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2013届高考数学第一轮复习精品学案第9讲:空间几何体的表面积和体积


2013 年普通高考数学科一轮复习精品学案
第 9 讲 空间几何体的表面积和体积
一.课标要求
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式) 。

二.命题走向
近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题,也有已知面积或体 积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题,也常以几 何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会 运用等价转化思想,会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题,会等体积转化求解 问题,会把立体问题转化为平面问题求解,会运用―割补法‖等求解。 由于本讲公式多反映在考题上,预测 2013 年高考有以下特色: (1)用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式; (2)考题可能为:与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题;与多面体和旋转体 中某些元素有关的计算问题;

三.要点精讲
1.多面体的面积和体积公式 名称 棱 柱 棱柱 直棱柱 棱锥 正棱锥 棱台 棱 台 正棱台 侧面积(S 侧) 直截面周长× l 全面积(S 全) 体 积(V)

S 底· 直截面· h=S h S 侧+2S 底 S 底· h S 侧+S 底 S 侧+S 上底+S 下


ch 各侧面积之和
1 2

棱 锥

1 3

ch′

S 底· h

各侧面面积之和
1 2

1 3

h(S 上底+S 下底
S 下底 ? S 下底

(c+c′)h′

+

)

表中 S 表示面积,c′、c 分别表示上、下底面周长,h 表斜高,h′表示斜高,l 表示侧棱长。 2.旋转体的面积和体积公式 名称 圆柱 2πrl 2πr(l+r) πr2h(即 πr2l) 圆锥 πrl πr(l+r)
1 3

圆台 π(r1+r2)l π(r1+r2)l+π(r21+r22)
1 3



S侧 S全
V

4πR2
4 3

πr2h

πh(r21+r1r2+r22)

πR3

表中 l、h 分别表示母线、高,r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r1、r2 分别表示圆台 上、 下底面半径,R 表示半径。

-1-

四.典例解析
题型 1:柱体的体积和表面积 例 1.一个长方体全面积是 20cm2,所有棱长的和是 24cm,求长方体的对角线长. 解:设长方体的长、宽、高、对角线长分别为 xcm、ycm、zcm、lcm 依题意得: ?
? 2 ( xy ? yz ? zx ) ? 20 ? 4 ( x ? y ? z ) ? 24
(1) (2)

由(2)2 得:x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36(3) 由(3)-(1)得 x2+y2+z2=16 即 l2=16 所以 l=4(cm)。 点评:涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主,而直棱柱中又以正方体、长方体的表 面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素(对角线、内切)与面积、 体积之间的关系。 例 2.如图 1 所示,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB=5,AD=4,AA1=3, ? AB⊥AD,∠A1AB=∠A1AD= 。
3

(1)求证:顶点 A1 在底面 ABCD 上的射影 O 在∠BAD 的平分线上; (2)求这个平行六面体的体积。

图1 图2 解析: 如图 2, (1) 连结 A1O, A1O⊥底面 ABCD。 OM⊥AB 交 AB 于 M, ON⊥AD 则 作 作 交 AD 于 N,连结 A1M,A1N。由三垂线定得得 A1M⊥AB,A1N⊥AD。∵∠A1AM=∠A1AN, ∴Rt△ A1NA≌Rt△ A1MA,∴A1M=A1N, 从而 OM=ON。 ∴点 O 在∠BAD 的平分线上。 1 3 ? (2)∵AM=AA1cos =3× =
3
2 2

∴AO=

AM cos

?
4

=

3 2

2。

又在 Rt△ AOA1 中,A1O2=AA12 – AO2=9-
3 2 2

9 2

=

9 2


3 2 2

∴A1O=

,平行六面体的体积为 V ? 5 ? 4 ?

? 30

2。

题型 2:柱体的表面积、体积综合问题

-2-

例 3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 , 3 , 6 ,这个长方体对角线的长是 ( ) B.3
2

A.2 3

C.6

D. 6
2 ,c= 3 ,则对角线 l 的长为

解析:设长方体共一顶点的三边长分别为 a=1,b= l= a ? b ? c
2 2 2

?

6 ;答案 D。

点评:解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。 例 4.如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 E、F 分别为 AB、AC 的中点,平面 EB1C1 将 三棱柱分成体积为 V1、V2 的两部分,那么 V1∶V2= ____ _。 解:设三棱柱的高为 h,上下底的面积为 S,体积为 V,则 V=V1+V2=Sh。 ∵E、F 分别为 AB、AC 的中点, ∴S△ AEF=
1 3

1 4

S,
1 4

V1=

h(S+

S+ S ?

1 4

)=

7 12

Sh

V2=Sh-V1=

5 12

Sh,

∴V1∶V2=7∶5。 点评:解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系,建立起求解体积的几何元素之间的对应 关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。 题型 3:锥体的体积和表面积 例 5.在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 P ? 的菱形,∠DAB=60 ,对角线 AC 与 BD 相交于点 O, PO⊥平面 ABCD, 与平面 ABCD 所成的角为 PB 60 ,求四棱锥 P-ABCD 的体积? 解: (1)在四棱锥 P-ABCD 中,由 PO⊥平面 ABCD,得∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角, ∠PBO=60° 。 在 Rt△ AOB 中 BO=ABsin30° 由 PO⊥BO, =1, A B
?

E O

D C

于是 PO=BOtan60° 3 ,而底面菱形的面积为 2 3 。 = ∴四棱锥 P-ABCD 的体积 V=
1 3

× 3 × 3 =2。 2

点评:本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力 方面主要考查空间想象能力。 例 6.在三棱锥 S—ABC 中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90° ,且 AC=BC=5,SB=5 5 。 (如 图所示)

-3-

(Ⅰ)证明:SC⊥BC; (Ⅱ)求侧面 SBC 与底面 ABC 所成二面角的大小; (Ⅲ)求三棱锥的体积 VS-ABC。 解析: (Ⅰ)证明:∵∠SAB=∠SAC=90° , ∴SA⊥AB,SA⊥AC。 又 AB∩AC=A, ∴SA⊥平面 ABC。 由于∠ACB=90° ,即 BC⊥AC,由三垂线定理,得 SC⊥BC。 (Ⅱ)解:∵BC⊥AC,SC⊥BC。 ∴∠SCA 是侧面 SCB 与底面 ABC 所成二面角的平面角。 在 Rt△ SCB 中,BC=5,SB=5 5 ,得 SC= 在 Rt△ SAC 中 AC=5,SC=10,cosSCA=
AC SC

SB
?

2

? BC
? 1 2

2

=10。

5 10



∴∠SCA=60° ,即侧面 SBC 与底面 ABC 所成的二面角的大小为 60° 。 (Ⅲ)解:在 Rt△ SAC 中, ∵SA= SC
1 2
2

? AC

2

?

10

2

?5

2

?

75 ,

S△ ABC=

· BC= AC·

1 2

× 5= 5×

25 2



∴VS-ABC=

1 3

·△ ACB· S SA=

1 3

?

25 2

?

75 ?

125 6

3



点评:本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必须具备一定的 洞察力,并进行一定的逻辑推理。 题型 4:锥体体积、表面积综合问题 例 7. ABCD 是边长为 4 的正方形, F 分别是 AB、 的中点, 垂直于正方形 ABCD E、 AD GB 所在的平面,且 GC=2,求点 B 到平面 EFC 的距离? 解:如图,取 EF 的中点 O,连接 GB、GO、CD、FB 构造三棱锥 B-EFG。

设点 B 到平面 EFG 的距离为 h,BD= 4 2 ,EF ? 2 2 ,CO=
G C G ( 2 2 14 2 O O C 3 ?? ? ? ? ? ) 8? 。 2
2 2 2 2

3 4

×4 2 ? 3 2 。

而 GC⊥平面 ABCD,且 GC=2。

-4-

由 V F ? GEB V F ,得 BEG ? ?

1 6

EF· GO· h ?

1 3

S △ EFB ·

点评:该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点 B 为顶点,△ EFG 为底面的三棱锥是解此题的关键,利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程 是解这类题的方法,从而简化了运算。 A 例 8.如图,在四面体 ABCD 中,截面 AEF 经过 四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心 O, 且与 BC,DC 分别截于 E、F,如果截面将四面体 O D 分成体积相等的两部分, 设四棱锥 A-BEFD 与三 F 棱锥 A-EFC 的表面积分别是 S1, 2, S 则必有 ( ) A.S1?S2 B.S1?S2 B E C.S1=S2 D.S1,S2 的大小关系不能确 C 定 解:连 OA、OB、OC、OD, 则 VA-BEFD=VO-ABD+VO-ABE+VO-BEFD VA-EFC=VO-ADC+VO-AEC+VO-EFC 又 VA-BEFD=VA-EFC, 而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,故 SABD+SABE+SBEFD=SADC+SAEC+ SEFC 又面 AEF 公共,故选 C 点评:该题通过复合平面图形的分割过程,增加了题目处理的难度,求解棱锥的体积、 表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。 题型 5:棱台的体积、面积及其综合问题 例 9.如图 9—24,在多面体 ABCD—A1B1C1D1 中,上、下底面平行且均为矩形,相对的 侧面与同一底面所成的二面角大小相等,侧棱延长后相交于 E,F 两点,上、下底面矩形的长、 宽分别为 c,d 与 a,b,且 a>c,b>d,两底面间的距离为 h。 (Ⅰ)求侧面 ABB1A1 与底面 ABCD 所成二面角的大小; (Ⅱ)证明:EF∥面 ABCD; (Ⅲ)在估测该多面体的体积时,经常运用近似公式 V 估=S 中截面· 来计算.已知它的体积公 h 式是 V=
h 6

(S 上底面+4S 中截面+S 下底面) ,试判断 V 估与 V 的大小关系,并加以证明。

(注:与两个底面平行,且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面) (Ⅰ)解:过 B1C1 作底面 ABCD 的垂直平面,交底面于 PQ, 作 B1G⊥PQ,垂足为 G。 如图所示:∵平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1,∠A1B1C1=90° , ∴AB⊥PQ,AB⊥B1P. ∴∠B1PG 为所求二面角的平面角.过 C1 作 C1H⊥PQ, 垂足为 于相对侧面与底面所成二面角的大小相等, 故四边形 B1PQC1 为等 图 形。 ∴PG=
1 2

过 B1

H. 由 腰梯

(b-d) ,又 B1G=h,∴tanB1PG=

2h b?d

(b>d) ,

∴∠B1PG=arctan

2h b?d

,即所求二面角的大小为 arctan

2h b?d

.

-5-

(Ⅱ)证明:∵AB,CD 是矩形 ABCD 的一组对边,有 AB∥CD, 又 CD 是面 ABCD 与面 CDEF 的交线, ∴AB∥面 CDEF。 ∵EF 是面 ABFE 与面 CDEF 的交线, ∴AB∥EF。 ∵AB 是平面 ABCD 内的一条直线,EF 在平面 ABCD 外, ∴EF∥面 ABCD。 (Ⅲ)V 估<V。 证明:∵a>c,b>d, ∴V-V 估=
h 6
h 12 h 12

( cd ? ab ? 4 ?

a?c b?d a?c b?d ? )? ? h 2 2 2 2

=

[2cd+2ab+2(a+c) (b+d)-3(a+c) (b+d) ]

=

(a-c) (b-d)>0。

∴V 估<V。 点评:该题背景较新颖,把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则 几何体(拟柱体)中,能考查考生的应变能力和适应能力,而第三步研究拟柱体的近似计算 公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题,是极具实际意义的问题。考查了 考生继续学习的潜能。 例 10. (1)如果棱台的两底面积分别是 S、S′,中截面的面积是 S0,那么( ) A. 2 S 0 ?
S ? S?

B. S 0 ?

S ?S

C.2S0=S+S′ D.S02=2S′S )

(2)已知正六棱台的上、下底面边长分别为 2 和 4,高为 2,则其体积为( A.32 3 B.28 3 C.24 3 D.20 3

解析: (1)解析:设该棱台为正棱台来解即可,答案为 A; (2)正六棱台上下底面面积分别为:S 上=6· = h(S 上 ?
3 1 S 上 ? S 下 ? S 下 ) ? 28
3 4

·2=6 3 ,S 下=6· 2

3 4

·2=24 3 ,V 台 4

3 ,答案 B。

点评:本题考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用―特例法‖来解,此种解法 在解选择题时很普遍,如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。 题型 6:圆柱的体积、表面积及其综合问题 例 11. 一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形, 这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( ) A.
1 ? 2? 2?

B.

1 ? 4? 4?

C.

1 ? 2?

?

D.

1 ? 4? 2?

解析:设圆柱的底面半径为 r,高为 h,则由题设知 h=2πr. ∴S 全=2πr2+(2πr)2=2πr2(1+2π).S 侧=h2=4π2r2,

-6-



S全 S侧

?

1 ? 2? 2?

。答案为 A。

点评:本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识。 例 12.如图 9—9,一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为 r 的实心铁球,水面高度恰好升高 r,则
R r

=



解析:水面高度升高 r,则圆柱体积增加 πR2· r。恰好是半径为 r 的实心铁球的体积,因此 有
4 3

πr3=πR2r。故

R r

?

2 3 3

。答案为

2 3 3



点评:本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。 题型 7:圆锥的体积、表面积及综合问题 例 13. (1)在△ ABC 中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120° (如图所示) , 若将△ ABC 绕直线 BC 旋转一周,则所形成的旋转体的体积是( ) A.
9 2

π

B.

7 2

π

C.

5 2

π

D.

3 2

π

(2)若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 3 ,则这个圆锥的全 面积是( A.3π ) B.3 3 π C.6π D.9π

解析: (1)如图所示,该旋转体的体积为圆锥 C—ADE 与圆锥 B—ADE 体积之差,又∵求得 AB=1。 1 5 1 3? ∴ V ? V C ? ADE ? V B ? ADE ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? 3 ? 1 ? ,答案 D。
3 2 3 2

(2)∵S=

1 2

absinθ,∴

1 2

a2sin60° = 3,

∴a2=4,a=2,a=2r, ∴r=1,S 全=2πr+πr2=2π+π=3π,答案 A。 点评:通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是 空间想象力深化的标志,是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。 例 14.如图所示,OA 是圆锥底面中心 O 到母线的垂线,OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆 锥分成相等的两部分,则母线与轴的夹角的余弦值为( )

-7-

A.

1
3

B.

1 2

C.

1 2

D.

1
4

2

2

解析:如图所示,由题意知,

1 3

πr2h=

1 6

πR2h,

∴r=

R 2



又△ ABO∽△CAO,



r OA

?

OA R

,∴OA2=r· R=

R

2

, OA ? 2

R
4



2

∴cosθ=

OA R

?

1
4

,答案为 D。

2

点评:本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。 题型 8:球的体积、表面积 例 15 . 已 知 过 球 面 上 A , B , C 三 点 的 截 面 和 球 心 的 距 离 为 球 半 径 的 一 半 , 且
A B ? B C ? C A ? 2 ,求球的表面积。

解:设截面圆心为 O ? ,连结 O ?A ,设球半径为 R , 则 O ?A ?
2 3 ? 3 2
2

?2?

2 3 3



在 R t ? O ?O A 中, O A ? O ?A ? O ?O ,
2 2

∴R ? (
2

2 3 3

) ?
2

1 4

R ,

2

∴R ?

4 3


2

∴ S ? 4? R ?

64 9

? 。

点评: 正确应用球的表面积公式,建立平面圆与球的半径之间的关系。 例 16.如图所示,球面上有四个点 P、A、B、C,如果 PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=a,求这个球的表面积。

解析:如图,设过 A、B、C 三点的球的截面圆半径为 r,圆心为 O′,球心到该圆面的距 离为 d。

-8-

在三棱锥 P—ABC 中,∵PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=a, ∴AB=BC=CA= 2 a,且 P 在△ ABC 内的射影即是△ ABC 的中心 O′。
2a sin 60 ?

由正弦定理,得

=2r,∴r=

6 3

a。

又根据球的截面的性质,有 OO′⊥平面 ABC,而 PO′⊥平面 ABC, ∴P、O、O′共线,球的半径 R= r ? d
2 2

。又 PO′= PA

2

?r

2

= a ?
2

2 3

a

2

=

3 3

a,

∴OO′=R -

3 3

a=d= R ? r
2

2

,(R-

3 3

a)2=R2 – (

6 3

a)2,解得 R=

3 2

a,

∴S 球=4πR2=3πa2。 点评:本题也可用补形法求解。将 P—ABC 补成一个正方体,由对称性可知,正方体内 接于球,则球的直径就是正方体的对角线,易得球半径 R= 题型 9:球的面积、体积综合问题 例 17.如图,正四棱锥 P ? A B C D 底面的四个顶点 A , B , C , D 在球 O 的同一个大圆上, 点 P 在球面上,如果 V P ? A B C D ? A. 4 ? B. 8?
16 3
3 2

a,下略。

,则球 O 的表面积是( D. 16 ?



C. 12 ?

(2)半球内有一个内接正方体,正方体的一个面在半球的底面圆内,若正方体棱长为 6 , 求球的表面积和体积。 解析: (1)如图,正四棱锥 P ? A B C D 底面的四个顶点
A , B , C , D 在球 O 的同一个大圆上,点 P 在球面上,PO⊥底面

ABCD , PO=R , S A B C D ? 2 R
1 3 ?2R ? R ?
2

2

, V P ? ABCD ?

16 3

, 所 以

1 6 3

,R=2,球 O 的表面积是 16 ? ,选 D。

(2)作轴截面如图所示,

-9-

CC ? ?

6 , AC ?

2?

6 ? 2 3,

设球半径为 R , 则 R ? OC ? CC ?
2 2 2

? ( 6) ? ( 3) ? 9
2 2

∴R ? 3, ∴ S 球 ? 4? R ? 3 6? ,V 球 ?
2

4 3

? R ? 3 6? 。
3

点评:本题重点考查球截面的性质以及球面积公式,解题的关键是将多面体的几何要素 转化成球的几何要素。 例 18. (1)表面积为 3 2 4 ? 的球,其内接正四棱柱的高是 14 ,求这个正四棱柱的表面积。 (2)正四面体 ABCD 的棱长为 a,球 O 是内切球,球 O1 是与正四面体的三个面和球 O 都相 切的一个小球,求球 O1 的体积。 解: (1)设球半径为 R ,正四棱柱底面边长为 a ,

则作轴截面如图, A A ? ? 1 4 , A C ? 又∵ 4 ? R ? 324 ? ,∴ R ? 9 ,
2

2a ,

∴ AC ?

A C ? ? C C ? ? 8 2 ,∴ a ? 8 ,
2 2
新疆

∴ S表 ? 64 ? 2 ? 32 ? 14 ? 576

王新敞
奎屯

(2)如图,设球 O 半径为 R,球 O1 的半径为 r,E 为 CD 中点,球 O 与平面 ACD、BCD 切于点 F、G,球 O1 与平面 ACD 切于点 H
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

- 10 -

由题设
AG ? AE
2

? GE

2

?

6 3

a

王新敞
奎屯

新疆

6



△ AOF∽△AEG



R 3 6 6 a

a? R

?

3 3 2 a

,得 R ?

6 12

a

王新敞
奎屯

新疆

a ? 2R ? r ? 6 3 a?R



△ AO1H∽△AOF



3

r R

,得 r ?

6 24

a

王新敞
奎屯

新疆



V球O ?
1

4 3

?r

3

? 6 ? 6 3 ? ?? a? ? a ? 24 ? 3 ? 1728 ? 4

3

王新敞
奎屯

新疆

点评:正四面体的内切球与各面的切点是面的中心,球心到各面的距离相等。 题型 10:球的经纬度、球面距离问题 例 19. (1)我国首都靠近北纬 4 0 纬线,求北纬 4 0 纬线的长度等于多少 km ?(地球半 径大约为 6370 km ) (2)在半径为 1 3cm 的球面上有 A , B , C 三点, A B ? B C ? A C ? 12 cm ,求球心到经过这 三点的截面的距离。 解: (1)如图, A 是北纬 4 0 上一点, A K 是它的半径, ∴OK ? AK ,
? ? ?

- 11 -

设 C 是北纬 4 0 的纬线长, ∵ ? AO B ? ? O AK ? 40 , ∴ C ? 2 ? ? A K ? 2 ? ? O A ? cos ? O A K ? 2 ? ? O A ? cos 40
? 2 ? 3.14 ? 6370 ? 0.7660 ? 3.066 ? 10 ( km )
4
?
?

?

答:北纬 4 0 纬线长约等于 3.066 ? 10 km .
4

?

(2)解:设经过 A , B , C 三点的截面为⊙ O ? , 设球心为 O ,连结 O O ? ,则 O O ? ? 平面 A B C , ∵ AO ? ?
3 2 ? 12 ? 2 3
2 2

? 4 3,

∴OO? ?

O A ? O A? ? 11 ,

所以,球心到截面距离为 1 1cm . 例 20. 在北纬 4 5 圈上有 A , B 两点, 设该纬度圈上 A , B
2 4
?



点的劣弧长为 面距离。

? R ( R 为地球半径) ,求 A , B 两点间的



? 解:设北纬 4 5 圈的半径为 r ,则 r ?

2 4

R ,设 O ? 为



纬 4 5 圈的圆心, ? AO ' B ? ? ,
?

∴? r ? ∴? ?
?
2

2 4

? R ,∴

2 2

R? ?

2 4

?R,

,∴ A B ?

2r ? R ,

∴ ? A B C 中, ? A O B ?

?
3


?
3 R.

所以, A , B 两点的球面距离等于

点评:要求两点的球面距离,必须先求出两点的直线距离,再求出这两点的球心角,进 而求出这两点的球面距离。

五.思维总结
1.正四面体的性质 设正四面体的棱长为 a,则这个正四面体的 (1)全面积:S 全= 3 a2;
- 12 -

(2)体积:V=

2 12

a3;

(3)对棱中点连线段的长:d=

2 2

a;

(4)内切球半径:r=

6 12

a;

(5)外接球半径

R=

6 4

a;

(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。 2. 直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四 面 体有下列性质: 如图,在直角四面体 AOCB 中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90° ,OA=a,OB=b,OC=c。 则:①不含直角的底面 ABC 是锐角三角形; ②直角顶点 O 在底面上的射影 H 是△ ABC 的垂心; ③体积 V=
1

abc;
a b ?b c ?c a
2 2 2 2 2 2

④底面△ ABC=

6 1 2



⑤S2△ ABC=S△ BHC· △ ABC; S 2 2 ⑥S △ BOC=S △ AOB+S2△ AOC=S2△ ABC ⑦
1 OH
2

=

1 a
2

+

1 b
2

+ R=

1 c 1
2

;
a
2

⑧外切球半径

?b ?c
2

2



2

⑨内切球半径

r=

S ? AOB ? S ? BOC - S ? ABC a?b?c

3.圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角. ①如图,圆锥的顶角为 β,母线与下底面所成角为 α,母线为 l,高为 h,底面半径为 r, 则 sinα=cos α+
?
2
? =90°

?
2

=

h l



cosα=sin

?
2

=

r l

.

②圆台 如图,圆台母线与下底面所成角为 α,母线为 l,高为 h,上、下底面半径分别 为 r ′、r,则 h=lsinα,r-r′=lcosα。 ③球的截面 用一个平面去截一个球,截面是圆面.

- 13 -

(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆;不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆; (2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面; (3)球心和截面距离 d,球半径 R,截面半径 r 有关系: r= R - d .
2 2

4.经度、纬度: 经线:球面上从北极到南极的半个大圆;

纬线:与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆;

经度:某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与 0 经线及轴确定的半平面 所成的二面角的度数。 纬度:某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。

?

5. 两点的球面距离: 球面上两点之间的最短距离,就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,我们 把这个弧长叫做两点的球面距离 两点的球面距离公式: (其中 R 为球半径, ? 为 A,B 所对应的球心角的弧度数)
王新敞
奎屯 新疆

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