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高三文科数学立体几何平行垂直问题专题复习(含答案)


高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题
【基础知识点】 一、平行问题
1. 直线与平面平行的判定与性质 定义 图形 判定定理 性质 性质定理

条件

a∥α

结论

a∥α

b∥α

a∩α=

a∥b

2. 面面平行的判定与性质 判定 定义 图形 定理 性质

条件

α∥β,a?β α∥β α∥β

结论

a∥b

a∥α

平行问题的转化关系:

二、垂直问题
一、直线与平面垂直 1. 直线和平面垂直的定义: 直线 l 与平面 α 内的 2.直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言 一条直线与一个平面 判定定理 内的两条相交直线都 垂直,则该直线与此平 面垂直 如果在两条平行直线 推论 中,有一条垂直于平 面,那么另一条直线也 垂直这个平面 3.直线与平面垂直的性质定理
1

都垂直, 就说直线 l 与平面 α 互相垂直.

图形语言

符号语言

文字语言 性质定理 垂直于同一个平面的 两条直线平行

图形语言

符号语言

4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一条直线的两平面平行. 二、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 一个平面过另一个平 判定定理 面的垂线,则这两个平 面垂直 2.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直,则一个 性质定理 平面内垂直于交线的 直线垂直于另一个平 面 图形语言 符号语言 图形语言 符号语言

【典例探究】 类型一、平行与垂直
D AP 例 1、 如图, 已知三棱锥 A ? BPC 中, ? PC , AC ? BC , M 为 AB 中点, 为 PB 中点, 且△ PMB
为正三角形。 (Ⅰ)求证: DM ∥平面 APC ; (Ⅱ)求证:平面 ABC ? 平面 APC ; (Ⅲ)若 BC ? 4 , AB ? 20 ,求三棱锥 D ? BCM 的体积。
M A

P D B

C

2

例 2. 如图,已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 底面 ABC , AC ? BC ? 2 , AA ? 4 , AB ? 2 2 , 1

M , N 分别是棱 CC1 , AB 中点.
(Ⅰ)求证: CN ? 平面 ABB1 A ; 1 (Ⅱ)求证: CN // 平面 A M B; 1 (Ⅲ)求三棱锥 B1 ? AMN 的体积. A A1 M

C1

B1

C

N

B

【变式 1】. 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1 C 1 中,侧棱 AA1

? 平面 ABC , ?ABC 为等腰直角三角形,
C1 A1 E D B1

?BAC ? 90? ,且 AB ? AA1 , D, E , F 分别是 B1 A, CC 1 , BC 的中点。 (1)求证: DE / / 平面 ABC ; (2)求证: B1 F ? 平面 AEF ;
(3)设 AB ? a ,求三棱锥 D ? AEF 的体积。

F C A

B

3

二、线面平行与垂直的性质
例3、如图4,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , AB ∥ DC , △PAD 是等边三角 形,已知 BD ? 2 AD ? 4 , AB ? 2DC ? 2 5 . (1)求证: BD ? 平面 PAD ; (2)求三棱锥 A ? PCD 的体积.

例 4、如图,四棱锥 P—ABCD 中, PD ? 平面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,BC=PD=2,E 为 PC 的中 点, CG ?

1 CB. 3

(I)求证: PC ? BC ;

(II)求三棱锥 C—DEG 的体积;

(III)AD 边上是否存在一点 M,使得 PA // 平面 MEG。若存在,求 AM 的长;否则,说明理由。

4

【变式 2】直棱柱 ABCD-A1B1C1D1 底面 ABCD 是直角梯形,∠ BAD=∠ ADC=90° ,AB=2AD=2CD=2. ? 平面 BB1C1C;(Ⅱ A1B1 上是否存一点 P,使得 DP 与平面 BCB1 与平面 ACB1 都平行? (Ⅰ )求证:AC ) 证明你的结论.

三、三视图与折叠问题
例 5、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图。 若 F 为 PD 的中点,求证: AF ? 面 PCD ; (1) 证明: BD ∥面 PEC ; (2) 求三棱锥 E ? PBC 的体积。 4

2 2 4 正视图 4 侧视图

4 4 俯视图 P

E

B C

A

D

5

例 6.已知四边形 ABCD 是等腰梯形,AB ? 3, DC ? 1, ?BAD ? 45?, DE ? AB(如图 1) 现将 ? ADE 。
沿 DE 折起,使得 AE ? EB (如图 2) ,连结 AC, AB 。 (I)求证:平面 ADE ? 平面 ACD ; (II)试在棱 AB 上确定一点 M ,使截面 EMC 把几何体分成两部分的体积比 VADCME : VMECB ? 2 : 1 ; (III)在点 M 满足(II)的情况下,判断直线 AD 是否平行于平面 EMC ,并说明理由。

A A D
图1

E

B E

M B

C

D

C
图2

【变式 3】一个四棱锥的直观图和三视图如下图所示,E 为 PD 中点. (I)求证:PB//平面 AEC; (II)求四棱锥 C ? PAB 的体积; (Ⅲ)若 F 为侧棱 PA 上一点,且

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PA ? 平面 BDF.

PF ? ? ,则 ? 为何值时, FA

P

E

D C A

6

B

【变式 4】如图 1 所示,正 ?ABC 的边长为 2a,CD 是 AB 边上的高,E,F 分别是 AC,BC 的中点。现 将 ?ABC 沿 CD 翻折,使翻折后平面 ACD ? 平面 BCD(如图 2) (1)试判断翻折后直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (2)求三棱锥 C-DEF 的体积。
A E C

A E D B F 图(2) C

D F B 图(1)

四、立体几何中的最值问题 例 7.图 4,A1A 是圆柱的母线,AB 是圆柱底面圆的直径, C 是底面圆周上异于 A,B 的任意一点,A1A= AB=2. (1)求证: BC⊥ 平面 A1AC; (2)求三棱锥 A1-ABC 的体积的最大值.

A1

A C 图4

B

7

例 8. 如图,在 ?ABC中,?B =

?
2

,AB ? BC ? 2, P 为AB 边上一动点,PD//BC 交 AC 于 点 D,现

将 ?PDA沿PD翻折至?PDA' , 使平面PDA' ? 平面PBCD. (1)当棱锥 A' ? PBCD 的体积最大时,求 PA 的长; (2)若点 P 为 AB 的中点,E 为 AC的中点,求证:A B ? DE.
' '

【变式 5】如图 3,已知在 ?B 中, ? 9, P ? AC C 0 A 平面 ABC, A P于 E, A? 于 F, ?? EB ? FP C

AA , ? F ? ? 变化时,求三棱锥 PA 体积的最大值。 PB ? ? A ? ,当 2 E ?E F

8

高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题(答案) 【典例探究】 例 1 解: (Ⅰ)∵ M 为AB中点,D为PB中点, ∴ MD ∥ AP ,又∴ MD ? 平面APC ∴ DM ∥ 平面APC (Ⅱ) ∵△ PMB 为正三角形,且 D 为 PB 中点, MD ? PB ∴ 又由(1)∴知 MD ? AP, ∴ AP ? PB 又已知 AP ? PC ∴ AP ? 平面PBC , ∴ AP ? BC ,又∵ AC ? BC ∴ BC ? 平面APC ,∴平面 ABC ? 平面 PAC , (Ⅲ)∵ AB ? 20 ,∴ MB ? 10 ,∴ PB ? 10 又 BC ? 4 , PC ? 100 ?16 ? 84 ? 2 21
1 1 1 S?PBC ? PC ? BC ? ? 4 ? 2 21 ? 2 21 2 4 4 1 1 又MD ? AP ? 202 ? 102 ? 5 3 2 2 1 1 ∴ VD ? BCM ? VM ? BCD ? S?BDC ? DM ? ? 2 21 ? 5 3 ? 10 7 3 3
P D B M A

C

∴ S?BDC ?

例 2.(Ⅰ)证明:因为三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 底面 ABC 又因为 CN ? 平面 ABC , 所以 AA1 ? CN . ……………………… 1 分

因为 AC ? BC ? 2 , N 是 AB 中点, C 所以 CN ? AB . ………………………………………… 2 分1 因为 AA1 I AB ? A , 所以 CN ? 平面 ABB1 A1 . ……………………………………………
A1

3分
M B1

…………………………………………… 4 分
C G

(Ⅱ)证明:取 AB1 的中点 G ,连结 MG , NG , 因为 N , G 分别是棱 AB , AB1 中点, 所以 NG // BB1 , NG ?
1 BB1 . 2
9

A

N

B

1 BB1 , 2 所以 CM // NG , CM ? NG . 所以四边形 CNGM 是平行四边形. ………………………………………… 6 分 所以 CN // MG . …………………………………………………………… 7 分

又因为 CM // BB1 , CM ?

因为 CN ? 平面 AMB1 , GM ? 平面 AMB1 , 所以 CN// 平面 AMB1 .

…………………………… 8 分

……………………………………………………… 9 分 …………………………………………… 10 分 ………………………… 13 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 GM ? 平面 AB1 N .

1 1 2 4 所以 VB1 ? AMN ? VM ? AB1N ? ? ? ? 4? 2 ? . 3 2 2 3

变式 1.(1)根据中点寻找平行线即可; (2)易证 AF ? B1F ,在根据勾股定理的逆定理证明 (3) 故点 D 到平面 AEF 的距离是点 B1 到平面 AEF 距 B1F ? EF ; 由于点 D 是线段 AB1 的中点, 1 离的 ,求出高按照三棱锥的体积公式计算即可。 2 【解析】 (1)取 AB 中点 O ,连接 CO, DO 1 ? DO // AA1 , DO ? AA1 ,? DO // CE , DO ? CE ,? 平 行 四 边 形 2 DOCE , DE // CO, DE ? 平面 ABC ,CO ? 平面 ABC , DE // 平 ? ? 面 ABC 。 (4 分) (2)等腰直角三角形 ?ABC 中 F 为斜边的中点,? AF ? BC 又? 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,? 面 ABC ? 面 BB1C1C , ? AF ? 面 C1 B ,? AF ? B1F
6 3 3 , EF ? , B1 E ? ,? B1F 2 ? EF 2 ? B1 E 2 ,? B1F ? EF 2 2 2 AEF 。 (8 分) 又 AF ? EF ? F , ? B1 F ? 面

设 AB ? AA1 ? 1,? B1F ?

(3)由于点 D 是线段 AB1 的中点,故点 D 到平面 AEF 的距离是点 B1 到平面 AEF 距离的
2 2

1 。 2

? 2 ? 6 6 , 所 以 三 棱 锥 D ? AEF 的 高 为 a ; 在 Rt?AEF 中 , B1F ? a ? ? ? 2 a? ? 2 a ? 4 ? ?
3 2 6 2 a, AF ? a ,所以三棱锥 D ? AEF 的底面面积为 a ,故三棱锥 D ? AEF 的体积 2 2 8 1 6 2 6 1 a ? a ? a3 。 为 ? (12 分) 3 8 4 16 EF ?

10

二、线面平行与垂直的性质 例3.(1)证明:在 △ ABD 中,由于 AD ? 2 , BD ? 4 , AB ? 2 5 ,
2 2 2 ∴ AD ? BD ? AB .

…… 2分

∴ AD ? BD . 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , BD ? 平面 ABCD , ∴ BD ? 平面 PAD . (2)解:过 P 作 PO ? AD 交 AD 于 O . 又平面 PAD ? 平面 ABCD , ∴ PO ? 平面 ABCD . …… 6分 …… 4分

∵ △PAD 是边长为2的等边三角形, ∴ PO ? 3 . 由(1)知, AD ? BD ,在 Rt△ ABD 中,

P

斜边 AB 边上的高为 ∵ AB ∥ DC ,∴

h?

AD ? BD 4 5 ? AB 5 .

…… 8分

D O A

C

B

1 1 4 5 S△ ACD ? CD ? h ? ? 5 ? ?2 2 2 5 . …… 10分 1 1 2 3 VA? PCD ? VP ? ACD ? S△ ACD ? PO ? ? 2 ? 3 ? 3 3 3 . ∴

…… 14分

例 4、 (I)证明:? PD ? 平面 ABCD,? PD ? BC 又∵ABCD 是正方形,∴BC⊥CD, ∵PDICE=D, ∴BC⊥平面 PCD 又∵PC ? 面 PBC,∴PC⊥BC (II)解:∵BC⊥平面 PCD,∴GC 是三棱锥 G—DEC 的高。 1 1 1 1 ∵E 是 PC 的中点,? S ?EDC ? S ?EDC ? S ?PDC ? ? ( ? 2 ? 2) ? 1 2 2 2 2 1 1 2 2 ?VC ? DEG ? VG ? DEC ? GC ? S ?DEC ? ? ? 1 ? 3 3 3 9 (III)连结 AC,取 A C 中点 O,连结 EO、GO,延长 GO 交 AD 于点 M,则 PA//平面 MEG。 下面证明之 ∵E 为 PC 的中点,O 是 AC 的中点,∴EO//平面 PA,
11

又? EO ? 平面MEG, PA ? 平面MEG ,∴PA//平面 MEG 在正方形 ABCD 中,∵O 是 AC 中点,? ?OCG ≌ ?OAM 2 2 ? AM ? CG ? , ∴所求 AM 的长为 . 3 3

变式 2.证明:(Ⅰ)直棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,BB1⊥平面 ABCD,∴BB1⊥AC. 又∵∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2, ∴AC= 2 ,∠CAB=45°,∴BC= 2 ,∴BC⊥AC. 又 BB1 ∩BC=B,BB1 ,BC ? 平面 BB1C1C,∴AC⊥平面 BB1C1C. (Ⅱ)存在点 P,P 为 A1B1 的中点。
1 证明:由 P 为 A1B1 的中点,有 PB1∥AB,且 PB1= AB. 2 1 又∵DC∥AB,DC= AB,∴DC∥PB1,且 DC=PB1, 2

∴DCB1P 为平行四边形,从而 CB1∥DP.又 CB1∥ ? ACB1,DP ? 面 ACB1,∴DP∥面 ACB1. 同理,DP∥面 BCB1.

例 5、
P 4 E 正视图

2 4 2 4 侧视图

B C

A

4 4 俯视图

D

(1)由几何体的三视图可知,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形, PA ? 面 ABCD , PA ∥ EB , PA ? 2 EB ? 4.
? PA ? AD, F 为 PD 中点,? PD ? AF .

又? CD ? DA, CD ? PA, ? CD ? AF , AF ? 面 PCD 。 (2)取 PC 的中点 M , AC 与 BD 的交点为 N ,? MN ?
12

1 PA, MN ∥ PA , 2

? MN ? EB, MN ∥ EB ,故 BEMN 为平行四边形,
? EM ∥ BN ,? BD ∥面 PEC 。 1 1 16 (3) VE ? PBC ? VC ? PBE ? ?( ?BE ?AB)?BC ? 3 2 3

例 6.答案略

变式 3.解: (1)由三视图得,四棱锥底面 ABCD 为菱形, 棱锥的高为 3,设 AC ? BD ? O ,则 PO 即是棱锥 的高,底面边长是 2,连接 OE ,? E , O 分别 是 DP, DB 的中点,? OE ∥ BP ,

?OE ? 面AEC, BP ? 面AEC ? PB ∥ 面AEC
1 1 ?1 1 ? (2) V三棱锥C-PAB ? V三棱锥P-ABC ? V四棱锥P-ABCD ? ? ? ? ( ? 2 ? 2 3) ? 3? ? 3 2 2 ?3 2 ?

(3)过 O 作 OF ? PA, 在Rt? POA中, PO ? 3, AO ? 3, PA ? 2 3 ? AF ?
? PF : FA ? 3时即? =3时, OF ? PA, ? PO ? BD, AC ? BD, PO ? AC ? O ? BD ? 面PAC

3 ----10 分 2

---------------12 分

? BD ? PA,由OF ? PA且BD ? OF ? O ? PA ? 面BDF ---------------14 分

变式 4.解: (1)判断:AB//平面 DEF………………………………………………..2 分 证明: A 因在 ?ABC 中,E,F 分别是 A AC,BC 的中点,有 E EF//AB………………..5 分 E 又因 C AB ? 平面 DEF, D C D EF ? 平面 DEF…………..6 M 分 F F B 所以 B AB// 平 面 图(2) 图(1) DEF……………..7 分

13

(2)过点 E 作 EM ? DC 于点 M, 面 ACD ? 面 BCD,面 ACD ? 面 BCD=CD,而 EM ? 面 ACD 故 EM ? 平面 BCD 于是 EM 是三棱锥 E-CDF 的高……………………………..9 分
1 1 1 1 3 2 2 2 又 ? CDF 的面积为 S?CDF ? 2 S ?BCD ? 2 ? 2 CD ? BD ? 4 (2a ) ? a ? a ? 4 a
1 1 AD ? a ……………………………………………………………………11 分 2 2 故三棱锥 C-DEF 的体积为

EM=

1 1 3 2 1 3 3 VC ? DEF ? VE ?CDF ? ? S?CDF ? EM ? ? a ? a? a ........................14分 3 3 4 2 24

四、立体几何中的最值问题 例 7.证明:∵C 是底面圆周上异于 A,B 的任意一点, AB 是圆柱底面圆的直径,∴BC⊥AC, ∵AA1⊥平面 ABC,BC? 平面 ABC, ∴AA1⊥BC, ……4 分 ∵AA1∩AC=A,AA1? 平面 AA1 C,AC? 平面 AA1 C, ∴BC⊥平面 AA1C. ……6 分 (2)解法 1:设 AC=x,在 Rt△ABC 中,

……2 分
A1

A

B C 图4

BC = AB ? AC ? 4 ? x (0<x<2) ,
2 2 2

……7 分

1 1 1 1 故 VA1 -ABC = S? ABC ? AA1 ? ? ? AC ? BC ? AA1 ? x 4 ? x 2 (0<x<2), 3 3 2 3 ……9 分 1 1 2 1 x (4 ? x 2 ) ? ?(x 2 ? 2) 2 ? 4 . ……11 分 即 VA1 -ABC = x 4 ? x 2 ? 3 3 3

∵0<x<2,0<x2<4,∴当 x2=2,即 x = 2 时,
2 . 3 解法 2: 在 Rt△ABC 中,AC2+BC2=AB2=4, 1 1 1 VA1 -ABC = S? ABC ? AA1 ? ? ? AC ? BC ? AA1 3 3 2

三棱锥 A1-ABC 的体积的最大值为

……14 分 ……7 分 ……9 分 ……11 分

1 1 AC2 ? BC2 1 AB2 2 ? AC ? BC ? ? ? ? ? . 3 3 2 3 2 3

当且仅当 AC=BC 时等号成立,此时 AC=BC= 2 .
14

例 8.解: (1)设 PA ? x ,则 VA?-PBCD

1 1 x2 ? PA? S 底面PDCB ? x(2 ? ) 3 3 x

1 x2 2 x x3 令 f ( x) ? x( 2 ? ) ? ? , ( x ? 0) 3 2 3 6

则 f ?( x) ?

2 x2 ? 3 2

x
f ?(x ) f (x)

(0,

2 3 ) 3

2 3 3
0

(

2 3 ,??) 3
?

?
单调递增

极大值

单调递减

由上表易知:当 PA ? x ?

2 3 时,有 VA?-PBCD 取最大值。 3

证明: (2)作 A?B 得中点 F,连接 EF、FP 1 由已知得: EF // BC //PD ? ED // FP 2 ?A?PB 为等腰直角三角形, A?B ? PF 所以 A?B ? DE . 变式 6. 解:因为 P ? A 平面 ABC
B? C 平面 ABC,

所以 P C AB ?

CP C ? ?A A A , C 又因为 B ,A ?
所以 B ? C 平面 PAC, 又A? F 平面 PAC, 所以 B? , CF A

F,C ? ? ?C P P C 又 AC B ,
F 平面 PBC,即 A F FE。 ? 所以 A ?
EF 是 AE 在平面 PBC 上的射影,

EB ? 因为 A P,

15

所以 E B FP, ? 即 P? E 平面 AEF。 在三棱锥 PA 中, ?E F

AA ,E , PBAB ?? ? 2 P
所以 P 2 E 2 E , ? , ? A
A ? 2sin?, E ? 2co ? F F s, 1 V ?AEF ? S?AEF ? P E P 3 1 1 ? ? ? 2sin?? 2co ? ? 2 s 3 2
? 2 sin2? 6

因为 0 ?? ?

?
2



? , ? 2 ? s i 21 所以 0 ?0 n
2 ? 时, V ?AEF 取得最大值为 。 P 6 4

? ?

?

因此,当 ? ?

16



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