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高考数学必胜秘诀在哪?――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 高考数学选择题的解题策略


高考数学必胜秘诀在哪? 高考数学必胜秘诀在哪? ――概念、方法、题型、 ――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 概念 高考数学选择题的解题策略 高考数学选择题的解题策略 选择
数学选择题在当今高考试卷中,不但题目多,而且占分比例高,即使今年江苏试题的 题量发生了一些变化,选择题由原来的 12 题改为 10 题,但其分值仍占到试卷总分的三分 之一。数学选择题具有概括性强,知识覆盖面广,小巧灵活,且有一定的综合性和深度等 特点,考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题,成为高考成功的关键。 解答选择题的基本策略是准确、迅速。准确是解答选择题的先决条件,选择题不设中 间分,一步失误,造成错选,全题无分,所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏 漏,确保准确;迅速是赢得时间获取高分的必要条件,对于选择题的答题时间,应该控制 在不超过 40 分钟左右,速度越快越好,高考要求每道选择题在 1~3 分钟内解完,要避免 “超时失分”现象的发生。 高考中的数学选择题一般是容易题或中档题,个别题属于较难题,当中的大多数题的 解答可用特殊的方法快速选择。解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想, 但更应看到选择题的特殊性,数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的,因而, 在解答时应该突出一个“选”字,尽量减少书写解题过程,要充分利用题干和选择支两方 面提供的信息,依据题目的具体特点,灵活、巧妙、快速地选择解法,以便快速智取,这 是解选择题的基本策略。

(一)数学选择题的解题方法
1、直接法:就是从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论再 直接法 与选择支对照,从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。 例 1、某人射击一次击中目标的概率为 0.6,经过 3 次射击,此人至少有 2 次击中目 标 的 概 率 为 ( ) 81 54 36 27 A. B. C. D. 125 125 125 125 解析:某人每次射中的概率为 0.6,3 次射击至少射中两次属独立重复实验。 解析 6 4 6 27 故选 A。 C 32 × ( ) 2 × + C 33 × ( ) 3 = 10 10 10 125 例 2、有三个命题:①垂直于同一个平面的两条直线平行;②过平面α的一条斜线 l 有且仅有一个平面与α垂直;③异面直线 a、b 不垂直,那么过 a 的任一个平面与 b 都不 垂直。其中正确命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断,易得都是正 解析 确的,故选 D。

x2 y2 + =1 的两焦点,经点 F2 的的直线交椭圆于点 A、B,若 例 3、已知 F1、F2 是椭圆 16 9
|AB|=5,则|AF1|+|BF1|等于( ) A.11 B.10 C.9 D.16 解 析 : 由 椭 圆 的 定 义 可 得 |AF1|+|AF2|=2a=8,|BF1|+|BF2|=2a=8 , 两 式 相 加 后 将 |AB|=5=|AF2|+|BF2|代入,得|AF1|+|BF1|=11,故选 A。
1

例 4、已知 y = log a (2 ? ax) 在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (0,2) D.[2,+∞) 解析:∵a>0,∴y1=2-ax 是减函数,∵ y = log a (2 ? ax) 在[0,1]上是减函数。 解析 ∴a>1,且 2-a>0,∴1<a<2,故选 B。 特例法:就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、 2、特例法 特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理,利用问题在某一特殊情况下不真,则 它在一般情况下也不真的原理,由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时,特例取 得愈简单、愈特殊愈好。 (1)特殊值 例 5、若 sinα>tanα>cotα( ? A.( ?

π
4

<α <

π
2

),则α∈( ) C. (0,

π
2

,?

π
4

)

B. ? (

π
4

,0)

π
4



D. (

π
4



π
2



4 2 C、D,故选 B。 ) 例 6、一个等差数列的前 n 项和为 48,前 2n 项和为 60,则它的前 3n 项和为( A.-24 B.84 C.72 D.36 解析:结论中不含 n,故本题结论的正确性与 n 取值无关,可对 n 取特殊值,如 n=1, 解析 此时 a1=48,a2=S2-S1=12,a3=a1+2d= -24,所以前 3n 项和为 36,故选 D。 (2)特殊函数 例 7、如果奇函数 f(x) 是[3,7]上是增函数且最小值为 5,那么 f(x)在区间[-7, -3]上是( ) A.增函数且最小值为-5 B.减函数且最小值是-5 C.增函数且最大值为-5 D.减函数且最大值是-5 5 解析:构造特殊函数 f(x)= x,虽然满足题设条件,并易知 f(x)在区间[-7,-3] 解析 3 上是增函数,且最大值为 f(-3)=-5,故选 C。 定义在 R 上的奇函数 f(x)为减函数, a+b≤0, 设 给出下列不等式: ①f(a)· f(- 例 8、 a)≤0;②f(b)·f(-b)≥0;③f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b);④f(a)+f(b)≥f(-a)+f(- b)。其中正确的不等式序号是( ) A.①②④ B.①④ C.②④ D.①③ 解析:取 f(x)= -x,逐项检查可知①④正确。故选 B。 解析 (3)特殊数列 ( ) 例 9、已知等差数列 {an } 满足 a1 + a2 + ??? + a101 = 0 ,则有
A、 a1 + a101 > 0 B、 a2 + a102 < 0 C、 a3 + a99 = 0 D、 a51 = 51 解析:取满足题意的特殊数列 an = 0 ,则 a3 + a99 = 0 ,故选 C。 解析 (4)特殊位置 10、过 y = ax 2 ( a > 0) 的焦点 F 作直线交抛物线与 P、Q 两点,若 PF 与 FQ 的 例 10 长分别是 p、q ,则

解析:因 ? 解析

π

<α <

π

,取α=-

π 代入 sinα>tanα>cotα,满足条件式,则排除 A、 6

1 1 + = p q
2





A、 2a

B、

1 2a

C、 4a

D、

4 a

解析:考虑特殊位置 PQ⊥OP 时, | PF |=| FQ |= 解析

1 1 1 ,所以 + = 2a + 2a = 4a , 2a p q

故选 C。 11、向高为 H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图 例11 象如右图所示,那么水瓶的形状是 ( )

解析:取 h = 解析 (5)特殊点

H 1 ,由图象可知,此时注水量 V 大于容器容积的 ,故选B。 2 2

12、设函数 f ( x ) = 2 + 例 12

x ( x ≥ 0) ,则其反函数 f

?1

( x) 的图像是





A、

B、

C、

D、

解析:由函数 f ( x ) = 2 + x ( x ≥ 0) ,可令 x=0,得 y=2;令 x=4,得 y=4,则特殊点 解析 -1 -1 (2,0)及(4,4)都应在反函数 f (x)的图像上,观察得 A、C。又因反函数 f (x)的定义域为 {x | x ≥ 2} ,故选 C。 (6)特殊方程 13、双曲线 b x -a y =a b (a>b>0)的渐近线夹角为α,离心率为 e,则 cos 例 13 ( ) A.e B.e
2 2 2 2 2 2 2

α
2

等于

C.

1 e

D.

1 e2

解析: 故可用特殊方程来考察。 解析 本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式, 取双曲线方程为

x2 y2 5 α 2 - =1,易得离心率 e= ,cos = ,故选 C。 4 1 2 2 5
2 2

(7)特殊模型 14、如果实数 x,y 满足等式(x-2) +y =3,那么 例 14 A.

y 的最大值是( x



3 3 C. D. 3 3 2 y ? y1 y y?0 解析:题中 可写成 。联想数学模型:过两点的直线的斜率公式 k= 2 , 解析 x x?0 x 2 ? x1
B.
3

1 2

可将问题看成圆(x-2) +y =3 上的点与坐标原点 O 连线的斜率的最大值,即得 D。 图解法:就是利用函数图像或数学结果的几何意义,将数的问题(如解方程、解不 3、图解法 等式、求最值,求取值范围等)与某些图形结合起来,利用直观几 性,再辅以简单计算,确定正确答案的方法。这种解法贯穿数形结 合思想,每年高考均有很多选择题(也有填空题、解答题)都可以用 数形结合思想解决,既简捷又迅速。 15、已知α、β都是第二象限角,且 cosα>cosβ,则( ) 例 15 A.α<β B.sinα>sinβ C.tanα>tanβ D.cotα<cotβ 解析:在第二象限角内通过余弦函数线 cosα>cosβ找出α、 解析 β的终边位置关系,再作出判断,得 B。 r r
A 3b b B r r r a 60°,那么| a +3 b |= ( ) r r a +3 b O B. 10 C. 13 D.4 A. 7 r r uuu r 解析:如图, a +3 b = OB ,在 ?OAB 中, 解析 r r uuu r uuu r uuu r Q| OA |= 1,| AB |= 3, ∠OAB = 120o ,∴由余弦定理得| a +3 b |=| OB |= 13 ,故选 C。

2

2

r

r

16、已知 a 、 b 均为单位向量,它们的夹角为 例 16

例 17、已知{an}是等差数列,a1=-9,S3=S7,那么使其前 n 项和 Sn 最小的 n 是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 d 2 d Sn 解析:等差数列的前 n 项和 Sn= n +(a1- )n 可表示 解析 2 2 3 5 7 为过原点的抛物线,又本题中 a1=-9<0, S3=S7,可表示如图, O n 3+7 由图可知,n= = 5 ,是抛物线的对称轴,所以 n=5 是抛 2 物线的对称轴,所以 n=5 时 Sn 最小,故选 B。 验证法:就是将选择支中给出的答案或其特殊值,代入题干逐一去验证是否满足 4、验证法 题设条件,然后选择符合题设条件的选择支的一种方法。在运用验证法解题时,若能据题 意确定代入顺序,则能较大提高解题速度。 例 18、计算机常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制,采用数字 0—9 和字母 A—F 共 16 个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表: 十六进制 十进制 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 A 10 B 11 C 12 D 13 E 14 F 15

例如: 用十六进制表示 E+D=1B, A×B= 则 ( ) A.6E B.72 C.5F D.BO 解析:采用代入检验法,A×B 用十进制数表示为 1×11=110,而 解析 6E 用十进制数表示为 6×16+14=110;72 用十进制数表示为 7×16+2=114 5F 用十进制数表示为 5×16+15=105;B0 用十进制数表示为 11×16+0=176,故选 A。 19、方程 x + lg x = 3 的解 x0 ∈ ( ) 例 19 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,+∞) 解析:若 x ∈ (0,1) ,则 lg x < 0 ,则 x + lg x < 1 ;若 x ∈ (1, 2) ,则 0 < lg x < 1 ,则 解析

1 < x + lg x < 3 ;若 x ∈ (2,3) ,则 0 < lg x < 1 ,则 2 < x + lg x < 4 ;若 x > 3, lg x > 0 ,则
4

x + lg x > 3 ,故选 C。
:就是充分运用选择题中单选题的特征,即有且只 5、筛选法(也叫排除法、淘汰法) 筛选法 有一个正确选择支这一信息, 从选择支入手, 根据题设条件与各选择支的关系, 通过分析、 推理、计算、判断,对选择支进行筛选,将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除,从而获 得正确结论的方法。使用筛选法的前提是“答案唯一” ,即四个选项中有且只有一个答案 正确。 ) 例 20、若 x 为三角形中的最小内角,则函数 y=sinx+cosx 的值域是( A. (1, 2 ] B. (0,

3 ] 2

C.[

1 2 , ] 2 2

D. (

解析:因 x 为三角形中的最小内角,故 x ∈ (0, 解析

π

1 2 , ] 2 2

3

] ,由此可得 y=sinx+cosx>1,排除

B,C,D,故应选 A。 例 21、原市话资费为每 3 分钟 0.18 元,现调整为前 3 分钟资费为 0.22 元,超过 3 分钟的,每分钟按 0.11 元计算,与调整前相比,一次通话提价的百分率( ) A.不会提高 70% B.会高于 70%,但不会高于 90% C.不会低于 10% D.高于 30%,但低于 100% 0.33 - 0.36 解析:取 x =4, y = ·100%≈-8.3%,排除 C、D;取 x =30, y = 解析 0.36 3.19 - 1.8 ·100%≈77.2%,排除 A,故选 B。 1.8 5 x2 y2 y2 x2 给定四条曲线: x 2 + y 2 = , ① ② + = 1, x 2 + ③ = 1, ④ + y 2 = 1, 例 22 、 2 9 4 4 4 其中与直线 x + y ? 5 = 0 仅有一个交点的曲线是( ) A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 解析:分析选择支可知,四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求,故可考虑找不符 解析 合条件的曲线从而筛选,而在四条曲线中②是一个面积最大的椭圆,故可先看②,显然直 x2 y2 线和曲线 + = 1 是相交的,因为直线上的点 ( 5 ,0) 在椭圆内,对照选项故选 D。 9 4 分析法:就是对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或对有关信息提取、分析 6、分析法 和加工后而作出判断和选择的方法。 (1)特征分析法——根据题目所提供的信息,如数值特征、结构特征、位置特征等, 进行快速推理,迅速作出判断的方法,称为特征分析法。 例 23、如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线 表示它们有网线相联,连线标的数字表示该段网线单位时 间内可以通过的最大信息量,现从结点 A 向结点 B 传送信 息,信息可以分开沿不同的路线同时传送,则单位时间内 传递的最大信息量为( ) A.26 B.24 C.20 D.19 解析:题设中数字所标最大通信量是限制条件,每一支 解析 要以最小值来计算,否则无法同时传送,则总数为 3+4+6+6=19,故选 D。 0 例 24、设球的半径为 R, P、Q 是球面上北纬 60 圈上的两点,这两点在纬度圈上的 劣弧的长是

πR
2

,则这两点的球面距离是
5





A、 3R

B、

2πR 2

C、

πR
3

D、

πR
2


解析:因纬线弧长>球面距离>直线距离,排除 A、B、D,故选 C。 解析 例 25、已知 sin θ = A、

m?3 9?m

m?3 4 ? 2m π θ , cos θ = ( < θ < π ) ,则 tan 等于 ( m+5 m+5 2 2 m?3 1 B、 | | C、 D、 5 9?m 3
2 2

解析:由于受条件 sin θ+cos θ=1 的制约,故 m 为一确定的值,于是 sinθ,cosθ的 解析 值应与 m 的值无关,进而推知 tan

θ

2

的值与 m 无关,又

π

2

<θ<π,

π θ π
< <

4 2 2

,∴tan

θ

2

>1,

故选 D。 (2)逻辑分析法——通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析,达到否定谬误支, 选出正确支的方法,称为逻辑分析法。 ( ) 例 26、设 a,b 是满足 ab<0 的实数,那么 A.|a+b|>|a-b| B.|a+b|<|a-b| C.|a-b|<|a|-|b| D . |a - b|<|a|+|b| 解析:∵A,B 是一对矛盾命题,故必有一真,从而排除错误支 C,D。又由 ab<0,可 解析 令 a=1,b= -1,代入知 B 为真,故选 B。 则此三角形必是 () 例 27、?ABC 的三边 a, b, c 满足等式 a cos A + b cos B = c cos C , A、以 a 为斜边的直角三角形 B、以 b 为斜边的直角三角形 C、等边三角形 D、其它三角形 解析:在题设条件中的等式是关于 a, A 与 b, B 的对称式,因此选项在 A、B 为等价命 解析 题都被淘汰,若选项 C 正确,则有

1 1 1 1 + = ,即 1 = ,从而 C 被淘汰,故选 D。 2 2 2 2

估算法:就是把复杂问题转化为较简单的问题,求出答案的近似值,或把有关数 7、估算法 值扩大或缩小,从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计,进而作出判断的方法。 28、农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。03 年某地区农民人均收入为 例 28 3150 元(其中工资源共享性收入为 1800 元,其它收入为 1350 元) ,预计该地区自 04 年起 的 5 年内,农民的工资源共享性收入将以每年的年增长率增长,其它性收入每年增加 160 元。根据以上数据,08 年该地区人均收入介于 ( ) (A)4200 元~4400 元 (B)4400 元~4460 元 (C)4460 元~4800 元 (D)4800 元~5000 元 解析: 1800(1 + 0.06) ≈ 1800(1 + C5 × 0.06 + C5 × 0.06 解析 08 年农民工次性人均收入为:
5 1 2 2

= 1800(1 + 0.3 + 0.036) = 1800 × 1.336 ≈ 2405
又 08 年农民其它人均收入为 1350+160 × 5 =2150 故 08 年农民人均总收入约为 2405+2150=4555(元) 。故选 B。 说明:1、解选择题的方法很多,上面仅列举了几种常用的方法,这里由于限于篇幅, 说明 其它方法不再一一举例。需要指出的是对于有些题在解的过程中可以把上面的多种方法结 合起来进行解题,会使题目求解过程简单化。 2、对于选择题一定要小题小做,小题巧做,切忌小题大做。 “不择手段,多快好省” 是解选择题的基本宗旨。
6

(二)选择题的几种特色运算
1、借助结论——速算 借助结论——速算 —— 例 29、棱长都为 2 的四面体的四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( 29 ) A、 3π B、 4π C、 3 3π D、 6π 解析: (1)一个正方体可以内接一个正四面体; (2) 解析:借助立体几何的两个熟知的结论: 若正方体的顶点都在一个球面上,则正方体的对角线就是球的直径。可以快速算出球的半 径R =

3 ,从而求出球的表面积为 3π ,故选 A。 2

2、借用选项——验算 借用选项——验算 ——

?3 x + y ≥ 12, ?2 x + 9 y ≥ 36, ? , 则使得 z = 3 x + 2 y 的值最小的 ( x, y ) 是 30、 例 30 若 x, y 满足 ? 2 x + 3 y ≥ 24, ? ? x ≥ 0, y ≥ 0, ?





A、 (4.5,3) B、 (3,6) C、 (9,2) D、 (6,4) 解析: 解析:把各选项分别代入条件验算,易知 B 项满足条件,且 z = 3 x + 2 y 的值最小, 故选 B。 极限思想—— ——不算 3、极限思想——不算 31、正四棱锥相邻侧面所成的二面角的平面角为 α ,侧面与底面所成的二面角的 例 31 平面角为 β ,则 2 cos α + cos 2 β 的值是 ( ) A、1

3 2 o o 解析: 解析:当正四棱锥的高无限增大时, α → 90 , β → 90 ,则
B、2 C、-1 D、

2 cos α + cos 2 β → 2 cos 90 o + cos180 o = ?1. 故选 C。
4、平几辅助——巧算 平几辅助——巧算 —— 32、在坐标平面内,与点 A(1,2)距离为 1,且与点 B(3,1)距离为 2 的直线 例 32 共有 ( ) A、1 条 B、2 条 C、3 条 D、4 条 解析: 选项暗示我们, 只要判断出直线的条数就行, 无须具体求出直线方程。 A 以 (1, 解析: 2)为圆心,1 为半径作圆 A,以 B(3,1)为圆心,2 为半径作圆 B。由平面几何知识易知, 满足题意的直线是两圆的公切线,而两圆的位置关系是相交,只有两条公切线。故选 B。 活用定义—— ——活算 5、活用定义——活算 33、若椭圆经过原点,且焦点 F1(1,0) 2(3,0) ,F ,则其离心率为 ( ) 例 33 A、

3 4

B、

2 3

C、

1 2

D、

1 4

解析: 解析:利用椭圆的定义可得 2a = 4, 2c = 2, 故离心率 e = 6、整体思想——设而不算 整体思想——设而不算 ——
4 2 3 4

c 1 = . 故选 C。 a 2
2 2

34、 则 例 34 若 ( 2 x + 3 ) = a0 + a1 x + a 2 x + a3 x + a 4 x , (a0 + a2 + a4 ) ?( a1 + a3 ) 的值为 A、1 ( B、-1
7



C、0

D、2

3 ,似乎增加了计算量和难度,但如果设 a0 + a1 + a2 + a3 + a 4 = a = (2 + 3 ) 4 , a0 ? a1 + a2 ? a3 + a4 = b = (2 ? 3 ) 4 ,则待求
式子 = ab = [(2 + 3 )( 2 ? 3 )] = 1 。故选 A。 大胆取舍—— ——估算 7、大胆取舍——估算 35、如图,在多面体 ABCDFE 中,已知面 ABCD 是边长为 3 例 35
4

解析:二项式中含有

的正方形,EF∥AB,EF= 体的体积为 A、

3 ,EF 与面 ABCD 的距离为 2,则该多面 2
( ) C、6 D、

9 2

B、5

15 2

解析: 依题意可计算 VE ? ABCD = 解析: 6,故选 D。 发现隐含—— ——少算 8、发现隐含——少算 例 36、 y = kx + 2与 x + 36
2

1 1 S ABCD ? h = × 3 × 3 × 2 = 6 , VABCDEF > VE ? ABCD = 而 3 3

y2 = 1 交于 A、B 两点,且 k OA + k OB = 3 ,则直线 AB 的方 2
( ) B、 2 x + 3 y ? 4 = 0 D、 3 x ? 2 y ? 4 = 0

程为 A、 2 x ? 3 y ? 4 = 0 C、 3 x + 2 y ? 4 = 0

解析: 解析:解此题具有很大的迷惑性,注意题目隐含直线 AB 的方程就是 y = kx + 2 ,它 过定点(0,2) ,只有 C 项满足。故选 C。 利用常识—— ——避免计算 9、利用常识——避免计算 37、我国储蓄存款采取实名制并征收利息税,利息税由各银行储蓄点代扣代收。 例 37 某人在 2001 年 9 月存入人民币 1 万元,存期一年,年利率为 2.25%,到期时净得本金和利 息共计 10180 元,则利息税的税率是 ( ) A、8% B、20% C、32% D、80% 解析: 解析:生活常识告诉我们利息税的税率是 20%。故选 B。

(三)选择题中的隐含信息之挖掘
1、挖掘“词眼” 挖掘“词眼” 38、过曲线 S : y = 3 x ? x 3 上一点 A( 2, ? 2) 的切线方程为( 例 38 A、 y = ?2 C、 9 x + y ? 16 = 0 B、 y = 2 D、 9 x + y ? 16 = 0 或 y = ?2 )

2 / 错解: / 错解: f ( x ) = ?3 x + 3, f ( 2) = ?9 ,从而以 A 点为切点的切线的斜率为–9,即所 求切线方程为 9 x + y ? 16 = 0. 故选 C。 剖析: ,事实上当点 A 剖析:上述错误在于把“过点 A 的切线”当成了“在点 A 处的切线” 为切点时,所求的切线方程为 9 x + y ? 16 = 0 ,而当 A 点不是切点时,所求的切线方程为

y = ?2. 故选 D。
2、挖掘背景 39、已知 x ∈ R, a ∈ R , a 为常数,且 f ( x + a ) = 例 39
8

1 + f ( x) ,则函数 f (x ) 必有一 1 ? f ( x)

周期为 A、2 a





a=

π

C、4 a D、5 a 1 + tan x 分析: ,从而函数 f (x ) 的一个背景为正切函数 tanx,取 分析:由于 tan( x + ) = 4 1 ? tan x

π

B、3 a

4

,可得必有一周期为 4 a 。故选 C。 40 、 设 tan α 、 tan β 是 方 程 x + 3 3 x + 4 = 0 的 两 根 , 且
3

3、挖掘范围 例

π π π π α ∈ (? , ), β ∈ (? , ) ,则 α + β 的值为
2 2 2π A、 ? 3 2 2
B、





π
3 3 , 又α ∈ ( ?

C、

π
3

或?

错解: 错解:易得 tan(α + β ) = 而α + β =

π π
,

2π 3

D、 ?

π
3



π
3

或?

2π . 故选 C。 3

2 2

), β ∈ (?

π π

2π 3

, ), α + β ∈ (?π , π ) ,从 2 2

π π 2π α ∈ (? , 0), β ∈ (? , 0) ,故 α + β = ? . 故选 A。
2 2 3

剖析: 剖析 : 事实上,上述解法是错误的,它没有发现题中的隐含范围。由韦达定理知 tan α + tan β < 0, tan α tan β > 0, 故 tan α < 0, 且 tan β < 0 . 从 而

4、挖掘伪装 2 41、若函数 f ( x ) = log a ( x ? ax + 3)( a > 0且a ≠ 1) ,满足对任意的 x1 、 x2 ,当 例 41

x1 < x 2 ≤

a 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) > 0 ,则实数 a 的取值范围为( 2 A、 (0, 1) U (1, 3) B、 (1, 3)
C、 (0, 1) U (1, 2 3 ) 分析: “对任意的 x1、x2,当 x1 < x 2 ≤ 分析: D、 (1, 2 3 )



a 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) > 0 ”实质上就是“函数 2 单调递减”的“伪装” ,同时还隐含了“ f (x ) 有意义” 。事实上由于 g ( x ) = x 2 ? ax + 3 在

?a > 1, a ? x ≤ 时递减,从而 ? a 由此得 a 的取值范围为 (1, 2 3 ) 。故选 D。 2 ? g ( 2 ) > 0. ?
5、挖掘特殊化 2 2 42、不等式 C12x < C12x ?3 的解集是( 例 42 )

A、 φ B、 {大于3 的正整数} C、{4,5,6} D、{4,4.5,5,5.5,6} 分析: 分析:四个选项中只有答案 D 含有分数,这是何故?宜引起高度警觉,事实上,将 x 值取 4.5 代入验证,不等式成立,这说明正确选项正是 D,而无需繁琐地解不等式。 6、挖掘修饰语 例 43、在纪念中国人民抗日战争胜利六十周年的集会上,两校各派 3 名代表,校际 43
9

间轮流发言,对日本侵略者所犯下的滔天罪行进行控诉,对中国人民抗日斗争中的英勇事 迹进行赞颂,那么不同的发言顺序共有( ) A、72 种 B、36 种 C、144 种 D、108 种 分析: 分析:去掉题中的修饰语,本题的实质就是学生所熟悉的这样一个题目:三男三女站 成一排,男女相间而站,问有多少种站法?因而易得本题答案为 2 A3 A3 = 72种 。故选 A。
3 3

7、挖掘思想 44、方程 2 x ? x = 例 44
2

2 的正根个数为( x
B、1
2 3

) C、2 D、3

A、0

分析: 分析:本题学生很容易去分母得 2 x ? x = 2 ,然后解方程,不易实现目标。 事实上,只要利用数形结合的思想,分别画出 y = 2 x ? x , y =
2

2 的图象,容易发现 x

在第一象限没有交点。故选 A。 8、挖掘数据 45、定义函数 y = f ( x ), x ∈ D ,若存在常数 C,对任意的 x1 ∈ D ,存在唯一的 例 45

f ( x1 ) + f ( x 2 ) = C , 则 称 函 数 f (x) 在 D 上 的 均 值 为 C 。 已 知 2 f ( x) = lg x, x ∈ [10, 100] ,则函数 f ( x) = lg x 在 x ∈ [10, 100] 上的均值为( ) 3 3 7 A、 B、 C、 D、10 2 4 10 f ( x1 ) + f ( x2 ) lg( x1 x 2 ) 分析: = = C ,从而对任意的 x1 ∈ [10, 100] ,存在唯一的 分析 : 2 2 x2 ∈ [10, 100] , 使 得 x1 , x 2 为 常 数 。 充 分 利 用 题 中 给 出 的 常 数 10 , 100 。 令 1000 x1 x 2 = 10 × 100 = 1000 , 当 x1 ∈ [10, 100] 时 , x2 = ∈ [10, 100] , 由 此 得 x1 lg( x1 x2 ) 3 C= = . 故选 A。 2 2 (四)选择题解题的常见失误

x2 ∈ D , 使 得

1、审题不慎 ( ) 例 46、设集合 M={直线} 46 ,P={圆} ,则集合 M I P 中的元素的个数为 A、0 B、1 C、2 D、0 或 1 或 2 误解: 因为直线与圆的位置关系有三种, 即交点的个数为 0 或 1 或 2 个, 所以 M I P 误解: 中的元素的个数为 0 或 1 或 2。故选 D。 剖析: 剖析:本题的失误是由于审题不慎引起的,误认为集合 M,P 就是直线与圆,从而错 用直线与圆的位置关系解题。实际上,M,P 表示元素分别为直线和圆的两个集合,它们没 有公共元素。故选 A。 2、忽视隐含条件 47、若 sin 2 x 、 sin x 分别是 sin θ与 cosθ 的等差中项和等比中项,则 cos 2 x 的值 例 47 为 ( ) A、

1 + 33 8

B、

1 ? 33 8
10

C、

1 ± 33 8

D、

1? 2 4

误解: 误解:依题意有 2 sin 2 x = sin θ + cos θ , ①

sin 2 x = sin θ cos θ ② 1 ± 33 2 2 由① -②×2 得, 4 cos 2 x ? cos 2 x ? 2 = 0 ,解得 cos 2 x = 。故选 C。 8

剖析: 剖析 : 本题失误的主要原因是忽视了三角函数的有界性这一隐含条件。事实上,由

sin 2 x = sin θ cos θ ,得 cos 2 x = 1 ? sin 2θ ≥ 0 ,所以

1? 33 不合题意。故选 A。 8


3、概念不清 例 48、已知 l1 : 2 x + my ? 2 = 0, l 2 : mx + 2 y ? 1 = 0 ,且 l1 ⊥ l 2 ,则 m 的值为( 48 A、2 B、1 C、0 D、不存在 误解: 误解:由 l1 ⊥ l 2 ,得 k1 k 2 = ?1. ∴ ?

2 ?m ?( ) = ?1 ,方程无解,m 不存在。故选 D。 m 2 剖析: 剖析:本题的失误是由概念不清引起的,即 l1 ⊥ l 2 ,则 k1 k 2 = ?1 ,是以两直线的斜率

都存在为前提的。若一直线的斜率不存在,另一直线的斜率为 0,则两直线也垂直。当 m=0 时,显然有 l1 ⊥ l 2 ;若 m ≠ 0 时,由前面的解法知 m 不存在。故选 C。 4、忽略特殊性 49、已知定点 A(1,1)和直线 l : x + y ? 2 = 0 ,则到定点 A 的距离与到定直线 l 的 例 49 距离相等的点的轨迹是 ( ) A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、直线 误解: 误解:由抛物线的定义可知,动点的轨迹是抛物线。故选 C。 剖析: 剖析:本题的失误在于忽略了 A 点的特殊性,即 A 点落在直线 l 上。故选 D。 5、思维定势 50、如图 1,在正方体 AC1 中盛满 例 50 水,E、F、G 分别为 A1B1、BB1、BC1 的中 点。 若三个小孔分别位于 E、 G 三点处, F、 则正方体中的水最多会剩下原体积的 ( ) A、

11 12

B、

7 8 1 8

C、

5 6

D、

23 24

误解: 误解:设平面 EFG 与平面 CDD1C1 交于 MN,则平面 EFMN 左边的体积即为所求,由三棱柱 B1EF—C1NM 的体积为 V正方体 ,故选 B。 剖析: 剖析:在图 2 中的三棱锥 ABCD 中,若三个小孔 E、F、G 分别位于所在棱的中点处,则 在截面 EFG 下面的部分就是盛水最多的。本题的失误在于受图 2 的思维定势,即过三个小 孔的平面为截面时分成的两部分中,较大部分即为所求。事实上,在图 1 中,取截面 BEC1 时,小孔 F 在此截面的上方, VB1 ? BEC1 = 6、转化不等价 51、函数 y = x + x 2 ? a 2 ( a > 0) 的值域为 例 51 A、( ?∞, 0) U (0, + ∞) B、[ a, + ∞) C、(?∞, 0] ( ) D、[ ? a, 0) U [ a, + ∞ )
?1

1 V正方体 ,故选 A。 12

误解: 误解:要求原函数的值域可转化为求反函数的定义域。因为反函数 f
11

( x) =

x2 + a2 , 2x

所以 x ≠ 0 ,故选 A。 剖析: 剖析:本题的失误在于转化不等价。事实上,在求反函数时,由 y ? x =
2 2 2

x2 ? a2 ,

y2 + a2 两边平方得 ( y ? x) = x ? a ,这样的转化不等价,应加上条件 y ≥ x ,即 y ≥ , 2y 进而解得, y ≥ a或 ? a ≤ y < 0 ,故选 D。

12


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