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黑龙江省鹤岗一中2014—2015学年高二下学期期末试题 数学(文)


鹤岗一中 2015---2016 年度下学期期末考试 高二文科试题
命题人:鹤岗一中黄丹?审题人:冯春明?
一. 选择题(本题共 12 道小题,每题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 M={x|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1},M∩N=( A.{-2,-1,0,1} B.{-3,-2,-1,0} C.{-2,-1,0} D.{-3,-2,-1} )

2. 函数 y= xln(1-x)的定义域为( ) A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] 3.已知 A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1},则(?RA)∩B=( ) A.{-2,-1} B.{-2} C.{-1,0,1} D.{0,1} 4.“(2x-1)x=0”是“x=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3 x 2 5.定义域为 R 的四个函数 y=x ,y=2 ,y=x +1,y=2 sin x 中,奇函数的个数是 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 2 6.函数 f(x)=2ln x 的图像与函数 g(x)=x -4x+5 的图像的交点个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 7.已知集合 A={2,3,4},B={2,4,6,8},C={(x,y)|x∈A,y∈B, * 且 logxy∈N },则 C 中元素个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 1 2 8.已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x + ,则 f(-1)=( ) x A.-2 B.0 C.1 D.2 9.设 a=log36,b=log510,c=log714,则( ) A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c 10.2x2-5x-3<0 的一个必要不充分条件是 ( )

1 A.- 2 <x<3
3

1 B.- 2 <x<0

1 C.-3<x< 2
)

D.-1<x<6

x 11.函数 y= x 的图像大致是( 3 -1

12.已知 a 为常数,函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点 x1,x2(x1<x2),则( 1 A.f(x1)>0,f(x2)>- 2 1 C.f(x1)>0,f(x2)<- 2 B.f(x1)<0,f(x2)<- D.f(x1)<0,f(x2)>- 1 2 1 2

)

二、填空题(本小题共有 4 道小题,每题 5 分,共 20 分) 13.设集合 M={1,2,3,4,5,6},A ? M,A 不是空集,且满足:a ? A,则 6-a ? A,
则满足条件的集合 A 共有_____________个. 2 14.已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x -4x,那么,不等式 f(x+2)<5 的解集是________. x x 15.设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(e )=x+e ,则 f′(1)=________. 16.下列命题中_________为真命题. ①“A∩B=A”成立的必要条件是“A B” ; 2 2 ②“若 x +y =0,则 x,y 全为 0”的否命题; ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题; ④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题。 三,解答题: (17 题 10 分,18、19、20、21、22 各 12 分) 17.已知函数 f(x)=2sinxcosx+cos2x. (Ⅰ) 求 f(

? ? 2 )的值;(Ⅱ) 设 ? ∈(0, ? ),f( )= ,求 sin ? 的值. 4 2 2

1 ? ?x ? 3 ? 2 t ? x ? 4 cos? ? 18. 已知直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) , 曲线 C 的参数方程为 ? (θ 3 y ? 4 sin ? ? ?y ? 2 ? t ? 2 ?
为参数). (1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,求线段 AB 的长. 19.某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用 题’得分率作用”的试验,其中甲班为试验班 (加强语文阅读理解训练 ),乙班为对比班 (常 规教学,无额外训练),在试验前的测试中,甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本 一致,试验结束后,统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示:

60 分 以下 甲班 (人数) 乙班 (人数) 3

61~ 70 分 6

71~ 80 分 11

81~ 90 分 18

91~ 100 分 12

4

8

13

15

10

现规定平均成绩在 80 分以上(不含 80 分)的为优秀. (1)试分析估计两个班级的优秀率;

(2)由以上统计数据填写下面 2×2 列联表,并问是否有 75%的把握认为“加强‘语文阅读 理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助. 优秀人数 甲班 乙班 合计 非优秀人数 合计

n?ad-bc?2 参考公式及数据:K = , ?a+b??c+d??a+c??b+d?
2

P(K2≥k0) k0 P(K2≥k0) k0

0.50 0.455 0.05 3.841

0.40 0.708 0.025 5.024

0.25 1.323 0.010 6.635

0.15 2.072 0.005 7.879

0.10 2.706 0.001 10.828

20.某产品的三个质量指标分别为 x,y,z,用综合指标 S=x+y+z 评价该产品的等级,若 S≤4,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取 10 件产品作为样本,其质量指标列 表如下: (1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (2)在该样本的一等品中,随机抽取 2 件产品, (i)用产品编号列出所有可能的结果; (ii)设事件 B 为“在取出的 2 件产品中,每件产品的综合指标 S 都等于 4”.求事件 B 发 生的概率.

21.如图,在直角坐标系 xOy 中有一直角梯形 ABCD,AB 的中点为 O,AD⊥AB,AD∥BC,AB=4,BC=3,AD=1,以 A,B 为焦点的椭 圆经过点 C. 产品编号 质量指标 (x,y,z) 产品编号 质量指标 (x,y,z) 程; (2)若点 E(0,1),问是否存在直线 l 与椭圆交于 M,N 两点且|ME|=|NE|,若存在,求出直 线 l 斜率的取值范围;若不存在,请说明理由. A1 (1,1,2) A6 (1,2,2) A2 (2,1,1) A7 (2,1,1) A3 (2,2,2) A8 (2,2,1) A4 (1,1,1) A9 (1,1,1) A5 (1,2,1) A10 (2,1,2) ( 1) 求 椭 圆 的 标 准 方

22.已知函数 f(x)=e -ln(x+m). (1)设 x=0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性; (2)当 m≤2 时,证明 f(x)>0.

x

鹤岗一中 2015---2016 年度下学期期末考试 高二文科答案
一、 选择题: 1、C 2、B 3、A 4、B 5、C 6、B 7、C 8、A 二、填空题: 13、 7 14、 (-7,3) 15、 2 三、解答题: 17、 (10 分).解:(Ⅰ) 9、D 10、D 11、C 12、D 16、 ②④

(Ⅱ)

18、 (12 分). 解: (1)

(2)将

代入 ,则

,并整理得 ,

设 A,B 对应的参数为 ,

19.(12 分)(1)由题意知,甲、乙两班均有学生 50 人,

30 甲班优秀人数为 30 人,优秀率为50=60%, 25 乙班优秀人数为 25 人,优秀率为50=50%, 所以甲、乙两班的优秀率分别为 60%和 50%. (2) 优秀人数 甲班 乙班 合计 30 25 55 非优秀人数 20 25 45 合计 50 50 100

100×(30×25-20×252 100 2 因为 K = 50×50×55×45 = 99 ≈1.010, 所以由参考数据知,没有 75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用 题’得分率”有帮助. 20.(12 分)解:(1)计算 10 件产品的综合指标 S,如下表: 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10

S

4

4

6

3

4

5

4

5

3

5

6 其中 S≤4 的有 A1,A2, A4,A5,A7,A9,共 6 件,故该样本的一等品率为10=0.6. 从而可估计该批产品的一等品率为 0.6. (2)(i)在该样本的一等品中,随机抽取 2 件产品的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A4}, {A1,A5},{A1,A7},{A1,A9},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A7},{A2,A9},{A4,A5}, {A4,A7},{A4,A9},{A5,A7},{A5,A9},{A7,A9},共 15 种. (ii)在该样本的一等品中,综合指标 S 等于 4 的产品编号分别为 A1,A2,A5,A7,则事件 B 发生的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A5},{A1,A7},{A2,A5},{A2,A7},{A5,A7}, 共 6 种. 6 2 所以 P(B)=15=5. x2 y2 21.(12 分)解:(1)连接 AC,依题意设椭圆的标准方程为a2+b2=1(a>b>0),在 Rt△ABC 中, AB=4,BC=3,∴AC=5. ∴CA+CB=5+3=2a,a=4. 又 2c=4,∴c=2,从而 b==2,

x2 y2 ∴椭圆的标准方程为16+12=1. (2)由题意知,当 l 与 x 轴垂直时,不满足|ME|=|NE|,当 l 与 x 轴平行时,|ME|=|NE|显然 成立,此时 k=0. 设直线 l 的方程为 y=kx+m(k≠0), y2 由=1,消去 y 得 (3+4k2)x2+8kmx+4m2-48=0, ∵Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-48)>0, ∴16k2+12>m2,① 令 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点为 F(x0,y0), x1+x2 -4km 3m 则 x0= 2 =3+4k2,y0=kx0+m=3+4k2, ∵|ME|=|NE|,∴EF⊥MN,∴kEF×k=-1, -4km 即3+4k2×k=-1, 化简得 m=-(4k2+3), 结合①得 16k2+12>(4k2+3)2,即 16k4+8k2-3<0, 1 1 解之得-2<k<2(k≠0). 1 1 综上所述,存在满足条件的直线 l,且其斜率 k 的取值范围为(-2,2). 1 x 22.(12 分)解:(1)f′(x)=e -x+m. 由 x=0 是 f(x)的极值点得 f′(0)=0,所以 m=1. 1 x x 于是 f(x)=e -ln(x+1),定义域为(-1,+∞),f′(x)=e -x+1. 1 x 函数 f′(x)=e -x+1在(-1,+∞)单调递增, 且 f′(0)=0,因此当 x∈(-1,0)时, f′(x)<0;当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0. 所以 f(x)在(-1,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. (2)证明:当 m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当 m=2 时, f(x)>0. 1 x 当 m=2 时,函数 f′(x)=e -x+2在(-2,+∞)单调递增.又 f′(-1)<0,f′(0)>0, 故 f′(x)=0 在(-2,+∞)有唯一实根 x0,且 x0∈(-1,0). 当 x∈(-2,x0)时,f′(x)<0;当 x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,从而当 x=x0 时,f(x) 取得最小值. 由 f′(x0)=0 得

1 ex0=x0+2,ln(x0+2)=-x0, 1 (x0+1)2 故 f(x)≥f(x0)=x0+2+x0= x0+2 >0. 综上,当 m≤2 时,f(x)>0.


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