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3.2对数与对数函数


3.2 一、对数及其运算 1、 对数概念 、 对数概念:

对数与对数函数

(1) 定义: ) 定义:

(2) 对数恒等式: a ) 对数恒等式:

log a N

=N

的性质: (3)对数 log a N (a > 0, 且 a ≠ 1 )的性质: ) 和负数没有对数, ① 0 和负数没有对数,即: N > 0 ; ② 1 的对数为 0,即: log a 1 = 0 ; , ③ 底的对数等于 1,即: log a a = 1 ; , 如: log 3 3 =

; ;

log 1 1 =
2

; ;

log 2 32 =

log 5

1 = 5
2

π

logπ 3

=

?1? ; ? ? ?2?

log 1 3

=



2、常用对数: 、常用对数: 自然对数: 自然对数: 如: lg1000 = ; ; ;

lg 0.0001 = ln e =

1

3、积、商、幂的对数 、 设 M > 0, N > 0 ; ( a > 0, a ≠ 1) (1) log a (M ? N ) = log a M + log a N ; ) 可以进一步推广。 以进一步推广。

(2) log a )

M = log a M ? log a N ; N
α

(3) log a M )

= α ? log a M

表示下列各式: 例 1、用 log a x, log a y , log a z 表示下列各式: 、 (1) log a )

xy z



3 4 (2) log a x y )

(

)



x (3) log a ) yz 2

(4) ; ) log a (

x2 ? y
3

z

例 2、计算: 、计算:
7 5 (1) lg 5 1000 ; (2) log 2 4 ? 2 ) ) 2

(

)



(3) lg 4 + lg 25 ; (4) ( lg 2 ) + lg 20 × lg 5 ) ) (5) log 9 27 + log 2 + ) (6) lg 25 + )

3

( 2 ? 3 ) + log

1 2

16



2 2 lg 8 + lg 5 ? lg 20 + ( lg 2 ) ; 3

例 3、求下列各式中的 x : 、 (1) log x 27 = )

3 2

(2) ; ) log 2 x = ? (

2 3



2

(3) log x 3 + 2 2 = ?2 ; ) (4) log 5 ( log 2 x ) = 0 ; (5) x = log 27 ) )

(

)

1 9



例 4、若 f (log 2 x) = x ,则 f ( ) = 、 4、换底公式 、

1 2



log b N =

log a N log a b

推论: (1) 推论: )log a b ? log b a = 1 ( (进一步有: log 1 进一步有:
a

(2) ; )log am b = (
n

n log a b m



1 = log a b 等) 。 b


如: log 8 9 ? log 27 32 =

log 8 9 = log 2 3



例 5、已知 log 8 9 = a , log 2 5 = b ,用 a, b 表示 lg 3 。 、

都是正数, 那么( 例 6、若 a, b, c 都是正数,且 3 = 4 = 6 ,那么( 、
a b c



A B

1 1 1 = + c a b 2 2 1 = + c a b

3

C D

1 2 2 = + c a b 2 1 2 = + c a b

二、对数函数 1、定义: 、定义:

例、判断下列函数是否为对数函数? 判断下列函数是否为对数函数?

y = 2 log 3 x , y = ? log 1 x
2



y = log 5 ( x + 1)

, s = log 8 t , y =

y = log 3 x

, y = log 2 x

1 log 4 x3 , 3 , x = log 2 y
3

2、对数函数的图象: 、对数函数的图象: 为例说明: 以函数 y = log 2 x , y = log 1 x 为例说明:
2

3、对数函数的性质: 、对数函数的性质: 定义域为: ① 定义域为: ( 0, +∞ ) ;值域为:R ; 值域为:

② 在定义域内,当 a > 1 时是增函数; 在定义域内, 时是增函数; 时是减函数; 当 0 < a < 1 时是减函数; ③ 图象都通过点 (1, 0 ) ;

4

(其它的一些性质可以看图得出) 其它的一些性质可以看图得出)

的大小; (1) 例 1、 )比较 log 2 3 与 log 2 3.5 的大小; 、 ( 的大小; (2)比较 log 6 7 与 log 7 6 的大小; ) 的大小; (3)比较 log 5 7 与 log 6 7 的大小; ) 的大小; (4)比较 log 3 0.5 与 log 5 0.3 的大小; )
5.1 (5) p = 0.9 ) , m = 5.1
0.9

, n = log 0.9 5.1 ;

( 6)若 log 0.7 ( 2m ) < log 0.7 ( m ? 1) ,则 m 的取值范围 ) 是 ;

三、指数函数与对数函数的关系 定义: 原函数与反函数图象的关系: 关于直线 y = x (2) (1) ) 定义: ) ( 原函数与反函数图象的关系: 对称。 对称。 如 : 函数 y = log 5 x 的反函数为 ; 函数 ; ;

y = 22 x ?1 的函数是
2 函数 y = x ( x < ?1) 的反函数为

(3)求一个函数的反函数的三个步骤; )求一个函数的反函数的三个步骤; (4)原函数与反函数的定义域、值域的关系; )原函数与反函数的定义域、值域的关系; 一个函数与若存在反函数,则它们有相同的单调性; 一个函数与若存在反函数,则它们有相同的单调性; 定义域上的单调函数必有反函数;偶函数没有反函数; 定义域上的单调函数必有反函数;偶函数没有反函数; 例 2 、( 1 ) 已 知 log a x = 4, log a y = 5

, 试 求 :

5

? A = ? x? 3 ? ?

1 ?2 的值; ? 的值; ? x ? y2 ?
20 + lg 2 10

1

(2)计算: lg 5 ? log )计算:

(

2

)

2

例 3 、 函 数 f ( x) = log 1 x ? 6 x + 5 的 单 调 递 减 区
2 2





例 4 、 函 数 f ( x) = ?

?4 x ? 4( x ≤ 1),
2 ? x ? 4 x + 3( x > 1)

,的图象和函数

g ( x) = log 2 x 的图象的交点个数是( 的图象的交点个数是(
A 4 1 B 3 C 2

) D

例 5、求函数的定义域: 、 函数的定义域: ( 1 )

y=

log 0.8 x ? 1 2x ?1



( 2 )

y = log 1 lg ?log a ( x 2 ? 1) ? , ( a > 0, a ≠ 1) ; ? ?
2

{

}

6

例 6、已知:函数 f ( x ) = log a 、已知:

1+ x ( ) ( a > 0, a ≠ 1) , 1)判断 1? x

f ( x) 的奇偶性,并予以证明; 的奇偶性,并予以证明;
(2)解不等式: f ( x ) > 0 ; )解不等式:

例 7、 、 已知 f ( x) =

3 ? 2 x ? x 2 ,求 f (lg x) 的定义域、值域、 的定义域、 值域、

单调区间。 单调区间。

7


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