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湖北省枣阳市白水高级中学2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 理


湖北省枣阳市白水高中 2014-2015 学年度高二下学期期末考试理 科数学试题
注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷(选择题) 评卷人 得分

一、选择题(本大题共 10 题,每 题 5 分,共计 50 分)

1. 在某电视歌曲大奖赛中,最有六位选手争夺一个特别奖,观众 A,B,C,D 猜测如 下:A 说:获奖的不是 1 号就是 2 号;A 说:获奖的不可能是 3 号;C 说:4 号、5 号、 6 号都不可能获奖;D 说:获奖的是 4 号、5 号、6 号中的一个.比赛结果表明,四个人 中恰好有一个人猜对,则猜对者一定是观众 获特别奖的是 号选手. 2.若 z ? (1 ? i)i ( i 为虚数单位) ,则 z 的虚部是 A. 1
x

B. ?1 ( ) B. -1

C. i C. 0 ) D.8 项

D. ? i D.不存在

3.y=x- e 的极大值为 A .1 4. ( x ? A.5 项

1 18 ) 的展开式中常数项是第 ( 3x
B.6 项 C.7 项

A(0, 2,
5 .若

19 5 5 ) B (1, ?1, ) C ( ?2,1, ) 8 , 8 , 8 是平面 ? 内的三点,设平面 ? 的法向量
. ( )

? a ? ( x, y, z ) ,则 x : y : z ?

6.过原点作曲线 y ? ln x 的切线,则切线斜率为 A. e
2

B.

1 e2

C. e

D.

1 学 e

7.如果复数 等于 A. 2

2 ? bi (其中 i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那么 b 1 ? 2i
B.

2 3

C. ?

2 3


D.2

8. ( x ? 2 y )8 的展开式中 x 6 y 2 项的系数是(

A. 56 B. ?56 C. 28 D. ?28 2 9.若点 P 是曲线 y=x -ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小值为( A.1 B. 2 C.

)

2 2

D. 3

1

10.用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的 A、B、C、D 四个小方格涂色(允许只用其中 几种) ,使邻区(有公共边的小格)不同色,则不同的涂色方式种数为( ).

A 、 24 ;

B 、 36 ;

C 、 72 ;

D 、 84 .

A

B

C

D

2

第 II 卷(非选择题) 评卷人 得分

二、填空题(本大题共 5 题,每 题 5 分,共计 25 分)

1 6 2 11.设 a=? ?0(sinx+cosx)dx ,则二项式(a x- x) 展开式中含 x 项的系数是 _ 12.经过点(3,0) ,离心率为

5 的双曲线的标准方程为 3



13.某城市纵向有 6 条道路,横向有 5 条道路,构成如图所示的矩形道路网(图中黑线 表示道路),则从西南角 A 地到东北角 B 地的最短路线共有 条. B 北 14.给出以下四个命题: ①已知命题 p : ?x ? R, tan x ? 2 ;命题 q : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 .则命题 p且q 是真命 题;
2



A

②命题“若 m ? 1 ,则 x ? 2 x ? m ? 0 有实根”的逆否命题; ③命题“面积相等的三角形全等”的否命题; ④命题 " x ? 1则x ? 1" 的逆命题.
2

其中正确命题的序号为___________. (把你认为正确的命题序号都填上) 15.如图,在边长为 60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线 折起,做成一个无盖的方底箱子,最大容积是 .

评卷人

得分 三、解答题(75 分)

16.(10 分) 已知:如图,设 P 为椭圆上的任意一点,过点 P 作椭圆的切线,交准线 m 于点 Z,此时 FZ⊥FP,过点 P 作 PZ 的垂线交椭圆的长轴于点 G,椭圆的离心率为 e,求 证:FG=e·FP

3

17. (本小题满分 12 分)已知 A, B 两地的距离是 120km.假设汽油的价格是 6 元/升, 以 x km/h(其中 30 ? x ? 100 )速度行驶时,汽车的耗油率为 (6 ?

x3 ) L/h,司机每 12000

小时的工资是 28 元.那么最经济的车速是多少?如不考虑其他费用,这次行车的总费 用是多少? 18. (本小题满分 13 分)已知函数
f ( x) = x x + m + n

,其中 m, n ? R .

(Ⅰ)判断函数 f ( x) 的奇偶性,并说明理由;
x ? [0, 1] (Ⅱ)设 n =-4,且 f ( x) < 0 对任意 恒成立,求 m 的取值范围.

19.本小题满分 10 分) 六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法? (1)甲不站两端; (2)甲、乙必须相邻; (3)甲、乙不相邻; (4)甲、乙按自左至右顺序排队(可以不相邻) ; (5)甲、乙站在两端. 20. (本小题满分 12 分)求抛物线 y ? 2 x 与直线 y ? 4 ? x 围成的平面图形的面积.
2

21. (6 分)2005 年某市的空气质量状况分布如下表: 污染指数 X P 30
1 10

60
1 6

100
1 3

110
7 30

130
2 15

140
1 30

其中 X ? 50 时,空气质量为优,50 ? X ? 100 时空气质量为良,100 ? X ? 150 时, 空气质量为轻微污染。 (1)求 E(X)的值; (2)求空气质量达到优或良的概率。 22. (本题满分 12 分)二次函数 f ( x) 的图像顶点为 A(1,16) ,且图象在 x 轴上截得线段 长为 8 . (1)求函数 f ( x) 的解析式;

4

(2)令 g ( x) ? (2 ? 2a) x ? f ( x) ①若函数 g ( x) 在 x ? [0, 2] 上是单调增函数,求实数 a 的取值范围; ②求函数 g ( x) 在 x ? [0, 2] 的最小值.

5

参考答案 1.C,3. 【解析】推理如下:因为只有一人猜对,而 C 与 D 互相否定,故 C、D 中一人猜对。假设 D 对,则推出 B 也对,与题设矛盾,故 D 猜错,所以猜对者一定是 C;于是 B 一定猜错,故获 奖者是 3 号选手(此时 A 错) . 2.A 【解析】 z ? (1 ? i)i =-1+i, 则 z 的虚部是 1。 3.B 【解析】略 4.C 【解析】 5.2:3: (-4) 【解析】本题考查空间向量的法向量. 由 A 0, 2, 19 , B 1, ?1, 5 , C ?2,1, 5 得 AB ? 1, ?3, ? 7 , AC ? ?2, ?1, ? 7

?

8? ?

8? ?

8?

??? ?

?

4?

????

?

4

?

? 1, ?3, ? 7 ? ? x, y, z ? ? 0 ? 4 ??? ? ? ???? ? 因为为平面的法向量,则有 AB ? a ? 0, AC ? a ? 0 ,即 ? ? ?2, ?1, ? 7 ? ? x, y, z ? ? 0 4 ?

? ?

?

?

?x ? 3y ? 7 z ? 0 ? 4 由向量的数量积的运算法则有 ? 解得 y ? ? 3 z, x ? ? 1 z ??2 x ? y ? 7 z ? 0 4 2 ? 4

所以 x : y : z ? ? 2 z : ? 3z : 4 z ? 2 : 3 : ? ?4 ? 故正确答案为 2 : 3 : ? ?4 ?

? 4? ? 4? ?4?

6.D 【解析】略 7.C 【解析】略 8.A 【解析】
r 8?r 由通式 C8 x (? 2 y)r ,令 r ? 2 ,则展开式中 x 6 y 2 项的系数是 C82 (? 2 )2 ? 56 .

9.B 【解析】 试 题 分 析 : 设 P ( x, x ? ln x) , 点
2

P

到 直 线

y = x - 2

的 距 离

1

d =

| x ? x 2 ? ln x ? 2 | 12 ? 12

=

| x 2 ? x ? ln x ? 2 | , 设 g ( x) = x 2 ? x ? ln x ? 2 ( x ? 0 ) ,所以 2

g ?( x) =

2 x 2 ? x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) = , 当 x <0 时,g ?( x ) <0, 当 x >0 时,g ?( x ) >0, 则 g ( x) x x

在 (0,1) 是减函数, 在 (1, +?) 上是增函数, 则当 x =1 时, g ( x) 取极小值也是最小值 g (1) =2, 此时 dmin = 2 ,故选 B. 考点:点到直线的距离公式,导数的综合运用 10. D
2 2 【解析】选两色有 C4 种,一色选择对角有 2 种选法,共计 2C4 ? 12 种; 3 1 选三色有 C4 种, 其中一色重复有 C3 种选法, 该色选择对角有 2 种选法, 另两色选位有 2 种,

共计 4 ? 3 ? 2 ? 2 ? 48 种;四色全用有 4! ? 24 种(因 A, B, C , D 为固定位置) ,合计 84 种. 11.-192 【解析】略 12.

y? x? - =1 ?? ?
5 y? x? 的双曲线的标准方程 ? - ? =1,那么 3 b a

【解析】解:因为设经过点(3,0) ,离心率为

可知 e=

5 y? x? ,且 a=3,因此 c=5,那么利用 a,b,c 关系得到其方程为 - =1 3 ?? ?

13.126 【解析】要使路线最短,只能向右或向上走,途中 不能向左走或向下走.因此,从 A 地到 B 地归结为 走完 5 条横线段和 4 条纵线段. 设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段,从 9 个 行走时段中任取 4 个时段走纵线段,其余 5 个时段走
4 横线段,共有 C9 ? 126 种走法,故从 A 地到 B 地的最短路线共有 126 条..

14.①②③ 【解析】 试题解析:①命题 p : ?x ? R, tan x ? 2 是真命题;命题 q : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 是假命题,
2
2 所以命题 p且q 是真命题所以①正确;②命题“若 m ? 1 ,则 x ? 2 x ? m ? 0 有实根”是真

命题,所以逆否命题也是真命题;③命题“面积相等的三角形全等”的否命题为“面积不相

2

等的三角形不全等”是真命题;④命题 " x ? 1则x ? 1" 的逆命题为 x 2 ? 1 则 x ? 1 是假命题.
2

考点:命题真假的判断. 3 15.16000cm 【解析】 试题分析:设箱底边长为 xcm,结合题意可得容积 V(x)= (60x ﹣x ) (0<x<60) .再用 导数工具研究 V(x)在区间(0,60)上的单调性,可知当 x=40 时 V(x)达到最大值.由 此得到本题答案. 解:设箱底边长为 xcm,则箱高 h=
2 2 3 2 3



∴箱子容积 V(x)=x h= (60x ﹣x ) (0<x<60) . 求导数,得 V′(x)=60x﹣ x , 令 V′(x)=60x﹣ x =0,解得 x=0(不合题意,舍去) ,x=40, ∵x∈(0,40)时,V′(x)>0;x∈(40,60)时,V′(x)<0 ∴V(x)在区间(0,40)上为增函数,区间(40,60)上为减函数 由此可得 V(x)的最大值是 V(40)=16000. 3 故答案为:16000cm . 点评:本题以一个实际问题为例,求铁箱的容积最大值.着重考查了函数模型及其应用和利 用导数研究函数的单调性、求最值等知识,属于中档题. 16.
2 2

【解析】略 17. 40km/h,288 【解析】设汽车以 x km/h 行驶时,行车的总费用为 y 元,则

y?

120 x3 120 (6 ? )?6 ? ? 28 , 30 ? x ? 100 . x 12000 x 3( x 3 ? 64000 ) .令 y ? ? 0 ,解得 x ? 40 . 25 x 2

?????4 分

y? ?

?????8 分

当 x ? [30,40) 时, y ? ? 0 ;当 x ? (40,100] 时, y ? ? 0 .

?????9 分

3

?最经济的车速为 40km/h,此时行车的总费用为 288 元.
18. (1)非奇非偶函数 (2) (-5,3)
2 2 f ( x) = x ? x 【解析】解: (I)若 m + n = 0, 即 m = n = 0 ,则 ,

?????10 分

∴ f (- x) = - f ( x) . 即 f ( x) 为奇函数.
2 2 若 m + n ? 0, 则 m 、 n 中至少有一个不为 0,

(2 分)

当 m? 0.



f (- m) = n, f (m) = n + 2m m ,

故 f (- m) 贡 f (m) .

当 n ? 0 时, f (0) = n ? 0,

\ f ( x) 不是奇函数,

f (n) = n + m + n ?n
f ( x)



f (- n) = n - m - n n

, 则 f (n) ? f ( n), \ f ( x) 不是偶函数. 故

既不是奇函数也不是偶函数.

2 2 综上知:当 m + n = 0 时, f ( x) 为奇函数;

2 2 f ( x) 当 m + n ? 0 时, 既不是奇函数也不是偶函数.

(5 分) (6 分)
- x4 4 < m< - x+ x x.

(Ⅱ)若 x = 0 时, m ? R, f ( x)
x ? (0, 1]

0

恒成立;
x+ m < 4 x.



时,原不等式可变形为



∴只需对 x ? (0, 1] ,满足

ì ? ? m < (- x + ? ? ? í ? ? m > (- x ? ? ? ?

4 )min x 4 )max x

① ② (8 分)

对①式, ∴

f1 ( x) = - x +

4 x 在(0,1 ] 上单调递减,
(10 分)

m < f1 (1) = 3

.

对②式,设

f 2 ( x) = - x -

- x2 + 4 4 f 2?( x) = >0 x2 x ,则 .(因为 0<x<1)

∴ f 2 ( x) 在 (0, 1] 上单调递增, ∴ m > f 2 (1) = - 5 . (12 分)
4

综上所知:m 的范围是(-5,3) 。 19.480,240,480,360

(13 分) 。

1 【解析】解:(1)方法一:要使甲不站在两端,可先让甲在中间 4 个位置上任选 1 个,有 A4 5 种站法,然后其余 5 人在另外 5 个位置上作全排列有 A5 种站法,根据分步计数原理,共有 1 5 ? A5 站 A4 =480(种). 2 方法二:由于不站两端,这两个位置只能从其余 5 个人中选 2 个人站,有 A5 种站法,然后 4 2 4 ? A4 中间 4 人有 A4 种站法,根据分步计数原理,共有站法 A5 =480(种). 6 5 方法三:若对甲没有限制条件共有 A6 种法,甲在两端共有 2 A5 种站法,从总数中减去这两 6 5 ? 2 A5 种情况的排列数,即得所求的站法数,共有 A6 =480(种). 5 (2)先把甲、乙作为一个“整体” ,看作一个人,有 A5 种站法,再把甲、乙进行全排列, 5 2 ? A2 有 A22 种站法,根椐分步计数原理,共有 A5 =240(种)站法.

(3)因为甲、乙不相邻,中间有隔档,可用“插空法” ,第一步先让甲、乙以外的 4 个人站
2 队,有 A 4 5 种,故共有 4 种;第二步再将甲、乙排在 4 人形成的 5 个空档(含两端)中,有 A

4 2 站法为 A4 . ? A5 ? 480 (种)

5 2 也可是用“间接法” ,6 个人全排列有 A66 种站法,由(2)知甲、乙相邻有 A5 ? A2 ? 240 种站

6 5 2 法,所以不相邻的站法有 A6 . ? A5 ? A2 ? 720 ? 240 ? 480 (种)

4 (4)先将甲、乙以外的 4 人从 6 个位置中挑选 4 个位置进行排列共有 A6 种,剩下的两个位

4 置,左边的就是甲,右边的就是乙,全部排完,故共有 A6 ? 360 种.
2 (5)方法一:首先考虑特殊元素,甲、乙先站两端,有 A2 种,再让其他 4 人在中间位置作全 4 4 排列,有 A4 种,根据分步计数原理,共有 A22 ? A4 =48(种).

方法二:首先考虑两端两个特殊位置,甲、乙去站有 A22 种站法,然后考虑中间 4 个位置,
4 4 由剩下的 4 人去站,有 A4 种站法,由分步计数原理共有 A22 ? A4 =48 种站法.

20.解: 由方程组 ?

? y 2 ? 2x ?y ? 4 ? x

解出抛物线和直线的交点为(2, 2)及(8, -4)?2 分

5

,2) (2 8

(8,-4)

解法 1:选 x 作为积分变量,由图可看出 S=A1+A2 在 A1 部分:由于抛物线的上半支方程为 y ? 2 x ,下半支方程为 y ? ? 2 x 所以??3 分

S A1 ? ? [ 2 x ? (? 2 x )]dx ? 2 2 ? x 2 dx
0 0

2

2

1

??????????????5 分

2 ? 2 2 ? x2 3
8 2

3

2 0

?

16 3

??????????????????????7 分

S A2 ? ? [4 ? x ? (? 2 x )]dx
1 2 2 2 ? (4 x ? x 2 ? x ) 2 3
于是: S ?
3 8 2

???????????????????9 分

?

28 ?????????????????11 分 3

16 38 ? ? 18 ????????????????????????12 分 3 3

解法二: 选 y 作积分变量,将曲线方程写为

x?

y2 及x ? 4? y 2
2

????????????????????????2 分

S??

?4

[(4 ? y) ?

y2 ]dy 2
2 ?4

??????????????????????6 分

y 2 y3 ? (4 y ? ? ) 2 6
? 30 ? 12 ? 18
【解析】略 21 . 解

???????????????????????10 分

???????????????????????12 分

: (

1



E ( X ) ? 94



2











P ? P( X ? 50) ? P(50 ? X ? 100 ) ?

1 1 1 3 ? ? ? 10 6 3 5

【解析】本试题主要是考查了分布列的性质和分布列求解数学期望值的运用。 ( 1 )中利用已知条件可知 X ? 50 时,空气质量为优, 50 ? X ? 100 时空气质量为良, 100 ? X ? 150 时,空气质量为轻微污染,分为三类,得到每类的概率值,结合期望公式得 到。

6



2





































P ? P( X ? 50) ? P(50 ? X ? 100 ) ?

1 1 1 3 ? ? ? 10 6 3 5

??4a ? 11 (a ? 2) ? 22. (1) f ( x) ? ? x ? 2x ? 15 ; (2)① {a | a ? 0} ,② g( x) min ??a 2 ? 15 (0 ? a ? 2) . ??15 (a ? 0) ?
2

【解析】 试题分析: (1)求二次函数的解析式可用待定系数法,关键是要建立关于系数 a , b, c 的三个 方程,这里依据条件不难得到,若运用二次函数的顶点式,则显得更方便; (2)二次函数的 单调性以对称轴为界,一边增,一边减,因此单调区间必须在对称轴的一侧; (3)二次函数 在给定区间上的最值的研究, 一定要掌握好分类讨论思想的运用, 即按对称轴与给定区间的 相对关系,分轴在区间的左、中、右三种情况进行讨论. 试题解析: (1)由条件设二次函数 f ( x) ? a( x ?1)2 ? 16 ? ax2 ? 2ax ? a ? 16 ( a ? 0 ) , 设设 f ( x) ? 0 的两根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,因为图象在 x 轴上截得线段长为 8 ,由韦达定理 得:

( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? (?2) 2 ? 4

a ? 16 ? 64 , 解得 a ? ?1 , 所以函数的解析式为: a

f ( x) ? ? x2 ? 2x ? 15 ;
(2) ①∵ f ( x) ? ? x ? 2x ? 15 , ∴ g( x) ? ( 2 2 ? )a x ? ( f) x
2

2 x ? 2?a x 1 5 ?

, 而函数 g ( x)

在 x ? [0, 2] 上是单调增函数,∴对称轴 x ? a 在 [0, 2] 的左侧,∴ a ? 0 .所以实数 a 的取值 范围是 {a | a ? 0} . ② g ( x) ? x ? 2ax ? 15 , x ? [0, 2] ,对称轴 x ? a ,
2

当 a ? 2 时, g ( x)min ? g (2) ? 4 ? 4a ?15 ? ?4a ?11 , 当 a ? 0 时, g ( x)min ? g (0) ? ?15 , 当 0 ? a ? 2 时, g ( x)min ? g (a) ? a2 ? 2a2 ?15 ? ?a2 ?15 .

??4a ? 11 (a ? 2) ? 综上所述: g( x) min ??a 2 ? 15 (0 ? a ? 2) . ??15 (a ? 0) ?
考点:二次函数的综合运用.

7



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