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2016-2017学年苏教版高中数学必修2(测试)第1章1.3-1.3.2空间几何体的体积 Word版含解析


第1章 1.3

立体几何初步

空间几何体的表面积和体积 1.3.2 空间几何体的体积
A组 基础巩固

1.如图所示, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1, 则三棱锥 D1-ACD 的体积是( )

1 A. 6 1 C. 2

1 B. 3 D.1

1 1 1 解析: 三棱锥 D1-ADC 的体积 V= S△ADC· D1D= × ×AD· DC· D1D 3 3 2 1 1 1 = × = . 3 2 6 答案:A 2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

560 A. 3 580 B. 3 C.200

D.240 解析:先将三视图还原为空间几何体,再根据体积公式求解.由三 视图知该几何体为直四棱柱,其底面为等腰梯形,上底长为 2,下底长 为 8,高为 4,故面积为 S= (2+8)×4 =20. 2

又棱柱的高为 10,所以体积 V=Sh=20×10=200. 答案:C 3.(2014· 浙江卷)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几 何体的体积是( )

A.72 cm3 C.108 cm3

B.90 cm3 D.138 cm3

解析:先根据三视图画出几何体,再利用体积公式求解. 该几何体为一个组合体, 左侧为三棱柱, 右侧为长方体, 如图所示.

1 V=V 三棱柱+V 长方体= ×4×3×3+4×3×6=18+72=90(cm3). 2 答案:B 4.已知直角三角形的两直角边长为 a,b,分别以这两条直角边所 在直线为轴,旋转所形成的几何体的体积之比为( A.a∶b C.a2∶b2 B.b∶a D.b2∶a2 )

1 解析:以长为 a 的直角边所在直线旋转得到圆锥体积 V= πb2a, 3 1 以长为 b 的直角边所在直线旋转得到的圆锥体积 V= πa2b. 3 1 1 所以 πb2a∶ πa2b=b∶a. 3 3 答案:B 5.设正方体的表面积为 24,那么其外接球的体积是( 4 A. π 3 C.4 3π 8π B. 3 D.32 3π )

解析:由题意可知,6a2=24,所以 a=2. 设正方体外接球的半径为 R,则 4 3a=2R,所以 R= 3,所以 V 球= πR3=4 3π. 3 答案:C 6.两个球的半径之比为 1∶3,那么两个球的表面积之比为( A.1∶9 C.1∶3
2

)

B.1∶27 D.1∶1
2
.

?r1? ?1? S1 4πr2 1 1 解析: = 2=?r ? =?3? = . S2 4πr2 ? 2? ? ? 9

答案:A 7.(2014· 天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几 何体的体积为________m3.

解析:根据三视图知,该几何体上部是一个底面直径为 4 m,高为 2 m 的圆锥,下部是一个底面直径为 2 m,高为 4 m 的圆柱. 20 1 故该几何体的体积 V= π·22×2+π·12×4= π(m3). 3 3 答案: 20 π 3

8.已知高为 3 的直棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是边长为 1 的正三角形 (如图所示),则三棱锥 B1-ABC 的体积为________.

解析:因为 S△ABC= 锥的高等于 3,

3 2 3 ×1 = ,B1 到底面 ABC 的距离即为三棱 4 4

1 1 3 3 所以 VB1-ABC= S△ABC·h= × ×3= . 3 3 4 4 答案: 3 4

1 9.圆锥的母线长为 l,高为 l,则过圆锥顶点的最大截面面积为 2 ________. 解析:易得圆锥底面半径为 3 2 l,故轴截面的顶角为 π,从而过圆 2 3

π 锥顶点的最大截面是顶角为 的等腰直角三角形. 2 1 答案: l2 2 B级 能力提升 )

10.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为(

A.8-2π C.8- π 2

B.8-π D.8- π 4

1 解析:这是一个正方体切掉两个 圆柱后得到的几何体,如图所示, 4 几何体的高为 2,

1 V=23- ×π·12×2×2=8-π. 4 答案:B 11.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为 r,R,则球的表 面积为( ) B.4πr2R2 D.π(R+r)2

A.4π(r+R)2 C.4πRr

解析:如图所示,设球的半径为 r1,

则在 Rt△CDE 中,DE=2r1,CE=R-r,DC=R+r.

2 2 由勾股定理得 4r2 1=(R+r) -(R-r) ,解得 r1= Rr.故球的表面积

为 S 球=4πr2 1=4πRr. 答案:C 12.如图所示,在上、下底面对应边的比为 1∶2 的三棱台中,过 上底面一边 A1B1 作一个平行于对棱 AB 的平面 A1B1EF,这个平面分三 棱台成两部分的体积之比为________.

解析:设棱台的高为 h,上底面积为 S,则下底面积为 4S. 1 7 所以 V 台= h(S+4S+2S)= Sh,V 柱 A1B1C1-FEC=Sh. 3 3 所以 3 Sh = = . V台-V柱A1B1C1?FEC 7Sh-Sh 4 3 V柱A1B1C1?FEC

答案:3∶4 或 4∶3 13.把一个圆分为两个扇形,一个顶角为 120°,另一个顶角为 240°,把它们卷成两个圆锥,则两个圆锥的体积之比为________. 解析:设圆的半径为 R,则第一个圆锥底面周长为 C1= 4πR 2R R 所以 r1= .同理,C2= ,所以 r2= .又母线为 R, 3 3 3 所以 h1= 2 2 5 R,h2= R. 3 3 2πR , 3

1 2 2 3 1 4 5 3 所以 V1= πr12h1= πR ,V2= πr2 πR . 2h2= 3 81 3 81 故 V1∶V2=1∶ 10. 答案:1∶ 10

14.如图所示,在等腰三角形 ABC 中,E,F 分别为两腰 AB,AC 的中点,AD⊥BC,EH⊥BC,FG⊥BC,D,H,G 分别为垂足,若将 三角形 ABC 绕 AD 旋转一周所得的圆锥的体积为 V,求其中由阴影部 分所产生的旋转体的体积与 V 的比值.

解:由题意画出图形,如图所示,设圆锥的高为 h,底面半径为 r, h r 则圆柱的高为 ,底面半径为 . 2 2

所以

V-V柱 V柱 =1- = V V

? r ?2 h π?2? · 2 ? ? 3 5 1- =1- = . 1 2 8 8 πr h 3

15.如图所示, 在边长为 23 的正方形中, 剪下了一个扇形和一个圆, 以此扇形和圆分别作圆锥的侧面和底面,求所围成的圆锥的体积.

解:设扇形半径为 x,圆的半径为 r,则扇形弧长等于圆的周长, 1 即 ×2x=2r,所以 x=4r. 4 又 AC=x+r+ 2r=23 2,所以 r= 23 2 =5 2-2. 5+ 2

所以圆锥的高 h= x2-r2= 15r= 15×(5 2-2). 1 1 15 所以圆锥体积 V= πr2·h= π·(5 2-2)2× 15×(5 2-2)= 3 3 3 ×(5 2-2)3π.



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