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【全效学习】2018届中考数学学练测《第5讲第3课时二次函数与相似三角形的综合》课件_图文

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第3课时

二次函数与相似三角形的综合

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1 2 1 [2017· 宁波]如图 5-3-1, 抛物线 y= x + x+c 与 x 轴的 4 4 负半轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,连结 AB,点 抛物线上,直线 AC 与 y 轴交于点 D.
? 15? C?6, 2 ?在 ? ?

(1)求c的值及直线AC的函数表达式; (2)点P在x轴正半轴上,点Q在y轴正半轴上,连结PQ与直线 AC交于点M,连结MO并延长交AB于点N,若M为PQ的中 点.
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①求证:△APM∽△AON;
②设点M的横坐标为m,求AN的长(用含m的代数式表示).

图5-3-1

例1答图

【解析】 (1)将点C的坐标代入二次函数的表达式中,可求出点
c的值;令y=0,求得点A的坐标,利用待定系数法求得直线 AC的函数表达式;
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(2)①分别求出点D,点B的坐标,求得∠OAB=∠OAD,根据
直角三角形斜边中线等于斜边一半,知OM=PM,∴∠MOP =∠MPO,易求∠APM=∠AON,利用两角对应相等的两个 三角形相似,结论易证;
AM AP ②由△APM∽△AON,得 = ,分别用含 m 的代数式表示 AN AO AM,AP,AO 的值,即可求出 AN 的值.
解:(1)把点 -3.
? 15? 15 3 ? ? C 6, 2 代入二次函数,得 =9+ +c,解得 2 2 ? ?

c=

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1 2 1 ∴y= x + x-3,令 y=0,则 4 4 1 2 1 x + x-3=0,解得 x1=-4,x2=3. 4 4

∴A(-4,0).设直线 AC 的函数表达式为 y=kx+b(k≠0), 把
? 15? A(-4,0),C?6, 2 ?代入, ? ?

3 0=-4k+b, ? ? ? ?k= , 4 得?15 解得? =6k+b, ? ? ?2 ?b=3. 3 ∴直线 AC 的函数表达式为 y= x+3. 4
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OB 3 (2)①∵在 Rt△AOB 中,tan∠OAB=OA= , 4 OD 3 在 Rt△AOD 中,tan∠OAD= OA = , 4
∴∠OAB=∠OAD. ∵在Rt△POQ中,M为PQ的中点,

∴OM=MP.∴∠MOP=∠MPO,
∵∠MOP=∠AON,∴∠APM=∠AON, ∴△APM∽△AON. ②如答图,过点M作ME⊥x轴于点E, 又∵OM=MP,∴OE=EP.

∵点M横坐标为m,
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∴AE=m+4,AP=2m+4. 3 ∵tan∠OAD= , 4

4 ∴cos∠EAM=cos∠OAD= . 5 5(m+4) 5 ∴AM= AE= . 4 4 5m+20 AM AP 由△APM∽△AON,得 = ,∴AN= . AN AO 2m+4 【点悟】 此类问题要注意当相似三角形的对应边和对应角不
明确时,要分类讨论,以免漏解.
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1.[2016· 十堰]如图5-3-2①,在平面直角坐标系xOy中,抛

物线y=ax2+1经过点A(4,-3),顶点为B,P为抛物线上的一
个动点,l是过点(0,2)且垂直于y轴的直线,过点P作PH⊥l, 垂足为H,连结PO.

图5-3-2
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(1)求抛物线的表达式,并写出其顶点B的坐标;

5 , 5 ,PH=_____ (2)①当点P运动到点A处时,计算:PO=_____
= PH(选填“>”“<”或“=”); 由此发现,PO______

②当点P在抛物线上运动时,猜想PO与PH有什么数量关系,
并证明你的猜想; (3)如图②,设点C(1,-2),问是否存在点P,使得以P,O,

H为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出P点的坐标;
若不存在,请说明理由.

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解: (1)∵抛物线 y=ax2+1 经过点 A(4,-3), 1 ∴-3=16a+1,解得 a=- , 4 1 2 ∴抛物线的表达式为 y=- x +1,顶点 B 坐标为(0,1); 4 (2)①当点 P 运动到点 A 处时,PO=5,PH=5,PO=PH; ②结论:PO=PH.理由: 设点 P
? ? 1 2 坐标为?m,-4m +1?, ? ?

? 1 2 ? 1 2 ∵PH=2-?-4m +1?= m +1, ? ? 4
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PO=

m

2

? 1 2 ?2 1 2 +?-4m +1? = m +1, 4 ? ?

∴PO=PH; (3)存在,理由:∵BC= 12+32= 10,AC= 12+32= 10,AB = 42+42=4 2, ∴BC=AC, ∵PO=PH,以 P,O,H 为顶点的三角形与△ABC 相似, ∴PH 与 CB,PO 与 CA 是对应边,

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? ? 1 2 PH CB ∴HO=BA,设点 P?m,-4m +1?, ? ?

1 2 m +1 4 10 ∴ = ,解得 m=± 1, m2 + 4 4 2 ∴点 P
? 3? ? 3? 坐标为?1,4?或?-1,4?. ? ? ? ?

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[2017· 湖州]如图5-3-3,在平面直角坐标系xOy中,已 知A,B两点的坐标分别为(-4,0),(4,0),C(m,0)是线 段AB上一点(与A,B点不重合),抛物线L1:y=ax2+b1x+ c1(a<0)经过点A,C,顶点为D,抛物线L2:y=ax2+b2x+ c2(a<0)经过点C,B,顶点为E,AD,BE的延长线相交于

1 (1)若 a=- ,m=-1,求抛物线 L1,L2 的表达式; 2 (2)若a=-1,AF⊥BF,求m的值;

点F.

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(3)是否存在这样的实数a(a<0),无论m取何值,直线AF与BF
都不可能互相垂直?若存在,请直接写出a的两个不同的值; 若不存在,请说明理由.

图5-3-3

例2答图

【解析】 (1)把m=-1代入得到已知点坐标,利用待定系数法 求出函数表达式;
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(2)如答图,过点D作DG⊥x轴于点G,过点E作EH⊥x轴于点 H,把a=-1代入函数表达式,然后结合(-4,0),(m,0)代

入求出函数表达式L1,然后分别求出D点,G点坐标,得到
DG,AG的长,同理得到L2,再根据三角形相似的判定与性质 构造方程求解;

(3)由(1)(2)的解答,直接写出答案. ? 1 2 - × (- 1 ) -b1+c1=0, ? 2 解:(1)由题意得? ?-1×(-4)2-4b1+c1=0, ? 2
5 ? ?b1=- , 2 解得? ? ?c1=-2.
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1 2 5 ∴抛物线 L1 的表达式是 y=- x - x-2. 2 2 ? 1 2 3 ? - × (- 1 ) -b2+c2=0, ? 2 ?b2= , 2 同理? 解得? ? ?-1×42+4b2+c2=0, ?c2=2. ? 2

1 2 3 ∴抛物线 L2 的表达式是 y=- x + x+2, 2 2 (2)如答图,过点 D 作 DG⊥x 轴于点 G,过点 E 作 EH⊥x 轴于
? ? ?0=-16-4b1+c1, ?b1=m-4, 由题意得? 解得? 2 ? ? ?0=-m +b1m+c1, ?c1=4m,

点 H,

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∴抛物线 L1 的表达式是 y=-x2+(m-4)x+4m. ∴点 D
?m-4 m2+8m+16? ? ? 的坐标是? , ?. 2 4 ? ?

m2+8m+16 (m+4)2 m+ 4 ∴DG= = ,AG= . 4 4 2 同理可得抛物线 L2 的表达式为 y=-x2+(m+4)x-4m. m2-8m+16 (m-4)2 4- m ∴EH= = ,BH= . 4 4 2 ∵AF⊥BF,DG⊥x轴,EH⊥x轴,

∴∠AFB=∠AGD=∠EHB=90°, ∴∠ADG=∠ABF=90°-∠BAF,
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∴△ADG∽△EBH, (m+4)2 m+ 4 4 2 DG AG ∴BH=EH,∴ = , 4-m (m-4)2 2 4 化简,得 m2=12,解得 m=± 2 3. 1 1 (3)存在,例如:a=- ,a=- .(答案不唯一) 3 4

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8 [2017· 郴州]如图 5-3-4,已知抛物线 y=ax + x+c 与 x 轴交 5
2

于 A,B 两点,与 y 轴交于 C 点,且 A(2,0),C(0,-4),直线 1 8 2 l:y=- x-4 与 x 轴交于点 D,点 P 是抛物线 y=ax + x+c 2 5 上的一动点,过点 P 作 PE⊥x 轴,垂足为 E,交直线 l 于点 F. (1)试求该抛物线表达式;
(2)如图①,若点P在第三象限,四边形PCOF是平行四边形, 求P点的坐标; (3)如图②,过点P作PH⊥y轴,垂足为H,连结AC.
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图5-3-4 ①求证:△ACD是直角三角形; ②试问当P点横坐标为何值时,使得以点P,C,H为顶点的三 角形与△ACD相似? 【解析】 (1)直接利用待定系数法求出a,c的值进而得出答 案;
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(2)设 P

? ? 1 2 8 点的坐标为?m,5m +5m-4?,进而用含 ? ?

m 的代数式表

示点 F 的坐标以及 PF 的长, 然后根据平行四边形的性质求出 m 的值,从而确定 P 点的坐标; (3)①分别求出A,C,D三点的坐标,利用勾股定理的逆定理
证明△ACD为直角三角形;②根据对应角的不同分类讨论以 P,C,H为顶点的三角形与△ACD相似的情况,从而确定P的 横坐标.

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8 ? ?4a+ ×2+c=0, 5 解:(1)由题意得? ? ?c=-4, 1 ? ?a= , 1 2 8 5 解得? ∴抛物线的表达式为 y= x + x-4; 5 5 ? ?c=-4, (2)设
? ? 1 2 8 P?m,5m +5m-4?,则 ? ? ? ? 1 F?m,-2m-4?, ? ?

? 1 ? ?1 2 8 ? 1 2 21 ? ? ? ? - m - 4 m + m - 4 ∴PF= 2 - =- m - m.∵PE⊥x 5 5 10 ? ? ?5 ?

轴,

∴PF∥OC,

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∴当 PF=OC 时,四边形 PCOF 是平行四边形, 1 2 21 5 ∴- m - m=4,解得 m1=- ,m2=-8, 5 10 2 5 1 2 8 27 当 m1=- 时, m + m-4=- , 2 5 5 4 1 2 8 当 m2=-8 时, m + m-4=-4, 5 5 ∴P 点的坐标为
? 5 27? P1?-2,- 4 ?,P2(-8,-4). ? ?

1 (3)①证明:对于 y=- x-4,令 y=0,解得 x=-8,∴D(-8, 2 0),∴OD=8,∵A(2,0),C(0,-4),
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∴AD=2-(-8)=10,AC2=22+42=20,DC2=82+42=80,
又∵AD2=100,∴AC2+CD2=AD2, ∴△ACD是直角三角形,且∠ACD=90°. ②由①得∠ACD=90°, ? ? 1 2 8 设点 P 的坐标为?n,5n +5n-4?, ? ?
AC CH (Ⅰ)当△ACD∽△CHP 时, = , CD HP 1 2 8 1 2 8 - n- n n+ n 5 5 5 2 5 2 5 5 即 = 或 = , -n -n 4 5 4 5

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解得 n1=0(舍去),n2=-5.5,或 n3=0(舍去),n4=-10.5; AC PH (Ⅱ)当△ACD∽△PHC 时,CD=HC, 2 5 即 = 4 5 -n -n 2 5 或 = , 1 2 8 1 8 4 5 - n- n n2+ n 5 5 5 5

解得 n5=0(舍),n6=2 或 n7=0(舍),n8=-18. 综上, 当 P 点横坐标为-5.5 或-10.5 或 2 或-18 时, 以 P, C, H 为顶点的三角形与△ACD 相似.

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