

(Ⅱ)解:由 A+B+C= ? 和(Ⅰ)得 A= ? -2B,故 cos2B=-cos( ? -2B)=-cosA= 又 0<2B< ? ,于是 sin2B= 1 ? cos2 2B =

1 . 3

2 2 . 3

从而 sin4B=2sin2Bcos2B=

7 4 2 2 2 ,cos4B= cos 2 B ? sin 2 B ? ? . 9 9

所以 sin(4 B ?

?
3

) ? sin 4 Bcos

?
3

? cos 4 Bsin

?
3

?

4 2 ?7 3 18

(2010 天津理数) (17) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1( x ? R)

第 10 页 共 20 页

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及在区间 ? 0,

? ?? 上的最大值和最小值; ? 2? ?

(Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

6 ?? ? ? , x0 ? ? , ? ,求 cos 2 x0 的值。 5 ?4 2?

【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的 性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识,考查基本运算能力,满分 12 分。 (1)解:由 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1 ,得

f ( x) ? 3(2sin x cos x) ? (2 cos 2 x ? 1) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6
所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? 因为 f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

?

? ?

??

? ?? ?? ? ? ? 在区间 ?0, ? 上为增函数,在区间 ? , ? 上为减函数,又 6? ? 6? ?6 2?

?? ? f (0) ? 1, f ? ? ? 2, ?6?
为-1

?? ? ? ?? f ? ? ? ?1 ,所以函数 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的最大值为 2,最小值 ?2? ? 2?

(Ⅱ)解:由(1)可知 f ( x0 ) ? 2sin ? 2 x0 ?

? ?

??
? 6?

又因为 f ( x0 ) ?

6 ?? 3 ? ,所以 sin ? 2 x0 ? ? ? 5 6? 5 ?

由 x0 ? ?

? ? 2? 7? ? ?? ? ? , ? ,得 2 x0 ? ? ? , ? 6 ? 3 6 ? ?4 2?
? ?

从而 cos ? 2 x0 ? 所以

??

?? 4 2? ? ? ? 1 ? sin ? 2 x0 ? ? ? ? 6? 6? 5 ?

?? ?? ?? ?? ? ? ? ? 3? 4 3 ? ? cos 2 x0 ? cos ?? 2 x0 ? ? ? ? ? cos ? 2 x0 ? ? cos ? sin ? 2 x0 ? ? sin ? 6 ? 6? 6? 6 6? 6 10 ? ? ??
(2010 广东理数)16、(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(3x ? ? )( A ? 0, x ? (??, ??),0 ? ? ? ? 在 x ?

?
12

时取得最大值 4.

第 11 页 共 20 页

(1) 求 f ( x ) 的最小正周期; (2) 求 f ( x ) 的解析式; (3) 若 f (

2 ? 12 α + )= ,求 sinα. 3 12 5

sin(2? ?

?
2

)?

3 3 3 1 5 2 2 , cos 2? ? , 1 ? 2sin ? ? , sin ? ? , sin ? ? ? . 5 5 5 5 5

(2010 广东文数)

第 12 页 共 20 页

(2010 全国卷 1 理数)(17)(本小题满分 10 分) 已知 VABC 的内角 A , B 及其对边 a ,b 满足 a ? b ? a cot A ? b cot B ,求内角 C .

(2010 四川文数) (19) (本小题满分 12 分)
1 证明两角和的余弦公式 C (Ⅰ)○ ? ? ? : cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; 2 由C ○ ? ? ? 推导两角和的正弦公式 S? ? ? : sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos ? sin ? .

(Ⅱ)已知 cos ? ? ?

4 3 1 ? , ? ? (? , ? ), tan ? ? ? , ? ? ( , ? ), cos(? ? ? ) ,求 cos( ? ? ? ) 5 2 3 2

第 13 页 共 20 页

(2010 湖北文数)16.(本小题满分 12 分) 已经函数 f ( x) ?

cos 2 x ? sin 2 x 1 1 , g ( x) ? sin 2 x ? . 2 2 4

(Ⅰ)函数 f ( x ) 的图象可由函数 g ( x) 的图象经过怎样变化得出? (Ⅱ)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最小值,并求使用 h( x) 取得最小值的 x 的集合。

(2010 山东理数)

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(2010 湖南理数)16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin 2 x ? 2sin 2 x . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值; (II)求函数 f ( x ) 的零点的集合。

第 15 页 共 20 页

(2010 湖北理数) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= cos(

?

? 1 1 ? x) cos( ? x), g ( x) ? sin 2 x ? 3 3 2 4

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合。

(2010 福建理数)19. (本小题满分 13 分)

某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。 在小艇出发时 ,
轮船位于港口 O 北偏西 30 且与该港口相距 20 海里的 A 处,并以 30 海里/小时的航行速度

第 16 页 共 20 页

沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇。 (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向 与航行速度的大小) ,使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。 【解析】如图,由(1)得 而小艇的最 OC ? 10 3,AC=10,故OC>AC,且对于线段AC上任意点P,有OP ? OC>AC, 高航行速度只能达到 30 海里/小时, 故轮船与小艇不可能在 A、 C (包含 C) 的任意位置相遇, 设 ?COD=? (0 <? <90 ),则在Rt?COD中,CD ? 10 3 tan ? ,OD=

10 3 , cos ?

由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为 t ?

10 ? 10 3 tan ? 10 3 和t ? , 30 v cos ?

所以

10 ? 10 3 tan ? 10 3 15 3 3 ,解得 v ? , ? ,又v ? 30,故 sin (? +30 ) ? 30 v cos ? sin (? +30 ) 2 3 ,于是 3

从而 30 ? ? <90 ,由于? ? 30 时, tan ? 取得最小 值,且最小值为

当 ? ? 30 时, t?

2 10 ? 10 3 tan ? 取得最小值,且最小值为 。 3 30

此时,在 ?OAB 中, OA ? OB ? AB ? 20 ,故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东 30 ,航行速度为 30 海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇。

(2010 安徽理数)16、 (本小题满分 12 分) 设 ?ABC 是锐角三角形, a, b, c 分别是内角 A, B, C 所对边长,并且

sin 2 A ? sin( ? B) sin( ? B) ? sin 2 B 。 3 3
(Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 AB AC ? 12, a ? 2 7 ,求 b, c (其中 b ? c ) 。

?

?

第 17 页 共 20 页

(2010 江苏卷)17、 (本小题满分 14 分) 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位: m) , 如示意图, 垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m, 仰角∠ABE= ? ,∠ADE= ? 。 (1)该小组已经测得一组 ? 、 ? 的值,tan ? =1.24,tan ? =1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d (单位:m) ,使 ? 与 ? 之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的 实际高度为 125m,试问 d 为多少时, ? - ? 最大? [解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 (1)

H H H h ? tan ? ? AD ? , 同理:AB ? ,BD ? 。 tan ? AD tan ? tan ?

AD—AB=DB,故得

H H h h tan ? 4 ?1.24 ? ? ? ? 124 。 ,解得: H ? tan ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1.24 ? 1.20

因此,算出的电视塔的高度 H 是 124m。 (2)由题设知 d ? AB ,得 tan ? ?

H H h H ?h , tan ? ? ? ? , d AD DB d

第 18 页 共 20 页

H H ?h ? tan ? ? tan ? hd h d tan(? ? ? ) ? ? d ? 2 ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? H ? H ? h d ? H ( H ? h) d ? H ( H ? h) d d d H ( H ? h) d? ? 2 H ( H ? h) , (当且仅当 d ? H (H ? h) ? 125?121 ? 55 5 时, 取等号) d
故当 d ? 55 5 时, tan(? ? ? ) 最大。 因为 0 ? ? ? ? ?

?
2

,则 0 ? ? ? ? ?

?
2

,所以当 d ? 55 5 时, ? - ? 最大。

故所求的 d 是 55 5 m。

(2010 江苏卷)23.(本小题满分 10 分) 已知△ABC 的三边长都是有理数。 (1)求证 cosA 是有理数; (2)求证:对任意正整数 n,cosnA 是有理数。 [解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识,考查推理论证的能力与分析问题、 解决问题的能力。满分 10 分。 (方法一) (1)证明:设三边长分别为 a , b, c , cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 ,∵ a , b, c 是有理数, 2bc

b 2 ? c 2 ? a 2 是有理数, 分母 2bc 为正有理数, 又有理数集对于除法的具有封闭性,


b2 ? c2 ? a 2 必为有理数,∴cosA 是有理数。 2bc

(2)①当 n ? 1 时,显然 cosA 是有理数; 当 n ? 2 时,∵ cos 2 A ? 2cos 2 A ? 1 ,因为 cosA 是有理数, ∴ cos 2 A 也是有理数; ②假设当 n ? k (k ? 2) 时,结论成立,即 coskA、 cos(k ? 1) A 均是有理数。 当 n ? k ? 1 时, cos(k ? 1) A ? cos kA cos A ? sin kA sin A ,

1 cos(k ? 1) A ? cos kAcos A ? [cos(kA ? A) ? cos(kA ? A)] , 2 1 1 cos(k ? 1) A ? cos kAcos A ? cos(k ?1) A ? cos(k ? 1) A , 2 2 解得: cos(k ? 1) A ? 2cos kA cos A ? cos(k ? 1) A
∵cosA, cos kA , cos(k ? 1) A 均是有理数,∴ 2cos kA cos A ? cos(k ? 1) A 是有理数, ∴ cos(k ? 1) A 是有理数。 即当 n ? k ? 1 时,结论成立。 综上所述,对于任意正整数 n,cosnA 是有理数。 (方法二)证明: (1)由 AB、BC、AC 为有理数及余弦定理知

cos A ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 是有理数。 2 AB ? AC

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(2)用数学归纳法证明 cosnA 和 sin A ? sin nA 都是有理数。 ①当 n ? 1 时,由(1)知 cos A 是有理数,从而有 sin A ? sin A ? 1 ? cos A 也是有理数。
2

②假设当 n ? k (k ? 1) 时, cos kA 和 sin A ? sin kA 都是有理数。 当 n ? k ? 1 时,由 cos(k ? 1) A ? cos A ? cos kA ? sin A ? sin kA ,

sin A ? sin(k ? 1) A ? sin A ? (sin A ? cos kA ? cos A ? sin kA) ? (sin A ? sin A) ? cos kA ? (sin A ? sin kA) ? cos A ,
及①和归纳假设,知 cos(k ? 1) A 和 sin A ? sin(k ? 1) A 都是有理数。 即当 n ? k ? 1 时,结论成立。 综合①、②可知,对任意正整数 n,cosnA 是有理数。

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