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【金版优课】高中数学人教A版选修1-2课时作业:2.2.1 综合法和分析法(含答案解析)

课时作业 36 一、选择题 1. 命题“对于任意角 θ, cos4θ-sin4θ=cos2θ”的证明: “cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ +sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”,其过程应用了( A.分析法 B.综合法 C.综合法、分析法综合使用 D.间接证法 解析:从证明过程来看,是从已知条件入手,经过推导得出结论,符合综合法的证明思 路. 答案:B 2.欲证 2- 3< 6- 7成立,只需证( A. ( 2- 3)2<( 6- 7)2 B. ( 2- 6)2<( 3- 7)2 C. ( 2+ 7)2<( 3+ 6)2 D. ( 2- 3- 6)2<(- 7)2 解析:A 中, 2- 3<0, 6- 7<0 平方后不等价;B、D 与 A 情况一样;只有 C 项, 2- 3< 6- 7? 2+ 7< 6+ 3?( 2+ 7)2<( 6+ 3)2.故选 C. 答案:C 3.在△ABC 中,A>B 是 cos2B>cos2A 的( A.既不充分也不必要条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.必要不充分条件 解析: ∵A>B?a>b?sinA>sinB(由正弦定理得), 又 cos2B>cos2A?1-2sin2B>1-2sin2A ?sin2B<sin2A?sinB<sinA. ∴A>B?cos2B>cos2A.故选 C. 答案:C a c 4.已知 a、b、c、d 为正实数,且 < ,则( b d ) ) ) ) a a+c c A. < < b b+d d a c a+c C. < < b d b+d B. a+c a c < < b+d b d D. 以上均可能 a c 解析:先取特值检验,∵ < , b d 可取 a=1,b=3,c=1,d=2, 则 a+c 2 a a+c c = ,满足 < < . b b+d d b+d 5 ∴B、C 不正确. a a+c 要证 < ,∵a、b、c、d 为正实数, b b+d ∴只需证 a(b+d)<b(a+c),即证 ad<bc. a c a c 只需证 < .而 < 成立, b d b d a+c c a a+c ∴ < .同理可证 < . b b+d b+d d 故 A 正确,D 不正确. 答案:A 二、填空题 5.设 n∈N,a= n+4- n+3,b= n+2- n+1,则 a,b 的大小关系是________. 解析:要比较 n+4 - n+3 与 n+2 - n+1 的大小,即判断 ( n+4 - n+3) - ( n+2- n+1) =( n+4+ n+1)-( n+3+ n+2)的符号, ∵( n+4+ n+1)2-( n+3+ n+2)2 =2[ + + - + + ] =2( n2+5n+4- n2+5n+6)<0, ∴ n+4- n+3< n+2- n+1. 答案:a<b 6.已知 p=a+ 1 (a>2),q=2-a2+4a-2(a>2),则 p 与 q 的大小关系是________. a-2 - 1 +2=4, a-2 1 解析:p=a-2+ +2≥2 a-2 -a2+4a-2=2-(a-2)2<2, ∴q<22=4≤p. 答案:p>q 7.若不等式(-1)na<2+ ________. - n n+1 对任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取值范围是 1 1 1 3 3 解析:当 n 为偶数时,a<2- ,而 2- ≥2- = ,∴a< . n n 2 2 2 1 1 当 n 为奇数时,a>-2- ,而-2- <-2, n n 3 ∴a≥-2.综上可得-2≤a< . 2 3 答案:[-2, ) 2 三、解答题 8.设 a,b>0,且 a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2. 证明:综合法 a≠b? a-b≠0? (a-b)2>0 ? a2-2ab+b2>0? a2-ab+b2>ab. 注意到 a,b∈R+,a+b>0,由上式即得 (a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b). ∴a3+b3>a2b+ab2. 9.证明:若 a>b>c 且 a+b+c=0,则 b2-ac < 3. a 证明:∵a>b>c 且 a+b+c=0,∴a>0,c<0. b2-ac 要证 < 3, a 只需证 b2-ac< 3a, 即证 b2-ac<3a2. 因为 b=-a-c, 故只需证(a+c)2-ac<3a2, 即证 2a2-ac-c2>0, 即证(2a+c)(a-c)>0. ∵2a+c>a+b+c=0,a-c>0, ∴(2a+c)(a-c)>0 成立. ∴原不等式成立.


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