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2012-2013概率统计A(B卷)解答


2012~ 2013 学年第一学期考查试卷
课程序号 210107 班级 学号 姓名 ____________

《概率论与数理统计 A》课程试卷(B 卷)解答
(本卷考试时间 90 分钟)

题号 题分 得分

一 21

二 21

三 10

四 10

五 10

六 8

七 10

八 10

总 分 100

一、单项选择题(本题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分,将答案填在下面对应的空格中)

1.

A

;2.

C

;3.

B

;4. D

;5.

D



6.

B

;7.

A

. ( )

1.设 P ( AB) ? 0 , P ( A) ? 0 ,则下列结论中错误的是 (A)事件 A 与 B 互不相容 (C) P( A ? B) ? P( A) (B) P ( A ? B) ? P ( A) ? P ( B) (D) P ( B A) ? 0 .

2. 从编号为 1、 3、 5 的 5 个球中任取 3 个, 2、 4、 中间号码为 4 的概率是 (A)
1 10


4 10



(B)

2 10

(C)

3 10

(D)

3.设随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) ? A ? B arctanx , 则 1 1 1 1 (A) A ? ? , B ? (B) A ? , B ? 2 ? 2 ? 1 1 1 1 (C) A ? , B ? ? (D) A ? ? , B ? ? 2 ? 2 ?





?2 x , 4. 若随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) ? ? ?0,

x ? (0,1) , Y ? 3 X 的概率密度为 则 ( x ? (0,1)



概率论与数理统计 A(B 卷)解答 第 1 页

共 6页

?2y ? , (A) ? 3 ? 0, ? ?2y ? , (C) ? 9 ? 0, ?

y ? (0,3) y ? (0,3) y ? (0,1) y ? (0,1)

?2y ? , (B) ? 3 ? 0, ? ?2y ? , (D) ? 9 ? 0, ?

y ? (0,1) y ? (0,1) y ? (0,3) y ? (0,3)

5. X ~ N (1,4 2 ),Y ~ N (?1,3 2 ) , X , Y 相互独立, X ? Y ? 1 服从 设 且 则 ( 2 (A) N (3,8) (B) N (3,7) (C) N ( 3,26) (D) N (3,5 )



6.设 X 1 , X 2 ,?, X n 是来自总体 X 的样本( n ? 1 ) X 为样本均值, S 2 为样本方差,则下 , 列结论中错误的是 (A) E( X ) ? E( X ) (B) D( X ) ? D( X ) (C) D( X ) ?
D( X ) n

( (D) E( S 2 ) ? D( X )



7. 在假设检验中,? 为犯第一类错误的概率、? 为犯第二类错误的概率, 当样本容量 n 增 加时,则有 (A) ? 、 ? 都变小 (B) ? 、 ? 都变大 (C) ? 变小且 ? 变大 ( ) (D) ? 变大且 ? 变小

二、填空题(本题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分,将答案填在下面对应的空格中)
1. 0.985 ; 2. 6 ; 3. 0 ;4. 0.7 ;

5. Y ?

1 1 X 1 ? X 2 ; 6. F (n,1) 2 2

; 7.

4.4951? 0.8 x



1.某公司分别投标两个独立的项目,中标的概率分别为 0.85 和 0.90,则该公司所投的两 个项目至少有一个中标的概率为 2.设总体服从参数为 ? ? 2 的泊松分布,则 E( X 2 ) ? 3.设 D( X ) ? 1, D(Y ) ? 1 ,则 Cov( X ? Y , X ? Y ) ? 4.设总体 X 的分布律为
X pk

. . .

1 (? ? 1) 2

2 2? (1 ? ? )

3 ?2

概率论与数理统计 A(B 卷)解答 第 2 页

共 6页

? 其中 ? ( 0 ? ? ? 1 )为未知参数,若样本均值 x ? 2.4 ,则参数 ? 的矩估计值 ? ?



5. X 1 , X 2 是来自总体 X 的样本, 设 则总体均值 ? 的无偏估计量 Y ? aX1 ? (1 ? a ) X 2 中最有 效的是 .

6.设 T ~ t ( n) ( n ? 1 ) ,则 Z ?

1 ~ T2



7.根据每个家庭对某种商品年需求量 y (公斤)与该商品价格 x (元)的一组抽样数据计算 得到

x ? 2.9, y ? 2.1, Lxx ? 7.18, Lxy ? ?5.93, Lyy ? 6.58,
? 则 y 关于 x 的线性回归方程为 y ?
(保留 4 位小数) .

三、 (10 分)玻璃杯 20 只一箱,每箱中有 1 只、2 只次品的概率分别为 0.10、0.05,顾客 随意选一箱,从中任取 5 只检查,若全是正品则买下整箱玻璃杯,(1) 求顾客买下一整箱 玻璃杯的概率;(2)若顾客买下一整箱玻璃杯,求该箱玻璃杯全是正品的概率. 解: B0 , B1 , B2 分别表示一箱玻璃杯中有 0、 2 只次品,A 表示顾客买下一整箱玻璃杯, 设 1、 则 (1) P ( A) ? P( B0 ) P( A / B0 ) ? P( B1 ) P( A / B1 ) ? P( B2 ) P( A / B2 ) (3 分) (6 分)

? 0.85 ?

5 C 20 C5 C5 ? 0.10 ? 19 ? 0.05 ? 18 ? 0.9526, 5 5 5 C 20 C 20 C 20

(2) P ( B0 / A) ?

P ( B0 ) P ( A / B0 ) P ( A)
0.85 ? 1 ? 0.8923. 0.9526

(8 分)

?

(10 分)

?e ? x , x ? 0,0 ? y ? 1 四、 (10 分)设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度为 f ( x , y ) ? ? , 其他 ?0,

(1) 求关于 X 、 Y 的边缘概率密度 f X ( x ) 、 f Y ( y ) ;并由此判断 X 与 Y 是否相互独立? 概率论与数理统计 A(B 卷)解答 第 3 页
共 6页

(2)求 E ( XY ) .

? 1 e ? x dy, x ? 0 ?e ? x , x ? 0 ? 解:(1) f X ( x ) ? ? f ( x, y )dy ? ? ?0 , ?? ?? x?0 ?0, x ? 0 ?0, ? ?? ? e ? x dx, y ? (0,1) ?1, y ? (0,1) ?? ? , f Y ( y ) ? ? f ( x, y )dx ? ? ?0 ?? ?? ?0, y ? (0,1) ?0, y ? (0,1) ?
??

(2 分)

(4 分) (5 分) (7 分) (9 分)

f ( x , y ) ? f X ( x ) f Y ( y ) ,所以 X 与 Y 相互独立.

(2) X ~ e(1) , E ( X ) ? 1 ,
Y ~ U (0,1) , E (Y ) ?

1 , 2

因为 X 与 Y 相互独立,所以 E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ?

1 . 2

(10 分)

?? x? ?1 , 0 ? x ? 1 五、 (10 分)设总体 X 的概率密度为 f ( x ) ? ? , 其中 ? 为未知参数,试求参 其它 ? 0,
数 ? 的极大似然估计. 解:似然函数为 L(? ) ? ? f ( x i ) ? ? ? x i
i ?1 i ?1 n n

? ?1

? ? (? x i )? ? 1 ,
n i ?1

n

(4 分) (6 分) (8 分) (10 分)

ln L(? ) ? n ln? ? (? ? 1)(? ln x i ) ,
i ?1

n

d ln L(? ) n n ? ? ? ln x i ? 0 , d? ? i ?1

? 所以参数 ? 的极大似然估计为 ? L ? ?

n
i ?1

? ln x i

n



六、 (10 分)据统计 2012 年安卓系统在手机市场占有率为 60%,现随机调查了 100 个手 机用户,试用中心极限定理求其中安卓系统用户超过半数的概率. 解:设所调查的手机用户中安卓系统用户数为 X ,则 X ~ B(100,0.6) , 概率论与数理统计 A(B 卷)解答 第 4 页
共 6页

(2 分)

于是

E ( X ) ? 60, D( X ) ? 24 ,
近似

(4 分) (6 分) (8 分) (10 分)

由中心极限定理可知
于是

X ~ N (60,24) ,

? 50 ? 60 ? P{ X ? 50} ? 1 ? ? ? ? ? 24 ?

? 1 ? ? ? ?2.04? ? ? ? 2.04? ? 0.9793 .

七、 8 分) ( 钢丝的折断强度 (单位: 服从 N ( ? , ? 2 ) , kg) 抽查 20 根测得样本方差为 S 2 ? 12.5 , 求标准差 ? 的置信度为 95%的置信区间.
? ( n ? 1) S 2 ( n ? 1) S 2 ? ? 解:均值 ? 未知,方差 ? 的 1 ? ? 置信区间为 ? 2 ? ? ? ( n ? 1) , ? 2 ? ( n ? 1) ? , ? ? 1? 2 ? 2 ? 2 2 2 n ? 20, S ? 12.5 ; ? ? 0.05, ? 0.025 (19) ? 32.852, ? 0.975 (19) ? 8.907,
2

(3 分) (5 分) (7 分) (8 分)

, ) 所以方差 ? 2 置信度为 95%的置信区间为 (7.2294 26.6644 , , ) 故标准差 ? 置信度为 95%的置信区间为 (2.68885.1638 .

八、 (10 分)假设某种蔬菜的价格(单位:元)服从正态分布,平均价格为 3.5,一场降雪 之后根据随机抽取的 10 个蔬菜摊位的报价,得到的样本均值为 X ? 4.1 ,样本方差为
S 2 ? 11.2 ,可否认为降雪之后这种蔬菜的价格有明显的上升( ? ? 0.05 )?

概率论与数理统计 A(B 卷)解答 第 5 页

共 6页

解: H 0 : ? ? 3.5, H 1 : ? ? 3.5 , , S n 拒绝域 W ? {T ? t? (n ? 1)} , 统计量

(2 分) (3 分) (4 分) (6 分) (7 分) (9 分) (10 分)

T?

X ? 3.5

n ? 10, x ? 4.1, s ? 11.2 , ? ? 0.05, t 0.05 (9) ? 1.8331, 拒绝域 W ? {T ? 1.8331 , } 4.1 ? 3.5 由于 t ? ? 0.5669? W , 11.2 10
所以接受 H 0 ,不能认为降雪之后这种蔬菜的价格有明显的上升( ? ? 0.05 ) .

概率论与数理统计 A(B 卷)解答 第 6 页

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