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数学必修5解三角形,正弦,余弦知识点和练习题(含答案)


解三角形 a b c ? ? ? 2 R 或变形: a : b : c ? sin A : sin B : sin C . 1.正弦定理: sin A sin B sin C

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 2.余弦定理: ?b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 或 ?c 2 ? b 2 ? a 2 ? 2ba cos C ?

? b2 ? c2 ? a 2 cos A ? ? 2bc ? 2 a ? c2 ? b2 ? . ?cos B ? 2ac ? ? b2 ? a 2 ? c2 cos C ? ? 2ab ?

3.(1)两类正弦定理解三角形的问题:1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角. (2)两类余弦定理解三角形的问题:1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角. 4.判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式. 5.解题中利用 ?ABC 中 A ? B ? C ? ? ,以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算, 如: sin( A ? B) ? sin C, cos( A ? B) ? ? cos C, tan( A ? B) ? ? tan C,

sin
已知条件

A? B C A? B C A? B C ? cos , cos ? sin , tan ? cot .、 2 2 2 2 2 2
定 理 应 用 正 弦 定 理 一般解法

一边和两角 (如 a、B、C) 两边和夹角 (如 a、b、c) 三边 (如 a、b、c)

由 A+B+C=180˙,求角 A,由正弦定理求出 b 与 c,在有解时 有一解。 由余弦定理求第三边 c,由正弦定理求出小边所对的角,再 由 A+B+C=180˙求出另一角,在有解时有一解。 由余弦定理求出角 A、B,再利用 A+B+C=180˙,求出角 C 在有解时只有一解。

余 弦 定 理

余 弦 定 理

1、Δ ABC 中,a=1,b= 3 , ∠A=30°,则∠B 等于 A.60° B.60°或 120° C.30°或 150° D.120°





2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 A.a=1,b=2 ,c=3 C.a=1,b=2,∠A=100° B.a=1,b= 2 ,∠A=30° C.b=c=1, ∠B=45°





3、在锐角三角形 ABC 中,有 A.cosA>sinB 且 cosB>sinA C.cosA>sinB 且 cosB<sinA B.cosA<sinB 且 cosB<sinA D.cosA<sinB 且 cosB>sinA





4、若(a+b+c)(b+c-a)=3abc,且 sinA=2sinBcosC, 那么Δ ABC 是 A.直角三角形 C.等腰三角形 B.等边三角形 D.等腰直角三角形





5、设 A、B、C 为三角形的三内角,且方程(sinB-sinA)x2+(sinA-sinC)x +(sinC-sinB)=0 有等根,那么角 B ( A.B>60° B.B≥60° C.B<60° D.B ≤60° ( D.不定 ) )

6、满足 A=45°,c= 6 ,a=2 的△ABC 的个数记为 m,则 a m 的值为 A.4 B.2 C.1

7、如图:D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C,D 两点测得 A 点仰角分别是β ,α (α <β ),则 A 点离地面 的高度 AB 等于 A. ( B. )

a sin ? sin ? sin(? ? ? )

a sin ? ? sin ? cos(? ? ? )
D

A

a sin ? cos ? C. sin(? ? ? )

a cos? sin ? D. cos(? ? ? )

?

C

?

B

8、A 为Δ ABC 的一个内角,且 sinA+cosA=

7 , 则Δ ABC 是______三角形. 12

9、在Δ ABC 中,若 SΔ ABC=

1 2 2 2 (a +b -c ),那么角∠C=______. 4

10、在Δ ABC 中,a =5,b = 4,cos(A-B)=

31 ,则 cosC=_______. 32

11、在Δ ABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状: ①B=60°,b2=ac; ②b2tanA=a2tanB; ③sinC=

sin A ? sin B ④ (a2-b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A-B). cos A ? cos B

12. 在 △ ABC 中,已知内角 A ?

? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ? (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域;(2)求 y 的最大值.

13. 在 ? ABC 中,角 A, B, C 对应的边分别是 a, b, c ,若 sin A ?

1 3 , sin B ? ,求 a : b : c 2 2

14. 在 ? ABC 中 a, b, c 分别为 ?A, ?B, ?C 的对边,若 2sin A(cos B ? cos C) ? 3(sin B ? sin C) , (1)求 A 的大小;(2)若 a ? 61, b ? c ? 9 ,求 b 和 c 的值。

15. 如图, AO ? 2 , B 是半个单位圆上的动点, ? ABC 是等边三角形,求当 ?AOB 等于多少时,四 边形 OACB 的面积最大,并求四边形面积的最大值.

C

B

E

O

F

A

16 .

在 △ OAB

中 , O

为 坐 标 原 点 ,

A(1, cos ? ), B(sin ? ,1), ? ? (0, ] ,则当△OAB 的面积达最大值时, ? ? ( ) 2
A.

?

? 6

B.

? ? C. 4 3

D.

? 2

17. 在 ?ABC 中,已知 tan ① tan A ? cot B ? 1
2 2 ③ sin A ? cos B ? 1

A? B ? sin C ,给出以下四个论断,其中正确的是 2
② 0 ? sin A ? sin B ?

2

2 2 2 ④ cos A ? cos B ? sin C

18. .已知 A, B, C 是三角形 ?ABC 三内角,向量 m ? ?1, 3 , n ? ? cos A,sin A? ,且 m ? n ? 1 . (Ⅰ)求角 A ;(Ⅱ)若

??

?

?

?

?? ?

1 ? sin 2 B ? ?3 ,求 tan C . cos 2 B ? sin 2 B

19. 已知向量 a ? (2 cos

x x ? x ? x ? , tan( ? )), b ? ( 2 sin( ? ), tan( ? )), 令f ( x) ? a ? b . 2 2 4 2 4 2 4

求函数 f(x)的最大值,最小正周期,并写出 f(x)在[0,π ]上的单调区间.

20.设向量 a =(sinx,cosx), b =(cosx,cosx),x∈R,函数 f(x)= a ? (a ? b) . (Ⅰ)求函数 f(x)的最大值与最小正周期; (Ⅱ)求使不等式 f(x)≥

?

?

? ? ?

3 成立的 x 的取值范围. 2

21. 已知函数 (1)当函数

取得最大值时,求自变量 的集合。 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

(2)该函数的图象可由

22.

已知

,其中 ,



,若





有最大值为 7,求 、 的值。

参考答案(正弦、余弦定理与解三角形) 一、BDBBD AAC 二、(9)钝角 (10)

14 3 3

(11)

? 4

(12)

1 8

三、(13)分析:化简已知

条件,找到边角之间的关系,就可判断三角形的形状. ①由余弦定理

cos60? ?

a2 ? c2 ? b2 a2 ? c2 ? b2 1 ? ? ? a 2 ? c 2 ? ac ? ac ? (a ? c) 2 ? 0 , 2ac 2ac 2
cos A

2 ? a ? c . 由 a=c 及 B=60°可知△ABC 为等边三角形. ②由 b 2 tan A ? a 2 tan B ? b sin A

a 2 sin B sin B cos A b 2 sin 2 B ? ? ? ? ? sin A cos A ? sin B cos B,? sin 2 A ? sin 2 B, ∴A=B 或 A+B=90°, cos B sin A cos B a 2 sin 2 A
∴△ABC 为等腰△或 Rt△. 弦定理: c ? ③? sin C ? sin A ? sin B ,由正弦定理:c(cos A ? cos B) ? a ? b, 再由余 cos A ? cos B

a2 ? b2 ? c2 a2 ? c2 ? b2 ? c? ? a?b 2bc 2ac
2 2 ④由条件变形为 sin(A ? B) ? a ? b 2 sin( A ? B) a ? b 2

? (a ? b)(c 2 ? a 2 ? b 2 ) ? 0,? c 2 ? a 2 ? b 2 ,? ?ABC为Rt? .
?

sin( A ? B) ? sin( A ? B) a 2 sin A cos B sin 2 A ? 2 ,? ? ? sin 2 A ? sin 2B,? A ? B或A ? B ? 90? . sin( A ? B) ? sin( A ? B) b cos A sin B sin 2 B

∴△ABC 是等腰△或 Rt△.



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