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2018版高中数学第1章导数及其应用习题课导数的应用课件苏教版选修2_2_图文

第1章 导数及其应用
习题课 导数的应用

学习目标
1.能利用导数研究函数的单调性. 2.理解函数的极值、最值与导数的关系. 3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用.

内容索引

知识梳理 题型探究 当堂训练

知识梳理

知识点一 函数的单调性与其导数的关系

定义在区间(a,b)内的函数y=f(x)
f′(x)的正负 f′(x)>0 f′(x)<0

f(x)的单调性 增 函数 减 函数

知识点二 求函数y=f(x)的极值的方法
解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时, (1)如果在x0附近的左侧 f′(x)>0 ,右侧 f′(x)<0 ,那么f(x0)是极大值. (2)如果在x0附近的左侧 f′(x)<0 ,右侧 f′(x)>0 ,那么f(x0)是极小值.

知识点三 函数y=f(x)在[a,b]上最大值与最小值的求法
(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值. (2)将函数y=f(x)的各 极值 与端点处的函数值 f(a),f(b) 比较,其中 最大 的一个是最大值, 最小 的一个是最小值.

题型探究

类型一 构造法的应用 命题角度1 比较函数值的大小 例1 已知定义在(0,π2 )上的函数f(x),f′(x)是它的导函数,且恒有 sin x·f′(x)>cos x·f(x)成立,则下列不等式成立的序号是__④____. ① 2f(π6)>f(4π);
② 3f(π6)>f(3π);
③ 6f(π6)>2f(π4);



ππ 3f(6)<f(3).

解析 答案

反思与感悟
根据条件构造函数g(x),利用g′(x)确定g(x)的单调性,进而确定函数值 的大小,此类题目的关键是构造出恰当的函数.

跟踪训练 1 已知定义域为 R 的奇函数 f(x)的导函数为 f′(x),当 x≠0 时,

f′(x)+f?xx?<0,若 a=12f(12),b=-

2f(-

2),c=(ln

1 2)f(ln

12),则 a,b,

c 从小到大的排列顺序是__b_<_c_<_a__.

解析 答案

命题角度2 求解不等式

例2 定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f′(x),满足f(x)>f′(x),且

f(0)=2,则不等式f(x)<2ex的解集为_(_0_,__+__∞_)_.

解析



g(x)=f?exx?,则

f′?x?-f?x? g′(x)= ex .

∵f(x)>f′(x),∴g′(x)<0,即函数g(x)在定义域上单调递减.

∵f(0)=2,∴g(0)=f(0)=2,

则不等式等价于g(x)<g(0).

∵函数g(x)单调递减,

∴x>0,∴不等式的解集为(0,+∞).

解析 答案

反思与感悟
根据所求结论与已知条件,构造函数g(x),通过导函数判断g(x)的单调 性,利用单调性得到x的取值范围.

跟踪训练 2 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1)=1,且对任意的 x∈R 都



f′(x)<13,则不等式

f(lg

lg x)>

x3+2的解集为__(0_,_1_0_)__.

解析 答案

类型二 利用导数研究函数的极值与最值
例3 已知函数f(x)=x3+ax2+b的图象上一点P(1,0),且在点P处的切线与 直线3x+y=0平行. (1)求函数f(x)的解析式; 解 因为f′(x)=3x2+2ax,曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)=3+2a, 即3+2a=-3,a=-3. 又函数过(1,0)点,即-2+b=0,b=2. 所以a=-3,b=2,f(x)=x3-3x2+2.
解答

(2)求函数f(x)在区间[0,t](0<t<3)上的最大值和最小值;
解答

(3)在(1)的结论下,关于x的方程f(x)=c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根, 求实数c的取值范围. 解 令g(x)=f(x)-c=x3-3x2+2-c, 则g′(x)=3x2-6x=3x(x-2). 在x∈[1,2)上,g′(x)<0;在x∈(2,3]上,g′(x)>0. 要使g(x)=0在[1,3]上恰有两个相异的实根,

??g?1?≥0, 则??g?2?<0,
???g?3?≥0,

解得-2<c≤0.

解答

反思与感悟
(1)求极值时一般需确定f′(x)=0的点和单调性,对于常见连续函数, 先确定单调性即可得极值点,当连续函数的极值点只有一个时,相应 的极值点必为函数的最值点. (2)求闭区间上可导函数的最值时,对函数极值是极大值还是极小值可 不再作判断,只需要直接与端点的函数值比较即可获得.

跟踪训练3 已知a,b为常数且a>0,f(x)=x3+32 (1-a)x2-3ax+b. (1)函数f(x)的极大值为2,求a,b间的关系式;
解答

(2)函数f(x)的极大值为2,且在区间[0,3]上的最小值为-223 ,求a,b的值.
解答

类型三 数形结合思想的应用
例4 已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函 数),给出以下说法: ①函数f(x)在区间(1,+∞)上是增函数; ②函数f(x)在区间(-1,1)上是增函数; ③函数f(x)在x=-1处取得极大值;
2 ④函数f(x)在x=1处取得极小值. 其中正确的说法是___①__④___.
解析 答案

反思与感悟
解决函数极值与函数、导函数图象的关系时,应注意 (1)对于导函数的图象,重点考查导函数的值在哪个区间上为正,在哪个 区间上为负,在哪个点处与x轴相交,在交点附近导函数值是怎样变化的. (2)对于函数的图象,函数重点考查单调增区间和单调减区间,进而确定 极值点.

跟踪训练4 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x = - 2 处 取 得 极 小 值 , 则 函 数 y = xf′(x) 的 图 象 可 能 是 下 列 图 象 中 的 __①___.(填序号)
解析 答案

当堂训练

1.已知f(x)= x +ln x,则f(e),f(2)与f(3)的大小关系是__f_(3_)_>_f_(e_)_>_f_(2_)_. (用“>”连接)
解析 f(x)的定义域为(0,+∞), ∴f′(x)=21 x+1x>0, ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴f(3)>f(e)>f(2).

1234

解析 答案

2.已知函数f(x)=x3-1 x2-2x+5,若对于任意x∈[-1,2],都有f(x)<m, 2
则实数m的取值范围是__(7_,__+__∞__) _. 解析 f′(x)=3x2-x-2,令f′(x)=0,
得 x=-23或 x=1. 可判断求得f(x)max=f(2)=7. ∵f(x)<m恒成立,∴m>7.

1234

解析 答案

8 3.已知函数 f(x)=x3+bx2+cx 的图象如图所示,则 x21+x22=__3_.

1234

解析 答案

4.设f(x)是R上的奇函数,g(x)是(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且 g(x)≠0.当x<0时,f′(x)g(x)-f(x)g′(x)>0,且f(2)=0,则不等式 f?x? <0
g?x? 的解集是__(-__∞__,__-__2_)∪__(_2_,__+__∞_)__.

1234

解析 答案

规律与方法
导数作为一种重要的工具,在研究函数中具有重要的作用,例如函数 的单调性、极值与最值等问题,都可以通过导数得以解决.不但如此, 利用导数研究得到函数的性质后,还可以进一步研究方程、不等式等 诸多代数问题,所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.

本课结束



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