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2012-2013概率统计A(A卷)解答


2012~ 2013 学年第一学期考查试卷
课程序号 班级 学号 姓名 ____________

《概率论与数理统计 A》课程试卷(A 卷)解答
(本卷考试时间 90 分钟)

题号 题分 得分

一 24

二 24

三 10

四 10

五 10

六 7

七 10

八 5

总 分 100

一、单项选择题(本题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分,将答案填在下面对应的空格中)

1.

D

;2.

A

;3.

C

;4.

B

;5. A



6. D

;7.

B

;8.

C

.

1.设 P ( A) ? 0.5 , P ( B) ? 0.4 ,则下列结论中正确的是 (A) P ( A ? B ) ? 0.9 (B) P ( A ? B ) ? 0.1 (C) P ( AB) ? 0.2

( (D) A ? B .



2.一个宿舍 4 个学生中恰好有 2 人生日在 1 月份的概率是 2 2 C 4 112 C 4 11 ? 10 112 (A) (B) (C) 124 124 124

( 11 ? 10 (D) 12 4



3.设随机变量 X 1 , X 2 的分布函数分别为 F1 ( x ) , F2 ( x ) ,且 X 1 与 X 2 相互独立,则下列函数 中为某个随机变量分布函数的是 ( ) (A) F1 ( x ) ? F2 ( x ) (B) F1 ( x ) ? F2 ( x ) (C) F1 ( x )F2 ( x ) (D) F1 ( x ) ? F2 ( x ) ? 1

4.设随机变量 X ~ N (0,1) ,则 Y ? 2 X 的概率密度为 (A)
1 2? e
? y2 8


1 e
? y2 2


? y2 8

(B)

1 2 2?

e

?

y2 8

(C)

2 2?

(D)
共 6页

2 2?

e

概率论与数理统计 A (A 卷)解答 第 1 页

5.若 X 服从 ( ?1, 5) 上的均匀分布,则 E ( X ) , D( X ) 分别为 (A) 2, 3 (B) 3, 3 (C) 3, 2 (D) 2, 2





1 6.设 D( X ) ? 1, D(Y ) ? 4, ? XY ? ? , 则 D(2 X ? Y ) ? 2

( (D) 12



(A) 8

(B) 9

(C) 10

7.据医学统计,心肌梗塞病人约 70%有先兆症状,某医院收治了 100 名心肌梗塞病人, 其中有先兆症状的病人数为 X ,则下列结论中错误的是 (A) X ~ B(100,0.7)
近似





(C) X ~ N (70,21)

(B) P{ X ? 80} ? 0.7 80 0.3 20 ? 80 ? 70 ? (D) P{ X ? 80} ? ? ? ? ? 21 ? ( )

8.若 Y ? a( X1 ? X 2 )2 ~ ? 2 (1) ,其中 X 1 , X 2 是取自正态总体 N (0,1) 的样本,则 1 1 (A) a ? (B) a ? 4 (C) a ? (D) a ? 2 4 2

二、填空题(本题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分,将答案填在下面对应的空格中)
6 5

1.

0.88



2.

; 3.

?1



4.

?
n



5.

3 8



6.

Y3

; 7.

? ? 70



8.

121x ? 145

.

1.两个学生参加某个公司的招聘会,被聘用的概率分别为 0.6 和 0.7,则两个学生至少有 一人被该公司聘用的概率为 .

?kx(1 ? x ), 2. 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) ? ? ?0,

x ? (0,1) , 则常数 k ? x ? (0,1)

.

3.甲乙两支乒乓球队计划进行 10 场比赛,假设甲队获胜 X 场,乙队获胜 Y 场,则 X 与 Y 的相关系数 ? XY ? . .

4.设总体 X 服从参数为 ? 的泊松分布, X 为样本均值,容量为 n ,则 D( X ) ?
概率论与数理统计 A (A 卷)解答 第 2 页 共 6页

5.设总体 X 的分布律为
X pk

0 ?2

1 2? (1 ? ? )

2 ?2

3 1 ? 2? . .

其中 ? ( 0 ? ? ?

1 3 ? ) 为未知参数, 若样本均值 x ? , 则参数 ? 的矩估计值 ? ? 2 2

6. X 1 , X 2 , X 3 是来自总体 X 的样本, 设 下列总体均值 ? 的无偏估计量中最有效的是
Y1 ? 1 1 1 X1 ? X 2 ? X 3 , 6 3 2 Y2 ? 1 1 1 X1 ? X 2 ? X 3 , 4 4 2 Y3 ? 1 1 1 X1 ? X 2 ? X 3 3 3 3

7.从去年死亡的人中随机选取 100 人,其平均寿命为 71.8 岁,标准差为 8.9 岁,假设人 的寿命服从正态分布,在显著水平 ? ? 0.01 下,是否可以认为现在人的平均寿命 ? 已经超 过了 70 岁?则在假设检验中,原假设 H 0 应选为 8.根据成年男性身高 x (m)与体重 y (kg)的抽样数据计算得到 .

x ? 1.757, y ? 67.597, Lxx ? 0.0384, Lxy ? 4.6464, Lyy ? 678.4,
? 则成年男性体重 y 关于身高 x 的线性回归方程为 y ?


三、 (10 分)有个学生把钥匙丢了,钥匙丢在宿舍、教室或路上的概率分别为 0.4、0.35、 0.25,而在这些地方找到钥匙的概率分别为 0.9、0.3、0.1,(1)求该学生找到钥匙的概率; (2)若钥匙已经找到,求当初钥匙的确是丢在了宿舍的概率. 解: 设 B1 , B2 , B3 分别表示钥匙丢在了宿舍、教室或路上, A 表示该学生找到钥匙, (3 分) (6 分) (8 分)

(1) P( A) ? P( B1 ) P( A / B1 ) ? P( B2 ) P( A / B2 ) ? P( B3 ) P( A / B3 )
? 0.4 ? 0.9 ? 0.35 ? 0.3 ? 0.25 ? 0.1 ? 0.49 ,

(2) P ( B1 / A) ?

P ( B1 ) P ( A / B1 ) P ( A)
0.4 ? 0.9 ? 0.7347. 0.49

?

(10 分)

?1, 四、 (10 分)设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度为 f ( x, y ) ? ? ?0,

( x, y ) ? G ,其中区 ( x, y ) ? G

域 G 由 y ? x , y ? 1 所围成.(1) 求关于 X 、 Y 的边缘概率密度 f X ( x ) 、 f Y ( y ) ,并由此判 断 X 与 Y 是否相互独立?(2)求 E ( X ) , E (Y ) , E ( XY ) ,并由此判断 X 与 Y 是否互不相关?

概率论与数理统计 A (A 卷)解答 第 3 页

共 6页

解:(1) f X ( x ) ?

?

??

??

? 1 dy, x ? ( ?1,1) ?1 ? x , ? f ( x , y )dy ? ? ? x ?? ?0, x ? ( ?1,1) ?0, ? ? y dx, y ? (0,1) ? 2 y , ? f ( x , y )dx ? ? ?? y ?? ?0, y ? (0,1) ?0, ?

x ? ( ?1,1) x ? ( ?1,1)



(2 分)

fY ( y) ?

?

??

??

y ? (0,1) , y ? (0,1)

(4 分)

因为 f ( x , y ) ? f X ( x ) f Y ( y ) ,所以 X 与 Y 不相互独立. (2) E ( X ) ? ? xf X ( x )dx ? ? x(1 ? x )dx ? 0 ,
1 ?? ?1 ??

(5 分) (6 分) (7 分)

E (Y ) ? E ( XY ) ?
??

?

??

??

yfY ( y )dy ?

?

1

0

2 y 2 dy ?

2 , 3
1

? ?
??

??

??

xyf ( x , y )dxdy ?

?

1

?1

xdx? ydy ?
x

1 1 2 ??1 x(1 ? x )dx ? 0 , 2

(9 分) (10 分)

因为 E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ,所以 X 与 Y 互不相关.

五、 (10 分)设总体 X 的概率密度为 f ( x) ? ?e ? 2? x ( ? ? 0 ) ,求参数 ? 的极大似然估计. 解:似然函数为 L(? ) ? ? f ( x i ) ? ? ?e
i ?1 i ?1 n n ? 2? xi

? ?n e

? 2?

? xi
i ?1

n



(4 分) (6 分) (8 分) (10 分)

ln L(? ) ? n ln? ? 2? ? x i ,
i ?1
n d ln L(? ) n ? ? 2? xi ? 0 , i ?1 d? ?

n

? 所以参数 ? 的极大似然估计为 ? L ?

n 2? xi
i ?1 n



六、 分)一台机器生产圆柱形金属片,从中提取样本,直径分别为 (7 1.01,0.97,1.03,1.04,0.99,0.98,0.99,1.01,1.03,1.02. 假设金属片的直径服从正态分布, 求这台机器生产的金属片直径均值置信度为 99%的置信 区间.
概率论与数理统计 A (A 卷)解答 第 4 页 共 6页

解:方差 ? 2 未知,均值 ? 的 1 ? ? 置信区间为 ( X ? t ? ( n ? 1)
2

S n

),

(2 分) (4 分) (5 分) (7 分)

n ? 10, X ? 1.007, S ? 0.0236, ? ? 0.01, t 0.005 (9) ? 3.2498,
所以金属片直径均值置信度为 99%的置信区间为 (0.9827,1.0313) .

七、 (10 分) 在 A 班随机抽取 9 位学生的线性代数课程的考试成绩,得到 S12 ? 110,在 B
2 班随机抽取 4 位学生的线性代数课程的考试成绩,得到 S 2 ? 174.假设学生的考试成绩服 2 从正态分布,可否认为 ? 12 ? ? 2 ( ? ? 0.05 )?

2 2 2 2 解: H 0 : ? 1 ? ? 2 , H1 : ? 1 ? ? 2 ,

(2 分) (3 分) (4 分)

S 12 统计量 F ? 2 , S2 拒绝域 W ? { F ? F? ( n1 ? 1, n2 ? 1)} ? { F ? F1? ? ( n1 ? 1, n2 ? 1)} ,
2 2

n1 ? 9, n2 ? 4, ? ? 0.05 ,F0.025 (8,3) ? 14.54 ,F0.975 (8,3) ?
} 拒绝域 W ? {F ? 14.54} ? {F ? 0.1845 ,

1 1 (6 ? ? 0.1845, 分) F0.025 (3,8) 5.42 (7 分)
(9 分) (10 分)

由于

F?

S12 110 ? ? 0.6322? W , 2 S 2 174

2 所以接受 H 0 ,可以认为 ? 12 ? ? 2 ( ? ? 0.05 ) .

八、 分)设关于 X , Y 的边缘分布律分别为 (5
X

pi .

?1 1 4

0 1 2

1 1 4

Y

p. j

0 1 2
共 6页

1 1 2

概率论与数理统计 A (A 卷)解答 第 5 页

且 P{ XY ? 0} ? 1 ,求 ( X , Y ) 的联合分布律. 解: P{ XY ? 0} ? 1
? P{ XY ? 0} ? P{ X ? ?1, Y ? 1} ? P{ X ? 1, Y ? 1} ? 0 , ? P{ X ? ?1, Y ? 1} ? P{ X ? 1, Y ? 1} ? 0 ,

(1 分) (3 分)

所以 ( X , Y ) 的联合分布律为
Y

0

1

X
?1

1 4
0

0
1 2

(5 分)

0 1

1 4

0

另解: P{ XY ? 0} ? 1

? P{ X ? 0 ? Y ? 0} ? P{ X ? 0} ? P{Y ? 0} ? P{ X ? 0,Y ? 0} ? 1 , 1 1 P{ X ? 0} ? , P{Y ? 0} ? ? P{ X ? 0, Y ? 0} ? 0 , 2 2
所以 ( X , Y ) 的联合分布律为
Y

(1 分) (3 分)

0

1

X
?1

1 4
0

0
1 2

(5 分)

0 1

1 4

0

概率论与数理统计 A (A 卷)解答 第 6 页

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