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2012年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)文科数学

2012 年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)文科数学
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共 10 小题,每 小题 5 分,共 50 分) 1.集合 M={x|lgx>0},N={x|x ≤4},则 M∩N=( A. (1,2) C. (1,2] A.y=x+1 C. B.[1,2) D.[1,2] )
2 2



2.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( B.y=﹣x D.y=x|x|

3.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示) ,则该样 本的中位数、众数、极差分别是 ( )

A.46,45,56 C.47,45,56

B.46,45,53 D.45,47,53 为纯虚数”的( )

4.设 a,b∈R,i 是虚数单位,则“ab=0”是“复数 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

5.如图是计算某年级 500 名学生期末考试(满分为 100 分)及格率 q 的程序框图,则图中 空白框内应填入( )

1

A.q= C.q=
2 2

B.q= D.q= )

6.已知圆 C:x +y ﹣4x=0,l 为过点 P(3,0)的直线,则( A.l 与 C 相交 C.l 与 C 相离 A. C.0 图为( ) B.l 与 C 相切 D.以上三个选项均有可能

7.设向量 =(1.cosθ)与 =(﹣1,2cosθ)垂直,则 cos2θ 等于( B. D.﹣1



8.将正方形(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到图 2 所示的几何体,则该几何体的左视

A.

B.

C. 9.设函数 f(x)= +lnx 则( A.x= 为 f(x)的极大值点 B.x= 为 f(x)的极小值点

D. )

2

C.x=2 为 f(x)的极大值点 D.x=2 为 f(x)的极小值点 10.小王从甲地到乙地的时速分别为 a 和 b(a<b) ,其全程的平均时速为 v,则( A.a<v< B.v= C. D.v= 二、填空题:把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分, 共 25 分) 11.设函数发 f(x)= 12.观察下列不等式: , , ,则 f(f(﹣4) )=_____. <v< )

… 照此规律,第五个不等式为____. 13.在三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对应的长分别为 a,b,c,若 a=2,B= 则 b=____. 14.如图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米.水位下降 1 米后, 水面宽为____米. ,c=2 ,

15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) 15.B. (几何证明选做题)如图,在圆 O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 E,EF⊥ DB, 垂足为 F,若 AB=6,AE=1,则 DF?DB=____.

15.C. (坐标系与参数方程)直线 2ρcosθ=1 与圆 ρ=2cosθ 相交的弦长为____.
3

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.已知等比数列{an}的公比为 q=﹣ . (1)若 a3= ,求数列{an}的前 n 项和;

(Ⅱ)证明:对任意 k∈N+,ak,ak+2,ak+1 成等差数列. 17.函数 对称轴之间的距离为 , (A>0,ω>0)的最大值为 3,其图象相邻两条

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)设 ,则 ,求 α 的值.

18.直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=A A1,∠CAB= (Ⅰ)证明:CB1⊥BA1; (Ⅱ)已知 AB=2,BC= ,求三棱锥 C1﹣ABA1 的体积.

19.假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解他们的使用寿命,现 从两种品牌的产品中分别随机抽取 100 个进行测试,结果统计如下: (Ⅰ)估计甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率; (Ⅱ)这两种品牌产品中,某个产品已使用了 200 小时,试估计该产品是甲品牌的概率.

.20.已知椭圆 (1)求椭圆 C2 的方程;

,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率.

(2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, 21.设函数 (1)设 n≥2,b=1,c=﹣1,证明:fn(x)在区间

,求直线 AB 的方程.

内存在唯一的零点;

(2)设 n 为偶数,|f(﹣1)|≤1,|f(1)|≤1,求 b+3c 的最小值和最大值; (3)设 n=2,若对任意 x1,x2∈[﹣1,1],有|f2(x1)﹣f2(x2)|≤4,求 b 的取值范围.

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2012 年陕西省高考数学试卷(文科)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共 10 小题,每 小题 5 分,共 50 分) 1.答案:C 思路分析: 考点解剖:考查对数函数的单调性和特殊点,两个集合的交集的定义和求法 解题思路:先求出集合 M、N,再利用两个集合的交集的定义求出 M∩N. 解答过程: 解:∵M={x|lgx>0}={x|x>1},N={x|x ≤4}={x|﹣2≤x≤2}, ∴M∩N={x|1<x≤2}, 故选 C. 规律总结:对数函数的单调性与特殊点; 2.答案:D 思路分析: 考点解剖:考查函数的性质,考查函数的奇偶性与单调性的判断 解题思路:对于 A,非奇非偶;对于 B,是偶函数;对于 C,是奇函数,但不是增函数; 对于 D,令 f(x)=x|x|= 解答过程: 解:对于 A,非奇非偶,是 R 上的增函数,不符合题意; 对于 B,是偶函数,不符合题意; 对于 C,是奇函数,但不是增函数; 对于 D,令 f(x)=x|x|,∴f(﹣x)=﹣x|﹣x|=﹣f(x) ;∵f(x)=x|x|= 函数是增函数 故选 D. 规律总结:理解和掌握函数的性质是关键 3.答案:A 思路分析: 考点解剖:考查该样本的中位数、众数、极差,茎叶图的应用,考查计算能力. 解题思路:直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差,即可. 解答过程: 解:由题意可知茎叶图共有 30 个数值,所以中位数为: 众数是 45,极差为:68﹣12=56. 故选 A. 规律总结:正确地理解样本数据特征的概念以及正确地用来估计总体.
5
2

,可判断函数既是奇函数又是增函数,故可得结论

,∴

=46.

4.答案:B 思路分析: 考点解剖:考查复数的基本概念,充要条件的判断,考查基本知识的灵活运用. 解题思路:利用“ab=0”与“复数 解答过程: 解:因为“ab=0”得 a=0 或 b=0,只有 a=0,并且 b≠0,复数 复数 =a﹣bi 为纯虚数,所以 a=0 并且 b≠0,所以 ab=0, 为纯虚数”的必要不充分条件. 为纯虚数,否则不成立; 为纯虚数”互为前提与结论,经过推导判断充要条件.

因此 a,b∈R,i 是虚数单位,则“ab=0”是“复数 故选 B.

规律总结:复数的基本概念;必要条件、充分条件与充要条件的判断是此类题目的关键 5.答案:D 思路分析: 考点解剖:考查循环框图的应用,考查计算能力. 解题思路:通过题意与框图的作用,即可判断空白框内应填入的表达式. 解答过程: 解:由题意以及框图可知,计算某年级 500 名学生期末考试(满分为 100 分)及格率 q 的程 序框图, 所以输出的结果是及格率,所以图中空白框内应填入 故选 D. 规律总结:循环结构,算法的功能以及算法的基本思想,对算法的学习和把握要全面深入. 6.答案:A 思路分析: 考点解剖:此题考查了直线与圆的位置关系 解题思路:将圆 C 的方程化为标准方程,找出圆心 C 坐标和半径 r,利用两点间的距离公式 求出 P 与圆心 C 间的长,记作 d,判断得到 d 小于 r,可得出 P 在圆 C 内,再由直线 l 过 P 点,可得出直线 l 与圆 C 相交. 解答过程: 解:将圆的方程化为标准方程得: (x﹣2) +y =4, ∴圆心 C(2,0) ,半径 r=2, 又 P(3,0)与圆心的距离 d= ∴点 P 在圆 C 内,又直线 l 过 P 点, 则直线 l 与圆 C 相交. 故选 A 规律总结:涉及的知识有:圆的标准方程,两点间的距离公式,以及点与圆的位置关系,直
6
2 2



=1<2=r,

线与圆的位置关系由 d 与 r 的关系来确定:当 d<r 时,直线与圆相交;当 d=r 时,直线与圆 相切;当 d>r 时,直线与圆相离(d 表示圆心到直线的距离,r 为圆的半径) . 7.答案:C 思路分析: 考点解剖:考查了平面向量的数量积运算法则,以及二倍角的余弦函数公式. 解题思路:由两向量的坐标,以及两向量垂直,根据平面向量的数量积运算法则得到其数量 积为 0, 得出 2cos θ﹣1 的值, 然后将所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后, 将 2cos θ ﹣1 的值代入即可求出值. 解答过程: 解:∵ =(1,cosθ) , =(﹣1,2cosθ) ,且两向量垂直, ∴ ? =0,即﹣1+2cos θ=0, 则 cos2θ=2cos θ﹣1=0. 故选 C 规律总结:熟练掌握公式及法则是解本题的关键 8.答案:B 思路分析: 考点解剖:考查几何体的三视图的画法,考查作图能力. 解题思路:直接利用三视图的画法,画出几何体的左视图即可. 解答过程: 解:由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段,上面的射影也是线段, 后面与底面的射影都是线段,轮廓是正方形,AD1 在右侧的射影是正方形的对角线, B1C 在右侧的射影也是对角线是虚线. 如图 B. 故选 B.
2 2 2 2

规律总结:此类题目主要借助空间想象能力 9.答案:D 思路分析: 考点解剖:主要考察利用导数研究函数的极值.解决这类问题的关键在于先求出其导函数, 并求出其导函数大于 0 和小于 0 对应的区间. 解题思路:先求出其导函数,并找到导函数大于 0 和小于 0 对应的区间,即可求出结论. 解答过程: 解:∵f(x)= +lnx; ∴f′(x)=﹣ + = ;

x>2?f′(x)>0;
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0<x<2?f′(x)<0. ∴x=2 为 f(x)的极小值点. 故选:D. 规律总结:函数极值问题需要求函数的导函数进行计算 10.答案:A 思路分析: 考点解剖: 主要考查了基本不等式在实际问题中的应用, 比较法中的比差法在比较大小中的 应用. 解题思路:设小王从甲地到乙地按时速分别为 a 和 b,行驶的路程 S, 则 v= = 及 0<a<b,利用基本不等式及作差法可比较大小

解答过程: 解:设小王从甲地到乙地按时速分别为 a 和 b,行驶的路程 S 则 v= =

∵0<a<b ∴a+b ∴ ∵v﹣a= ∴v>a 综上可得, 故选 A 规律总结:正确列式巧妙运用均值不等式是关键,同时也要注意题设条件. 二、填空题:把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分, 共 25 分) 11.答案:4 思路分析: 考点解剖:考查函数的值的求法,注意分段函数的定义域的应用,考查计算能力. 解题思路:利用分段函数先求 f(﹣4) ,然后再求 f(f(﹣4) )的值. 解答过程: 解:因为函数 所以 f(f(﹣4) )=f(16)= 故答案为:4. 规律总结:主要是要正确把握函数的概念.根据分段函数求值, =4. ,所以 f(﹣4)= =16, = = >0

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12.答案:1+ 思路分析:

+

+

+

+



考点解剖:考查归纳推理,解题的关键是根据所给的三个不等式得出它们的共性,由此得出 通式,本题考查了归纳推理考察的典型题,具有一般性 解题思路: 由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性: 左边式子是连续正整数平方的倒 数和, 最后一个数的分母是不等式序号 n+1 的平方, 右边分式中的分子与不等式序号 n 的关 系是 2n+1,分母是不等式的序号 n+1,得出第 n 个不等式,即可得到通式,再令 n=5,即可 得出第五个不等式 解答过程: 解:由已知中的不等式 1+ , ,1+ + ,…

得出左边式子是连续正整数平方的倒数和,最后一个数的分母是不等式序号 n+1 的平方 右边分式中的分子与不等式序号 n 的关系是 2n+1,分母是不等式的序号 n+1, 故可以归纳出第 n 个不等式是 1+ 所以第五个不等式为 1+ 故答案为:1+ + + + + + + + < + …+ < = , (n≥2) ,

规律总结:从几个特殊的式子猜测出一般结论正是归纳推理的本质 13.答案:2 思路分析: 考点解剖:考查余弦定理的应用,考查计算能力. 解题思路:由题设条件知,直接利用余弦定理建立方程求出 b 即可. 解答过程: 解:由余弦定理可知 b =a +c ﹣2accosB=2 + 因为 b 是三角形的边长,所以 b=2. 故答案为:2. 规律总结:用余弦定理解三角形,掌握定理是关键. 14.答案:2 思路分析: 考点解剖:主要考查抛物线的应用.考查了学生利用抛物线解决实际问题 的能力. 解题思路:先建立直角坐标系,将 A 点代入抛物线方程求得 m,得到抛物线方程,再把 y=3 代入抛物线方程求得 x0 进而得到答案. 解答过程: 解:如图建立直角坐标系,设抛物线方程为 x =my,
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2 2 2 2 2

﹣2× 2× 2

×

=4.

将 A(2,﹣2)代入 x =my, 得 m=﹣2 ∴x =﹣2y,代入 B(x0,﹣3)得 x0= 故水面宽为 2 故答案为 2 m.
2

2



规律总结:列出抛物线的方程是解题的关键 15. A.答案:﹣2≤a≤4 思路分析: 考点解剖:考查绝对值不等式的解法,绝对值的意义,考查作图与理解能力 解题思路:利用表示数轴上的 x 到 a 的距离加上它到 1 的距离,它的最大值等于 3,作图可 得实数 a 的取值范围. 解答过程: 解:∵存在实数 x 使|x﹣a|+|x﹣1|≤3 成立, 而|x﹣a|+|x﹣1|表示数轴上的 x 到 a 的距离加上它到 1 的距离, 又最大值等于 3,由图可得:当表示 a 的点位于 AB 之间时满足|x﹣a|+|x﹣1|≤3,

∴﹣2≤a≤4, 故答案为:﹣2≤a≤4. 规律总结:求出|x﹣a|+|x﹣1|的最大值是 3 是解题的关键,

15. B.答案:5 思路分析: 考点解剖:考查与圆有关的比例线段,掌握相交弦定理与射影定理是解决问题的关键 解题思路:利用相交弦定理可得 DE;在 Rt△EDB 中,由射影定理得:DE =DF?DB=5,即 得答案; 解答过程: 解:∵AB=6,AE=1,由题意可得△AEC∽△DEB,DE=CE, ∴DE?CE=AE?EB=1×5=5,即 DE= .
10
2

在 Rt△EDB 中,由射影定理得:DE =DF?DB=5. 故答案为:5. 规律总结:高考中圆的问题经常考察相交弦或射影定理 15.C 答案: 思路分析: 考点解剖:考查简单曲线的极坐标方程, 解题思路:将直线与圆的极坐标方程化为普通方程分别为:x= , (x﹣1) +y =1,从而可 得相交弦长 解答过程: 解:∵2ρcosθ=1, ∴2x=1,即 x= ; 又圆 ρ=2cosθ 的普通方程由 ρ =2ρcosθ 得:x +y =2x, ∴(x﹣1) +y =1, ∴圆心(1,0)到直线 x= 的距离为 , ∴相交弦长的一半为 ∴相交弦长为 故答案为: . . = ,
2 2 2 2 2 2 2

2

规律总结:极坐标方程化普通方程是关键 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.答案: (1)sn=

思路分析: 考点解剖:主要考查等差关系的确定,等比数列的通项公式,等比数列的前 n 项和公式的应 用 解题思路: (1)由条件求出首项,然后代入等比数列的前 n 项和公式,运算求得结果. (Ⅱ)对任意 k∈N+,化简求出公比后代入,可得 2ak+2﹣(ak +ak+1)=0,故 ak,ak+2,ak+1 成等差数列. 解答过程: 解: (1)由 a3= =a1q ,以及 q=﹣ 可得 a1=1.
2

∴数列{an}的前 n 项和 sn=

=

=



11

(Ⅱ)证明:对任意 k∈N+,2ak+2﹣(ak +ak+1)=2a1 q ﹣q﹣1) .
2

k+1





=

(2q

2

把 q=﹣ 代入可得 2q ﹣q﹣1=0,故 2ak+2﹣(ak +ak+1)=0,故 ak,ak+2,ak+1 成等差数列. 规律总结:关键要把握两种基本数列的相关知识. 17.答案: (1)y=2sin(2x﹣ (2) 思路分析: 考点解剖:考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,三角函数的恒等变换及化简 求值,考查计算能力. 解题思路: (1)通过函数的最大值求出 A,通过对称轴求出周期,求出 ω,得到函数的解析 式. (2)通过 解答过程: 解: (1)∵函数 f(x)的最大值为 3,∴A+1=3,即 A=2, ∵函数图象相邻两条对称轴之间的距离为 故函数的解析式为 y=2sin(2x﹣ (2)∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ . , , ,所以 , )+1. , ,T=π,所以 ω=2. ,求出 ,通过 α 的范围,求出 α 的值. )+1.

规律总结:把握三角函数的图像和性质以及三角公式是关键。 18.答案: (2) 思路分析: 考点解剖:根据底面为直角三角形的直三棱柱,证明线面垂直并且求三棱锥的体积,着重考 查了直线与平面垂直的性质与判定和锥体体积公式等知识点 解题思路: (I)连接 AB1,根据 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱,得到平面 ABC⊥平面 ABB1A1, 结合 AC⊥AB,可得 AC⊥平面 ABB1A1,从而有 AC⊥BA1,再在正方形 ABB1A1 中得到 AB1⊥BA1,最后根据线面垂直的判定定理,得到 BA1⊥平面 ACB1,所以 CB1⊥BA1; (II)在 Rt△ABC 中,利用勾股定理,得到 AC=1,又因为直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, A1C1=AC=1 且 AC⊥平面 ABB1A1, 得到 A1C1 是三棱锥 C1﹣ABA1 的高, 且它的长度为 1. 再
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根据正方形 ABB1A1 面积得到△ABA1 的面积,最后根据锥体体积公式,得到三棱锥 C1﹣ ABA1 的体积为 . 解答过程: 解: (I)连接 AB1, ∵ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱, ∴平面 ABC⊥平面 ABB1A1, 又∵平面 ABC∩平面 ABB1A1=AB,AC⊥AB, ∴AC⊥平面 ABB1A1, ∵BA1? 平面 ABB1A1,∴AC⊥BA1, ∵矩形 ABB1A1 中,AB=AA1, ∴四边形 ABB1A1 是正方形, ∴AB1⊥BA1, 又∵AB1、CA 是平面 ACB1 内的相交直线, ∴BA1⊥平面 ACB1, ∵CB1? 平面 ACB1,∴CB1⊥BA1; (II)∵AB=2,BC= ∴Rt△ABC 中,AC= , =1

∴直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,A1C1=AC=1 又∵AC∥A1C1,AC⊥平面 ABB1A1, ∴A1C1 是三棱锥 C1﹣ABA1 的高. ∵△ABA1 的面积等于正方形 ABB1A1 面积的一半 ∴ = AB =2 × A1C1= .
2

三棱锥 C1﹣ABA1 的体积为 V= ×

规律总结:垂直关系的证明,多面体体积的计算,是常考题型,解法具有一般性. 19.答案: (1) (2) 思路分析: 考点解剖:考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力. 解题思路: (Ⅰ)先从频数分布图中得到甲品牌产品寿命小于 200 小时的个数,与总数相比 求出频率,即可得到概率; (Ⅱ)先求出已使用了 200 小时的产品总数,再找到是甲品牌的个数,二者相比即可得到结
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论. 解答过程: 解: (Ⅰ)甲品牌产品寿命小于 200 小时的频率为: 用频率估计概率, 所以甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率为: . (Ⅱ)根据抽样结果寿命大于 200 小时的产品有 75+70=145 个, 其中甲品牌产品是 75 个, 所以在样本中,寿命大于 200 小时的产品是甲品牌的频率是 . = ,

用频率估计概率,所以已使用了 200 小时的该产品是甲品牌的概率为: 规律总结:解题的关键在于能读懂频数分布直方图. 20.答案: (1) (2)y=± x 思路分析: 考点解剖:考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,解题的关键是掌握椭圆几何 量关系,联立方程组求解. 解题思路: (1)求出椭圆的长轴长,离心率,根据椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有 相同的离心率,即可确定椭圆 C2 的方程; (2)设 A,B 的坐标,根据 求出 A,B 的横坐标,利用 解答过程: 解: (1)椭圆 的长轴长为 4,离心率为 ,可设 AB 的方程为 y=kx,分别与椭圆 C1 和 C2 联立, ,即可求得直线 AB 的方程.

∵椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率 ∴椭圆 C2 的焦点在 y 轴上,2b=4,为 ∴b=2,a=4 ∴椭圆 C2 的方程为 ;

(2)设 A,B 的坐标分别为(xA,yA) , (xB,yB) , ∵ ∴O,A,B 三点共线,且点 A,B 不在 y 轴上 ∴设 AB 的方程为 y=kx 将 y=kx 代入 将 y=kx 代入 ∵ ,∴ =4 ,消元可得(1+4k )x =4,∴ ,消元可得(4+k )x =16,∴ ,
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2 2 2 2



,解得 k=± 1,

∴AB 的方程为 y=± x 规律总结: 直线与圆锥曲线的问题很少运用直接求交点坐标的方式, 比较多的是运用韦达定 理 21.答案: (2)的最小值为﹣6,最大值为 0 (3)﹣2≤b≤2 思路分析: 考点解剖:考查函数恒成立问题,考查函数零点存在性定理的应用,考查线性规划的应用, 也考查不等式的性质,考查绝对值的应用,渗透转化思想,方程思想,分类讨论思想,数形 结合思想的考查,综合性极强,运算量大,难度高 解题思路: (1)当 b=1,c=﹣1,n≥2 时,f(x)=x +x﹣1,易求 f( )f(1)<0,再用导 数判断 f(x)的单调性即可使结论得证; (2)解法一,由题意作出图,用线性规划的知识即可使问题解决; 解法二, 由﹣1≤( f 1) =1+b+c≤1, 即﹣2≤b+c≤0①, ﹣1≤f (﹣1) =1﹣b+c≤1, 即﹣2≤﹣b+c≤0②, 由①②可求得:﹣6≤b+3c≤0,问题即可解决; 解法三, 由﹣6≤b+3c≤0,可得答案; (3)当 n=2 时,f(x)=x +bx+c,对任意 x1,x2∈[﹣1,1],有|f2(x1)﹣f2(x2)|≤4,等 价于在[﹣1,1]上最大值与最小值之差 M≤4,据此分类讨论解决即可. 解答过程: 解: (1)当 b=1,c=﹣1,n≥2 时,f(x)=x +x﹣1 ∵f( )f(1)=( ﹣ )× 1<0,∴f(x)在区间
n﹣1 n 2 n

内存在零点,

又当 x∈( ,1)时,f′(x)=nx

+1>0, 内存在唯一的零点;

∴f(x)在( ,1)上单调递增,∴f(x)在区间 (2)解法一 由题意知 ,即

由图象知 b+3c 在点(0,﹣2)取到最小值﹣6,在点(0,0)处取到最大值 0, ∴b+3c 的最小值为﹣6,最大值为 0; 解法二 由题意知 ﹣1≤f(1)=1+b+c≤1,即﹣2≤b+c≤0,① ﹣1≤f(﹣1)=1﹣b+c≤1,即﹣2≤﹣b+c≤0,② ①× 2+②得:﹣6≤2(b+c)+(﹣b+c)=b+3c≤0, 当 b=0,c=﹣2 时,b+3c=﹣6;当 b=c=0,时,b+3c=0; ∴b+3c 的最小值为﹣6,最大值为 0;

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解法三 由题意知 c= ,

,解得 b=



∴b+3c=2f(1)+f(﹣1)﹣3, ∵﹣1≤f(﹣1)≤1,﹣1≤f(1)≤1, ∴﹣6≤b+3c≤0, 当 b=0,c=﹣2 时,b+3c=﹣6;当 b=c=0,时,b+3c=0; ∴b+3c 的最小值为﹣6,最大值为 0; (3)当 n=2 时,f(x)=x +bx+c,对任意 x1,x2∈[﹣1,1],有|f2(x1)﹣f2(x2)|≤4,等 价于在[﹣1,1]上最大值与最小值之差 M≤4,据此分类讨论如下: (i)当 >1,即|b|>2,M=|f(1)﹣f(﹣1)|=2|b|>4,与题设矛盾; ≤4 恒成立, ≤4 恒成立,
2

(ii)当﹣1≤﹣ <0,即 0<b≤2 时,M=f(1)﹣f(﹣ )= (iii)当 0≤﹣ ≤1,即﹣2≤b≤0 时,M=f(﹣1)﹣f(﹣ )= 综上所述,﹣2≤b≤2.

规律总结:利用函数与导数,函数与方程,导数应用以及恒成立问题.考察分析问题解决问 题的能力,推理论证的能力,运算能力等

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