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2016年02月05日高中数学抛物线组卷


2016 年 02 月 05 日高中数学抛物线组卷
一.选择题(共 21 小题) 1. (2015 春?上海校级月考) 已知点 P (x, y) 在以原点为圆心的单位圆上运动, 则点 Q (x+y, xy)的轨迹是( ) A.圆 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线 2. (2014?仙游县校级模拟)已知点 F 为抛物线 y =﹣8x 的焦点,O 为原点,点 P 是抛物线 准线上一动点,点 A 在抛物线上,且|AF|=4,则|PA|+|PO|的最小值为( ) A.6 B. C. D.4+2 3. (2014?余杭区校级模拟)以抛物线 y =2px(p>0)的焦半径|PF|为直径的圆与 y 轴位置 关系为( ) A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定 4. (2014?东昌府区校级一模)一动圆圆心在抛物线 x =4y 上,过点(0,1)且与定直线 l 相切,则 l 的方程为( ) A.x=1 B.x= C.y=﹣1 D.y=﹣
2 2 2 2

5. (2014 秋?延边州校级期末)AB 是抛物线 y =2x 的一条焦点弦,|AB|=4,则 AB 中点 C 的横坐标是( ) A.2 B. C. D.
2

6. (2014 春?南湖区校级期末)已知点 P 是抛物线 y =2x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A.5 B. ,则|PA|+|PM|的最小值是( C.4 D.AD )

7. (2015?唐山一模)已知抛物线的焦点 F(a,0) (a<0) ,则抛物线的标准方程是( A.y =2ax
2



B.y =4ax

2

C.y =﹣2ax D.y =﹣4ax

2

2

8. (2015?宜宾模拟)顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过点 P(﹣4,﹣2)的抛物线的标 准方程是( ) 2 2 A.y =﹣x B.x =﹣8y 2 2 2 2 C.y =﹣8x 或 x =﹣y D.y =﹣x 或 x =﹣8y 9. (2015?铜仁市模拟)如图过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的直线依次交抛物线及准线 于点 A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=4,则抛物线的方程为( )
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2

A.y =8x

2

B.y =4x

2

C.y =2x
2

2

D.y =x

2

10. (2016?渭南一模)若抛物线 y =2px(p>0)上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分 别为 10 和 6,则 p 的值为( ) A.2 B.18 C.2 或 18 D.4 或 16 11. (2016?南充一模)已知 F 是抛物线 y =4x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的 两侧,OA⊥OB(其中 O 为坐标原点) ,则△ AOB 与△ AOF 面积之和的最小值是( ) A.16 B.8 C.8 D.18 12. (2015?四川)设直线 l 与抛物线 y =4x 相交于 A、B 两点,与圆(x﹣5) +y =r (r>0) 相切于点 M, 且 M 为线段 AB 的中点, 若这样的直线 l 恰有 4 条, 则 r 的取值范围是 ( ) A. (1,3) B. (1,4) C. (2,3) D. (2,4) 13. (2015?绍兴二模)点 P 是抛物线 y =4x 上一动点,则点 P 到点 A(0,﹣1)的距离与到 直线 x=﹣1 的距离和的最小值是( ) A. B. C.2 D.
2 2 2 2 2 2

14. (2015?滨州一模)如图,已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 恰好是双曲线 (a>0,b>0)的右焦点,且两条曲线交点的连线过点 F,则该双曲线的离心率为(

2

=1 )

A.

B.2

C.

D.
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15. (2015?徐汇区模拟)抛物线 y =4x 的准线方程为( A.x=2 B.x=﹣2 C.x=1 D.x=﹣1
2

2



16. (2015?南昌校级模拟)从抛物线 y =4x 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且 |PM|=5,设抛物线的焦点为 F,则△ MPF 的面积为( ) A.5 B.10 C.20 D. 17. (2015?淄博模拟)过抛物线 y =4x 焦点的直线交抛物线于 A,B 两点,若|AB|=10,则 AB 的中点到 y 轴的距离等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 18. (2015?湖北二模)已知抛物线 C:y =8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直 线 PF 与 C 的一个交点,若 A. B. C.3 =3 D.2
2 2 2

,则|QF|=(



19. (2015?河南二模)已知点 A(0,2) ,抛物线 C:y =ax(a>0)的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M, 与其准线相交于点 N, 若|FM|: |MN|=1: , 则 a 的值等于 ( ) A. B. C.1 D.4
2

20. (2015?河南模拟)抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,已知点 A,B 为抛物线上的两个 动点, 且满足∠AFB=120°. 过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN, 垂足为 N, 则 的最小值为( A. B. ) C.1 D.
2 2 2

21. (2015?滕州市校级模拟)已知圆 C:x +y +6x+8y+21=0,抛物线 y =8x 的准线为 l,设 抛物线上任意一点 P 到直线 l 的距离为 m,则 m+|PC|的最小值为( ) A.5 B. C. ﹣2 D.4

二.解答题(共 7 小题) 2 22. (2016?台州模拟)已知直线 l 经过抛物线 x =4y 的焦点,且与抛物线交于 A,B 两点, 点 O 为坐标原点. (1)求抛物线准线方程; (2)若△ AOB 的面积为 4,求直线 l 的方程.

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23. (2015 春?宁夏校级期末)已知直线 l:x+y﹣1=0 与抛物线 y=x 交与 A,B 两点,求线 段 AB 的长和点 M(﹣1,2)到 A,B 两点的距离之积.
2 2

2

24. (2015?大庆二模)抛物线 M:y =2px(p>0)的准线过椭圆 N:

+y =1 的左焦点,

以原点为圆心,以 t(t>0)为半径的圆分别与抛物线 M 在第一象限的图象以及 y 轴的正半 轴相交于点 A 和 B,直线 AB 与 x 轴相交于点 C. (Ⅰ)求抛物线 M 的方程; (Ⅱ)设点 A 的横坐标为 a,点 C 的横坐标为 c,抛物线 M 上点 D 的横坐标为 a+2,求直 线 CD 的斜率. 25. (2014 秋?大庆期末)已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 位于直线 x+y﹣1=0 上. (1)求抛物线方程; (2)过抛物线的焦点 F 作倾斜角为 45°的直线,交抛物线于 A,B 两点,求 AB 的中点 C 到抛物线准线的距离. 26. (2014 秋?东湖区校级期中)已知抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,若过点 F 且斜 率为 1 的直线与抛物线相交于 M,N 两点,且|MN|=8. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 为抛物线 C 的切线且 l∥MN,求直线 l 的方程. 27. (2015 秋?玄武区期中)求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程: (1)焦点在直线 x﹣2y+4=0 上,且开口向上的抛物线; (2)与双曲线 ﹣ =1 有公共的渐近线,且过点(3 ,0)的双曲线.
2 2

28.已知抛物线 C:y =2px 上一点到焦点 F 的距离比到直线 x=﹣4 的距离小 2,求抛物线 C 的方程.

2

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2016 年 02 月 05 日高中数学抛物线组卷
参考答案与试题解析

一.选择题(共 21 小题) 1. (2015 春?上海校级月考) 已知点 P (x, y) 在以原点为圆心的单位圆上运动, 则点 Q (x+y, xy)的轨迹是( ) A.圆 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线 【考点】抛物线的定义;圆的标准方程. 【专题】计算题. 【分析】先设处点 Q 的坐标,进而根据定义得出 u=x+y 和 v=xy,利用圆的半径为 1,代入 圆的方程,进而求得 u 和 v 关系,则点的轨迹可得.
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【解答】解:设 Q(u,v) ,则 ∵x +y =1, 2 2 2 ∴u ﹣2v=x +y =1. ∴点 Q 的轨迹是抛物线. 故选 B 【点评】本题主要考查了抛物线的定义.属基础题. 2. (2014?仙游县校级模拟)已知点 F 为抛物线 y =﹣8x 的焦点,O 为原点,点 P 是抛物线 准线上一动点,点 A 在抛物线上,且|AF|=4,则|PA|+|PO|的最小值为( ) A.6 B. C. D.4+2 【考点】抛物线的定义. 【专题】计算题. 【分析】利用抛物线的定义由|AF|=4 得到 A 到准线的距离为 4,即可求出点 A 的坐标,根 据:“|PA|+|PO|”相当于在准线上找一点,使得它到两个定点的距离之和最小,最后利用平面 几何的方法即可求出距离之和的最小值. 【解答】解:∵|AF|=4,由抛物线的定义得, ∴A 到准线的距离为 4,即 A 点的横坐标为﹣2, 又点 A 在抛物线上,∴从而点 A 的坐标 A(﹣2,4) ; 坐标原点关于准线的对称点的坐标为 B(4,0) 则|PA|+|PO|的最小值为:
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2

2

2

|AB|=

=

故选 C. 【点评】 此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决最小值问题, 灵活运用点到点的距离、 对称性化简求值,是一道中档题. 3. (2014?余杭区校级模拟)以抛物线 y =2px(p>0)的焦半径|PF|为直径的圆与 y 轴位置 关系为( ) A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定
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【考点】抛物线的定义. 【专题】计算题. 【分析】先求出抛物线的焦点,点 P 点坐标为(x1,y1) ,进而可得以 PF 为直径的圆的圆心
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坐标,根据抛物线的定义|PF|与 P 到直线 x=﹣ 是等距离的,进而求得 PF 为直径的圆的半 径,判断出 PF 为直径的圆与 y 轴的位置关系相切. 【解答】解:抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的坐标为( ,0) ,设点 P 点坐标为(x1,y1) ,
2

则以 PF 为直径的圆的圆心是(



) ,

根据抛物线的定义|PF|与 P 到直线 x=﹣ 是等距离的, 所以 PF 为直径的圆的半径为 ,因此以 PF 为直径的圆与 y 轴的位置关系相切,

故选 C. 【点评】本题主要考查了抛物线的定义.涉及抛物线焦半径和焦点弦的问题时,常利用抛物 线的定义来解决. 4. (2014?东昌府区校级一模)一动圆圆心在抛物线 x =4y 上,过点(0,1)且与定直线 l 相切,则 l 的方程为( ) A.x=1 B.x= C.y=﹣1
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D.y=﹣

【考点】抛物线的定义. 【专题】计算题. 【分析】根据抛物线方程可求得其焦点坐标,要使圆过点(0,1)且与定直线 l 相切,需圆 心到定点的距离与定直线的距离相等,根据抛物线的定义可知,定直线正是抛物线的准线, 进而根据抛物线方程求得准线方程即可. 【解答】解:根据抛物线方程可知抛物线焦点为(0,1) , ∴定点为抛物线的焦点, 要使圆过点(0,1)且与定直线 l 相切,需圆心到定点的距离与定直线的距离相等, 根据抛物线的定义可知,定直线正是抛物线的准线 其方程为 y=﹣1 故选 C 【点评】 本题主要考查了抛物线的定义. 对涉及过抛物线焦点的直线的问题时常借助抛物线 的定义来解决. 5. (2014 秋?延边州校级期末)AB 是抛物线 y =2x 的一条焦点弦,|AB|=4,则 AB 中点 C 的横坐标是( ) A.2 B. C.
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D.

【考点】抛物线的定义. 【专题】计算题.

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【分析】先设出 A,B 的坐标,进而根据抛物线的定义可知|AB|=x1+x2+p 求得 x1+x2 的值, 进而求得 AB 的中点的横坐标. 【解答】解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)根据抛物线的定义可知 |AB|=x1+x2+p=x1+x2+1=4, ∴ = ,

故选 C 【点评】本题主要考查了抛物线的定义.在涉及抛物线的焦点弦问题时,常需要借助抛物线 的定义来解决. 6. (2014 春?南湖区校级期末)已知点 P 是抛物线 y =2x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A.5 B. ,则|PA|+|PM|的最小值是( C.4
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D.AD

【考点】抛物线的定义. 【专题】计算题. 【分析】先根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线方程,延长 PM 交准线于 H 点推断出 |PA|=|PH|,进而表示出|PM|,问题转化为求 PF|+|PA|的最小值,由三角形两边长大于第三边 可知, |PF|+|PA|≥|FA|, 直线 FA 与 抛物线交于 P0 点, 可得 P0, 分析出当 P 重合于 P0 时, |PF|+|PA| 可取得最小值,进而求得|FA|,则|PA|+|PM|的最小值可得. 【解答】 解: 依题意可知焦点 F ( , 0) , 准线 x=﹣ , 延长 PM 交准线于 H 点. 则|PF|=|PH|. |PM|=|PH|﹣ =|PF|﹣ , |PM|+|PA|=|PF|+|PA|﹣ ,我们只有求出|PF|+|PA|最小值即可. 由三角形两边长大于第三边可知,|PF|+|PA|≥|FA|,① 设直线 FA 与 抛物线交于 P0 点,可计算得 P0 (3, ) ,另一交点(﹣ , 当 P 重合于 P0 时,|PF|+|PA|可取得最小值,可得|FA|= 则所求为|PM|+|PA|= 故选 B. = . . )舍去.

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【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质.考查了考生分析问题的能力,数形结合的思想 的运用. 7. (2015?唐山一模)已知抛物线的焦点 F(a,0) (a<0) ,则抛物线的标准方程是( 2 2 2 2 A.y =2ax B.y =4ax C.y =﹣2ax D.y =﹣4ax 【考点】抛物线的标准方程. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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【分析】由焦点 F(a,0) (a<0) ,可设抛物线的方程为 y =﹣2px,由 =﹣a 可求 p,即可 得出物线的标准方程. 2 【解答】解:由焦点 F(a,0) (a<0) ,可设抛物线的方程为 y =﹣2px ∵ =﹣a ∴p=﹣2a ∴y =4ax 故选:B. 【点评】 本题主要考查了由抛物线的性质求解抛物线的方程, 解题的关键是由抛物线的焦点 确定抛物线的开口方向,属于基础试题. 8. (2015?宜宾模拟)顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过点 P(﹣4,﹣2)的抛物线的标 准方程是( ) 2 2 A.y =﹣x B.x =﹣8y 2 2 2 2 C.y =﹣8x 或 x =﹣y D.y =﹣x 或 x =﹣8y 【考点】抛物线的标准方程. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 【分析】设抛物线方程分别为 y =mx,或 x =ny,代入点(﹣4,﹣2) ,解方程,即可得到 m,n.进而得到抛物线方程. 2 【解答】解:设抛物线方程为 y =mx, 代入点(﹣4,﹣2)可得,4=﹣4m, 解得,m=﹣1, 2 则抛物线方程为 y =﹣x, 2 设抛物线方程为 x =ny, 代入点(﹣4,﹣2)可得,16=﹣2n,
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解得,n=﹣8, 则抛物线方程为 x =﹣8y, 2 2 故抛物线方程为 y =﹣x,或 x =﹣8y. 故选:D. 【点评】本题考查抛物线方程的求法,考查分类讨论的思想方法,考查运算能力,属于基础 题. 9. (2015?铜仁市模拟)如图过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的直线依次交抛物线及准线 于点 A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=4,则抛物线的方程为( )
2 2

A.y =8x B.y =4x C.y =2x D.y =x 【考点】抛物线的标准方程. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】分别过点 A,B 作准线的垂线,分别交准线于点 E,D,设|BF|=a,根据抛物线定 义可知|BD|=a,进而推断出∠BCD 的值,在直角三角形中求得 a,进而根据 BD∥FG,利用 比例线段的性质可求得 p,则抛物线方程可得. 【解答】解:如图分别过点 A,B 作准线的垂线,分别交准线于点 E,D, 设|BF|=a,则由已知得:|BC|=2a, 由定义得:|BD|=a,故∠BCD=30°, 在直角三角形 ACE 中,∵|AF|=4,|AC|=4+3a, ∴2|AE|=|AC| ∴4+3a=8,
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2

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从而得 a= , ∵BD∥FG, ∴ = 求得 p=2, 因此抛物线方程为 y =4x. 故选:B.
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【点评】 本题主要考查了抛物线的简单性质. 考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合 把握. 10. (2016?渭南一模)若抛物线 y =2px(p>0)上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分 别为 10 和 6,则 p 的值为( ) A.2 B.18 C.2 或 18 D.4 或 16 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由抛物线上点 P 到的对称轴的距离 6,设 P 的坐标为(x0,±6) .根据点 P 坐标适 合抛物线方程及点 P 到焦点的距离为 10,联列方程组,解之可得 p 与 x0 的值,从而得到本 题的答案. 2 【解答】解:∵抛物线 y =2px(p>0)上一点到的对称轴的距离 6, ∴设该点为 P,则 P 的坐标为(x0,±6)
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2

∵P 到抛物线的焦点 F( ,0)的距离为 10 ∴由抛物线的定义,得 x0+ =10…(1) ∵点 P 是抛物线上的点,∴2px0=36…(2) (1) (2)联解,得 p=2,x0=2 或 p=18,x0=1 故选:C 【点评】本题已知抛物线上一点到焦点和到对称轴的距离,求抛物线的焦参数 p,着重考查 了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识,属于基础题. 11. (2016?南充一模)已知 F 是抛物线 y =4x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的 两侧,OA⊥OB(其中 O 为坐标原点) ,则△ AOB 与△ AOF 面积之和的最小值是( ) A.16 B.8 C.8 D.18 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】先设直线方程和点的坐标,联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程,再利
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2

用韦达定理及

?

=0,消元,最后将面积之和表示出来,探求最值问题.

【解答】解:设直线 AB 的方程为:x=ty+m, 点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 AB 与 x 轴的交点为 M(m,0) , 2 2 x=ty+m 代入 y =4x,可得 y ﹣4ty﹣4m=0,
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根据韦达定理有 y1?y2=﹣4m, ∵OA⊥OB, ∴ ? =0,
2

∴x1?x2+y1?y2=0,从而( y1? y2) +y1?y2=0, ∵点 A,B 位于 x 轴的两侧, ∴y1?y2=﹣16,故 m=4. 不妨令点 A 在 x 轴上方,则 y1>0, 又 F(1,0) , ∴S△ ABO+S△ AFO= ×4×(y1﹣y2)+ ×y1= y1+ ≥8 , ,即 y1= 时,取“=”号,

当且仅当 y1=

∴△ABO 与△ AFO 面积之和的最小值是 8 , 故选:C. 【点评】求解本题时,应考虑以下几个要点: 1、联立直线与抛物线的方程,消 x 或 y 后建立一元二次方程,利用韦达定理与已知条件消 元,这是处理此类问题的常见模式. 2、求三角形面积时,为使面积的表达式简单,常根据图形的特征选择适当的底与高. 3、利用基本不等式时,应注意“一正,二定,三相等”. 12. (2015?四川)设直线 l 与抛物线 y =4x 相交于 A、B 两点,与圆(x﹣5) +y =r (r>0) 相切于点 M, 且 M 为线段 AB 的中点, 若这样的直线 l 恰有 4 条, 则 r 的取值范围是 ( ) A. (1,3) B. (1,4) C. (2,3) D. (2,4) 【考点】抛物线的简单性质;直线与圆的位置关系. 【专题】综合题;创新题型;开放型;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】先确定 M 的轨迹是直线 x=3,代入抛物线方程可得 y=±2 ,所以交点与圆心(5, 0)的距离为 4,即可得出结论. 【解答】解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(x0,y0) , 2 2 斜率存在时,设斜率为 k,则 y1 =4x1,y2 =4x2,
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,相减,得(y1+y2) (y1﹣y2)=4(x1﹣x2) ,

当 l 的斜率存在时,利用点差法可得 ky0=2, 因为直线与圆相切,所以 即 M 的轨迹是直线 x=3.
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=﹣ ,所以 x0=3,

将 x=3 代入 y =4x,得 y =12,∴ ∵M 在圆上,∴
2

2

2

, ,∴r =
2



∵直线 l 恰有 4 条,∴y0≠0,∴4<r <16, 故 2<r<4 时,直线 l 有 2 条; 斜率不存在时,直线 l 有 2 条; 所以直线 l 恰有 4 条,2<r<4, 故选:D. 【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系,考查点差法,考查学生分析解决问题的能 力,属于中档题. 13. (2015?绍兴二模)点 P 是抛物线 y =4x 上一动点,则点 P 到点 A(0,﹣1)的距离与到 直线 x=﹣1 的距离和的最小值是( ) A. B. C.2 D. 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题. 2 【分析】由抛物线的性质,我们可得 P 点到直线 x=﹣1 的距离等于 P 点到抛物线 y =4x 焦 点 F 的距离,根据平面上两点之间的距离线段最短,即可得到点 P 到点 A(0,﹣1)的距 离与到直线 x=﹣1 的距离和的最小值. 2 【解答】解:∵P 点到直线 x=﹣1 的距离等于 P 点到抛物线 y =4x 焦点 F 的距离 故当 P 点位于 AF 上时,点 P 到点 A(0,﹣1)的距离与到直线 x=﹣1 的距离和最小 此时|PA|+|PF|=|AF|= 故选 D 【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质,其中根据抛物线的性质,将点 P 到点 A (0,﹣1)的距离与到直线 x=﹣1 的距离和,转化为 P 点到 A,F 两点的距离和,是解答本 题的关键.
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14. (2015?滨州一模)如图,已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 恰好是双曲线 (a>0,b>0)的右焦点,且两条曲线交点的连线过点 F,则该双曲线的离心率为(

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=1 )

A. B.2 C. D. 【考点】抛物线的简单性质;双曲线的简单性质.

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【专题】计算题. 【分析】 先根据抛物线方程及两条曲线交点的连线过点 F 得到交点坐标, 代入双曲线, 把 =c 代入整理得 c ﹣6a c +a =0 等式两边同除以 a ,得到关于离心率 e 的方程,进而可求得 e 【解答】解:由题意,∵两条曲线交点的连线过点 F ∴两条曲线交点为( ,p) ,
4 2 2 4 4

代入双曲线方程得



=1,

又 =c
4 2 2 4


4

﹣4×
2

=1,化简得 c ﹣6a c +a =0

∴e ﹣6e +1=0 2 2 ∴e =3+2 =(1+ ) ∴e= +1 故选 C. 【点评】本题的考点是抛物线的简单性质,主要考查抛物线的应用,考查双曲线的离心率, 解题的关键是得出 a,c 的方程. 15. (2015?徐汇区模拟)抛物线 y =4x 的准线方程为( A.x=2 B.x=﹣2 C.x=1 D.x=﹣1 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题.
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【分析】利用抛物线的标准方程,有 2p=4, 【解答】解:抛物线 y =4x 的焦点在 x 轴上,且
2

,可求抛物线的准线方程. ,

∴抛物线的准线方程是 x=﹣1. 故选 D. 【点评】本小题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识,考查运算求解 能力,考查数形结合思想.属于基础题. 16. (2015?南昌校级模拟)从抛物线 y =4x 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且 |PM|=5,设抛物线的焦点为 F,则△ MPF 的面积为( ) A.5 B.10 C.20 D. 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】先设处 P 点坐标,进而求得抛物线的准线方程,进而求得 P 点横坐标,代入抛物 线方程求得 P 的纵坐标,进而利用三角形面积公式求得答案.
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【解答】解:设 P(x0,y0) 依题意可知抛物线准线 x=﹣1, ∴x0=5﹣1=4 ∴|y0|= =4, ∴△MPF 的面积为 ×5×4=10 故选:B 【点评】本题主要考查了抛物线的应用.解题的关键是灵活利用了抛物线的定义. 17. (2015?淄博模拟)过抛物线 y =4x 焦点的直线交抛物线于 A,B 两点,若|AB|=10,则 AB 的中点到 y 轴的距离等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设 AB 的中点为 E,过 A、E、B 分别作准线的垂线,垂足分别为 C、G、D,如图 所示,由 EG 为直角梯形的中位线及抛物线的定义求出 EF,则 EH=EG﹣1 为所求.
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【解答】解:抛物线 y =4x 焦点(1,0) ,准线为 l:x=﹣1, 设 AB 的中点为 E,过 A、E、B 分别作准线的垂线, 垂足分别为 C、G、D,EF 交纵轴于点 H,如图所示: 则由 EG 为直角梯形的中位线知, EG= = = =5,

2

∴EH=EG﹣1=4, 则 AB 的中点到 y 轴的距离等于 4. 故选 D.

【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,体现了数形结合的数学 思想. 18. (2015?湖北二模)已知抛物线 C:y =8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直 线 PF 与 C 的一个交点,若 =3 ,则|QF|=( )
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A.

B.

C.3

D.2
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【考点】抛物线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 设 l 与 x 轴的交点为 M, 过 Q 向准线 l 作垂线, 垂足为 N, 由 =3 , 可得 = ,

又|MF|=p=4,根据抛物线的定义即可得出. 【解答】解:设 l 与 x 轴的交点为 M,过 Q 向准线 l 作垂线,垂足为 N, ∵ ∴ =3 , = ,又|MF|=p=4,

∴|NQ|= , ∵|NQ|=|QF|, ∴|QF|= . 故选:A.

【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、向量的共线,考查了推理能力与计算 能力,属于中档题. 19. (2015?河南二模)已知点 A(0,2) ,抛物线 C:y =ax(a>0)的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M, 与其准线相交于点 N, 若|FM|: |MN|=1: , 则 a 的值等于 ( ) A. B. C.1 D.4
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【考点】抛物线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】作出 M 在准线上的射影,根据|KM|:|MN|确定|KN|:|KM|的值,进而列方程求得 a. 【解答】解:依题意 F 点的坐标为( ,0) , 设 M 在准线上的射影为 K, 由抛物线的定义知|MF|=|MK|, ∴|KM|:|MN|=1: ,
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则|KN|:|KM|=2:1, kFN= =﹣ ,

kFN=﹣

=﹣2

∴ =2,求得 a=4,

故选 D.

【点评】 本题主要考查了抛物线的简单性质. 抛物线中涉及焦半径的问题常利用抛物线的定 义转化为点到准线的距离来解决. 20. (2015?河南模拟)抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,已知点 A,B 为抛物线上的两个 动点, 且满足∠AFB=120°. 过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN, 垂足为 N, 则 的最小值为( A. B. ) C.1 D.
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2

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】先画出图象、做出辅助线,设|AF|=a、|BF|=b,由抛物线定义得 2|MN|=a+b,由题 意和余弦定理可得|AB| = (a+b)﹣ab, 再根据基本不等式, 求得|AB| 的取值范围, 代入 化简即可得到答案. 【解答】解:如右图:过 A、B 分别作准线的垂线 AQ、BP,垂足分别是 Q、P, 设|AF|=a,|BF|=b,连接 AF、BF, 由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP| 在梯形 ABPQ 中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b. 由余弦定理得, 2 2 2 2 2 |AB| =a +b ﹣2abcos120°=a +b +ab, 2 2 配方得|AB| =(a+b) ﹣ab,
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2 2 2

因为 ab≤
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2

则(a+b) ﹣ab≥(a+b) ﹣

= (a+b) ,即|AB| ≥ (a+b) ,

2

2

2

所以



=3,

则 故选:D.

,即所求的最小值是



【点评】本题考查抛物线的定义、简单几何性质,基本不等式求最值,余弦定理的应用等知 识,属于中档题. 21. (2015?滕州市校级模拟)已知圆 C:x +y +6x+8y+21=0,抛物线 y =8x 的准线为 l,设 抛物线上任意一点 P 到直线 l 的距离为 m,则 m+|PC|的最小值为( ) A.5 B. C. ﹣2 D.4 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】先根据圆的方程求得圆心坐标和半径,抛物线方程求得焦点坐标和准线方程,根据 根据抛物线的定义可知,P 到准线的距离等于点 P 到焦点 F 的距离,可知当 P,Q,F 三点 共线时,m+|PC|取得最小值. 2 2 2 2 【解答】解:圆 C:x +y +6x+8y+21=0 即(x+3) +(y+4) =4,表示以 C(﹣3,﹣4)为 圆心,半径等于 2 的圆.
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2

2

抛物线 y =8x 的准线为 l:x=﹣2,焦点为 F(2,0) , 根据抛物线的定义可知点 P 到准线的距离等于点 P 到焦点 F 的距离, 进而推断出当 P, C, F 三点共线时, m+|PC|的最小值为: |CF|= = ,

2

故选:B. 【点评】本题主要考查了抛物线的应用.考查了学生转化和化归等数学思想,属于中档题. 二.解答题(共 7 小题)
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22. (2016?台州模拟)已知直线 l 经过抛物线 x =4y 的焦点,且与抛物线交于 A,B 两点, 点 O 为坐标原点. (1)求抛物线准线方程; (2)若△ AOB 的面积为 4,求直线 l 的方程.

2

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 【分析】 (1)由抛物线 x =4y 的方程可得焦点 F(0,1) ,准线方程. (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .设直线 l 的方程为:y=kx+1.与抛物线方程联立可得根 与系数的关系,利用弦长公式、点到直线的距离公式即可得出 k. 2 【解答】解: (1)由抛物线 x =4y 的方程可得焦点 F(0,1) ,准线方程为 y=﹣1; (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 设直线 l 的方程为:y=kx+1. 2 联立抛物线方程,化为 x ﹣4kx﹣4=0. ∴x1+x2=4k,x1x2=﹣4.
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∴|AB|=

?

=4(1+k ) . .

2

点 O 到直线 l 的距离 d=

∴S△ OAB= |AB|d= ×=4(1+k )×
2

2

=4,

解得 k =3, ∴k=± . ∴直线 l 的方程为:y= x+1. 【点评】本题考查了直线与抛物线的相交问题转化为方程联立可得根与系数、弦长公式、点 到直线的距离公式、 三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法, 考查了推理能力和 计算能力,属于中档题. 23. (2015 春?宁夏校级期末)已知直线 l:x+y﹣1=0 与抛物线 y=x 交与 A,B 两点,求线 段 AB 的长和点 M(﹣1,2)到 A,B 两点的距离之积. 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设出直线 l 的参数方程,代入抛物线方程,利用参数的几何意义,即可求线段 AB 的长;利用参数的几何意义,即可求点 M 到 A、B 两点的距离之积.
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【解答】解:点 M(﹣1,2)在直线 l 上,直线 l 的倾斜角为



所以直线 l 的参数方程为
2

(t 为参数) ,

代入抛物线方程,得 t + t﹣2=0, 设该方程的两个根为 t1、t2,则 t1+t2=﹣ ,t1?t2=﹣2 所以弦长为|AB|=|t1﹣t2|= = . 利用参数的几何意义,可得|MA|?|MB|=|t1t2|=|﹣2|=2. 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用,正确运用参数的几何意义是关键.
2 2

24. (2015?大庆二模)抛物线 M:y =2px(p>0)的准线过椭圆 N:

+y =1 的左焦点,

以原点为圆心,以 t(t>0)为半径的圆分别与抛物线 M 在第一象限的图象以及 y 轴的正半 轴相交于点 A 和 B,直线 AB 与 x 轴相交于点 C. (Ⅰ)求抛物线 M 的方程; (Ⅱ)设点 A 的横坐标为 a,点 C 的横坐标为 c,抛物线 M 上点 D 的横坐标为 a+2,求直 线 CD 的斜率. 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (Ⅰ)由椭圆方程求出椭圆左焦点坐标,得到抛物线准线方程,从而求得 p 值,则 抛物线方程可求; (Ⅱ)写出 A 的坐标,由|OA|=t 列式求得 t 与 A 的坐标间的关系,求出直线 BC 的方程,把 A 代入 BC 方程,得到 a,c 的关系,然后直接代入斜率公式求直线 CD 的斜率.
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【解答】解: (Ⅰ)∵椭圆 N: ∴c =a ﹣b = ﹣1= , ∴椭圆的左焦点为 F1(﹣ ,0) , ∴﹣ =﹣ ,则 p=1. 故 M:y =2x; (Ⅱ)由题意知,A(a,2a) , ∵|OA|=t, 2 2 ∴a +2a=t . 由于 t>0,故有 t= ①
2 2 2 2

+y =1,

2

由点 B(0,t) ,C(c,0)的坐标知, 直线 BC 的方程为 + =1.

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又∵A 在直线 BC 上,故有 + 将①代入上式,得: +

=1. =1,解得 c=a+2+ .

又∵D(a+2,2 ∴直线 CD 的斜率为: kCD= =

) ,

=

=﹣1.

【点评】本题主要抛物线方程的求法,考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用,解答此题的 关键是对抛物线定义的灵活应用,是高考试卷中的压轴题. 25. (2014 秋?大庆期末)已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 位于直线 x+y﹣1=0 上. (1)求抛物线方程; (2)过抛物线的焦点 F 作倾斜角为 45°的直线,交抛物线于 A,B 两点,求 AB 的中点 C 到抛物线准线的距离. 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)先求出焦点进而求出 P,从而求出抛物线的方程; (2)先根据抛物线的焦点坐标和直线的倾斜角可表示出直线 AB 的方程,然后联立直线方 程与抛物线方程可得到两根之和与两根之积,进而可得到中点 C 的横坐标,求出 AB 的中 点 C 到抛物线准线的距离.
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2

【解答】解: (1)∵抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 位于直线 x+y﹣1=0 上. 所以焦点是(1,0) , 故 =1, ∴p=2, 所以抛物线的方程为:y =4x; 2 (2)抛物线 y =4x 的焦点坐标为(1,0) ,准线方程为 x=﹣1, 直线 AB 的方程为 y=x﹣1, 设点 A(x1,y1) 、B(x2,y2) . 2 2 将 y=x﹣1 代入 y =4x 得 x ﹣6x+1=0. 则 x1+x2=6,x1?x2=1. 故中点 C 的横坐标为 3. 所以中点 C 到准线的距离为 3+1=4. 【点评】 本题主要考查直线与抛物线的综合问题和两点间的距离公式. 直线与圆锥曲线的综 合问题一直都是高考的重点,要着重复习. 26. (2014 秋?东湖区校级期中)已知抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,若过点 F 且斜 率为 1 的直线与抛物线相交于 M,N 两点,且|MN|=8. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程;
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2 2

2

(Ⅱ)设直线 l 为抛物线 C 的切线且 l∥MN,求直线 l 的方程. 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
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【分析】 (1)由题可知直线 MN 的方程为:y=x﹣ ,代入 y =2px 化简,利用韦达定理以 及抛物线的定义、|MN|=8 求得 p 的值,可得抛物线的方程. (2)设 l 方程为 y=x+b,代入 y =4x 化简,再利用判别式△ =0,解得 b 的值,可得 l 的方 程. 【解答】解: (1)由题可知 F( ,0) ,则该直线 MN 的方程为:y=x﹣ , 代入 y =2px,化简可得 x ﹣3px+
2 2 2

2

=0.

设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则有 x1=x2=3p. ∵|MN|=8,∴有 x1+x2+p=8,解得 p=2, 2 ∴抛物线的方程为:y =4x. 2 2 2 (2)设 l 方程为 y=x+b,代入 y =4x,可得 x +(2b﹣4)x+b =0, 因为 l 为抛物线 C 的切线,∴△=0,解得 b=1, ∴l 的方程为:y=x+1. 【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,属于基础题. 27. (2015 秋?玄武区期中)求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程: (1)焦点在直线 x﹣2y+4=0 上,且开口向上的抛物线; (2)与双曲线 ﹣ =1 有公共的渐近线,且过点(3 ,0)的双曲线.

【考点】抛物线的标准方程;双曲线的标准方程. 【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)由题意,焦点在 y 轴上,分别求出焦点坐标,然后根据抛物线的标准形式可得 答案. (2)设出双曲线方程,利用双曲线上的点,求解即可. 【解答】解: (1)由题意,焦点在 y 轴上,根据 x=0,x﹣2y+4=0 可得焦点坐标为(0,2) , 2 ∴抛物线的标准方程为 x =8y;
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(2)与双曲线



=1 有公共的渐近线,

可设双曲线方程为: 双曲线经过点(3



=k,

,0) ,∴k= ,

∴双曲线的方程为

=1.
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【点评】本题主要考查抛物线、双曲线的标准方程.属基础题. 28.已知抛物线 C:y =2px 上一点到焦点 F 的距离比到直线 x=﹣4 的距离小 2,求抛物线 C 的方程. 【考点】抛物线的标准方程. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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2

【分析】抛物线 C:y =2px 上一点到焦点 F 的距离比到直线 x=﹣4 的距离小 2,即有抛物线 2 C:y =2px 上一点到焦点 F 的距离等于到直线 x=﹣2 的距离,根据抛物线的定义,求出 p, 即可求抛物线 C 的方程. 2 【解答】解:∵抛物线 C:y =2px 上一点到焦点 F 的距离比到直线 x=﹣4 的距离小 2, 2 ∴抛物线 C:y =2px 上一点到焦点 F 的距离等于到直线 x=﹣2 的距离. 根据抛物线的定义可得: =2,即 p=4,所以抛物线 C 的方程为:y =8x. 【点评】本题考查抛物线的定义,考查学生的计算能力,正确运用抛物线的定义是关键.
2

2

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