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四川省广元中学2007-2008学年度高三上学期期中考试试题(数学文科)


四川省广元中学 2007-2008 学年度高三上学期期中考试 数学试题(文科)
考试时间:120 分钟 满分:150 分

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.等差数列{an}中,a3=0,a4+a5=1,an=10, 则 n 为 ( ) A.33 B.30 C.20 D.223 2.函数 f ( x ) =

1 的定义域为 log 2 (? x + 4 x ? 3)
2





A.(1,2)∪(2,3) C.(1,3)

B.(-∞,1)∪(3,+∞) D.[1,3] )

3.集合 A = {a 2 , a + 1,?3}, B = {a ? 3,2a ? 1, a 2 + 1}, A ∩ B = {?3} ,则 a 的值为( A.0 B.1 C.2 D.-1 (

? 1 x 4.给出函数 f ( x ) = ?( 2 ) , ( x ≥ 4) ,则f (log 2 3) 等于 ? ? f ( x + 1), ( x < 4) ?
A. ?



23 8

B.

1 11

C.

1 19

D.

1 24
( )

5.数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,……中,第 2007 项是 A.62 B.63 C.64 D.2007 6.已知函数 f ( x)满足f ( x ? 3) = lg
2

x2 ,则y = f ( x) 在定义域内是 6 ? x2





A.奇函数且是增函数 B.奇函数且是减函数 C.偶函数且是增函数 D.增函数,但既非奇函数又非偶函数 7.已知{an}是等差数列,Sn 是其前 n 项和,且 a3+a8>0,S9<0,则在 S1,S2,S3,…,Sn 中 最小的是 ( ) A.S10 B.S9 C.S6 D.S5 8.设 a,b,c 均为正数,且 2 = log 1 a, ) = log 1 b, ) = log 2 c ,则 ( (
a b c 2 2

1 2

1 2





A.a<b<c

B.c<b<a

9.设 ω > 0,函数f ( x ) = 2 sin(ωx )在[ ? A. 0 < ω ≤

3 2

, ] 上是增函数,那么 3 4 24 B. 0 < ω ≤ 2 C. 0 < ω ≤ D. ω ≥ 2 7

π π

C.c<a<b

D.b<a<c ( )

10.若函数 y = log 2 ( x 2 ? ax + 3a )在[ 2,+∞ ) 上是增函数,则实数 a 的取值范围是( A. (?∞,4] B. (?4,4]
?1



C.(-4,2)

D. (?∞,?4) ∪ [ 2,+∞)
?1

11.若函数 y = f (x ) 的反函数为 y = f 的图象 A.关于直线 y=x C.关于直线 y=x+1 对称

( x),则函数y = f ( x ? 1)与函数y = f
B.关于直线 y=x-1 对称 D.关于直线 y=1 对称

( x ? 1)




则 12. 已知函数 f ( x ) = A sin(ωx + ? )( A > 0, ω > 0) 的部分图象如图所示, f (1) + f ( 2) +… + f (2008) 的值等于 A. 2 C.0 B. 2 +2 D.不能确定 ( )

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.在等比数列{an}中,a3=3,前 3 项和 S3=9,则公比 q= 14.已知 cos( x +

π

4

)=

5 cos 2 x π ,且0 < x < ,则 = π 13 4 sin( ? x) 4

15.已知数列{an}满足 a n +1 = a n ? a n ?1 (n ≥ 2),a1 = a, a 2 = b, 记 Sn= a1 + a 2 + a3 + L + a n , 则 S100= 16. 若函数 f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d满足f (0) = f ( x1 ) = f ( x 2 ) = 0(0 < x1 < x 2 ),且在[ x 2 ,+∞) 上单调递增,则 b 的取值范围是 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知 f ( x ) = 3 + log 2 x ( 2 ≤ x ≤ 8),求函数g ( x ) = f 2 ( x ) + f (2 x ) 的值域.

18.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) = sin 2 x + 3 cos 2 x ? 2 sin x cos x, x ∈ R (1)求函数 f (x ) 的最大值和最小正周期;

(2)将函数 y= f (x ) 的图象向左平移 中心.

π
4

个单位得到 g ( x ) 的图象,求 g ( x ) 图象的对称

19.(本小题满分 12 分) 已知集合 M = {x | ax ? ( a + 1) x ? 1 > 0},M ? R+ ,求 a 的取值范围.
2

20.(本小题满分 12 分) 某个 QQ 群中有 n 名同学在玩一个数字哈哈镜游戏,这些同学依次编号为 1,2, 3,……,n. 在哈哈镜中,每个同学看到的象用数对(p,q)(p<q)表示,规则如下: 若编号为 k 的同学看到的象 x(p,q),则编号为 k+1 的同学看到的象为(q,r),且 q-p=k(p,q,r ∈ N *) . 已知编号为 1 的同学看到的象为(5,6). (1)根据以上规律分别写出编号为 2 和 3 的同学看到的象; (2)求编号为 n 的同学看到的象.

21.(本小题满分 12 分) 数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=2an+4n(n=`1,2,3,……) (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn =

4n , {bn } 的前 n 项和为 Tn,求证:Tn<2. 4 ? an

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f (x ) 在 (-1, 上有定义, f ( ) = ?1 , 1) 当且仅当 0<x<1 时, f ( x ) < 0 , 且对任意 x、y ∈ ( ?1,1)都有f ( x) + f ( y ) = f (

1 2

x+ y ). 1 + xy

(1)求证: f (x ) 为奇函数; (2)求证: f (x ) 在(-1,1)上单调递减; (3)求不等式 f ( x ) + f ( x + 1) ≥ 1 的解集.

参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1—5 AADDB 6—10 ADAAB 11—12 BC 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.1 或 ?

1 2

14.

24 13

15.2b-a

16. (?∞,0)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. g ( x) = f 2 ( x) + f ( 2 x) = log 2 x + 7 log 2 x + 13 2 …………4 分

?2 ≤ x ≤ 8 ? ?2 ≤ 2 x ≤ 8

解得: 2 ≤ x ≤ 4

…………8 分

所以, 1 ≤ log 2 x ≤ 2 ,所以 g (x ) 的值域为[21,31]. …………12 分 18. (1) f ( x ) = sin 2 x + 3 cos 2 x ? 2 sin x cos x = 1 + 2 cos 2 x ? sin 2 x = 2 + cos x ? sin 2 x

= 2 + 2 cos(2 x +

π
4

)

…………4 分

函数 f ( x ) 的最大值为 2 +

2 ,最小正周期为 π

…………8 分

(2) g ( x ) = 2 + 令 2x +

2 cos[2( x +

π
4

)+

π
4

] = 2 + 2 cos(2 x +

3π π kπ π = kπ + (k ∈ Z ) ,解得: x = ? (k ∈ Z ) ……12 分 4 2 2 8 kπ π ? ,2) (k ∈ Z ) …………12 分 所以, g (x ) 的对称中心为 ( 2 8
19.①a>0,不合题意 ②a=0,解得:x<-1,不合题意 ………………3 分 ③?

3π ) ……10 分 4

?a < 0
2 ?? = a + 6 a + 1 ≤ 0

解得: ? 3 ? 2 2 ≤ a ≤ ?3 + 2 2

………………7 分

?a < 0 ? 2 ?? = a + 6 a + 1 > 0 ? ④ ?x + x = a + 1 > 0 1 2 a ? ? 1 ? x1 x 2 = ? > 0 a ?
解得: a < ?3 ? 2 2 综上所述,a 的取值范围是 ( ?∞,?3 + 2 2 ] …………12 分

20.(1)编号为 2 的同学看到的象是(6,8),编号为 3 的同学看到的象是(8,11) …4 分 (2)设编号为 n 的同学看到的象是(bn,an),则 b1=5,a1=6, 当 n ≥ 2时,bn = a n ?1,由题意知a n ? bn = n,即a n ? a n ?1 = n ……6 分 ∴ a n ? a1 = ( a 2 ? a1 ) + ( a 3 ? a 2 ) + ( a 4 ? a 3 ) + Λ + ( a n ? a n ?1 ) =2 +3+ 4 + Λ + n =

(n ? 1)(n + 2) 2

………………9 分

n 2 + n + 10 n 2 ? n + 10 ∴ an = , bn = a n ? n = 2 2
所以编号为 n 的同学看到的象是 ( 21.(1)n=1 时,a1=-4

……11 分

n 2 ? n + 10 n 2 + n + 10 , ) 2 2

…………12 分

? S n = 2 a n + 4n n ≥ 2时, ? ?S n ?1 = 2a n ?1 + 4n ? 4

相减得a n = 2a n ? 2a n ?1 + 4

∴ a n = 2a n ?1 ? 4



an ? 4 =2 a n?1 ? 4
∴ an = 4 ? 2
n+2

∴数列{an-4}为等比数列,公比为 2,首项为 a1-4=-8 …………5 分 ∴ a n ? 4 = ?8 ? 2 (2) bn =
n ?1

= ?2 n + 2

…………7 分

4n n = n 4 ? an 2

1 2 3 n + 2 + 3 +Λ+ n 2 2 2 2 1 1 2 n ?1 n Tn = 2 + 3 + Λ + n + n+1 …………10 分 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n 1 n 相减得: Tn = + 2 + 3 + Λ + n ? n +1 = 1 ? n ? n +1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 n Tn = 2 ? n ?1 ? n < 2. ………………12 分 2 2 Tn =
22.(1)取 x=y=0,则 2 f (0) = f (0), 所以f (0) = 0 取 y = ? x,则f ( x) + f ( ? x) = f (0) = 0,即f ( ? x) = ? f ( x) 所以 f (x ) 为奇函数 …………2 分 (2)任取 ? 1 < x 2 < x1 < 1

x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = f ( x1 ) + f (? x 2 ) = f ( 1 ) 1 ? x1 x 2
∵ ? 1 < x 2 < x1 < 1 ∴ x1 x 2 < 1

…………4 分

∴| x1 |< 1, | x 2 |< 1, | x1 x 2 |< 1

∴ 1 ? x1 x 2 > 0 ∴

又∵ x1 ? x 2 > 0

x1 ? x 2 >0 1 ? x1 x 2

…………6 分

x1 ? x 2 ? (1 ? x1 x 2 ) = ( x1 ? 1)( x 2 + 1) < 0
∴ x1 ? x 2 < 1 ? x1 x 2 ∴

x1 ? x 2 <1 1 ? x1 x 2 x1 ? x 2 )<0 1 ? x1 x 2

…………8 分

∴0 <

x1 ? x 2 <1 1 ? x1 x 2

∴ f(

∴ f ( x1 ) < f ( x 2 ) (3) f (
2

∴ f ( x)在( ?1,1) 上单调递减 …………10 分 …………12 分

x +1 1 ) ≥ f (? ) 2 x + x +1

? ?? 1 < x < 1 ? ?? 1 < x + 1 < 1 ? 2x + 1 1 ? 2 ≤? 2 ? x + x +1

解得(?1,

? 5 + 13 ] 2

…………14 分


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