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2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算


复习回顾

向量数乘定义及运算律

实数?与向量a的乘积是一个向量,记为? a,
其方向和长度规定如下: ( 1 ) ?a ? ? a ;
( 2) 当? ? 0, ? a的方向与 a的方向相同;

当? ? 0, ? a的方向与 a的方向相反; 当? ? 0,? a ? 0; 若a ? 0,? ? R,? a ? 0;

复习回顾

向量数乘定义及运算律

? ? 设a, b 为任意向量, ?,?为任意实数,则有:
(1)? (? a ) ? ( ?? )a; (2)( ? ? ? )a ? ? a ? ? a; ( 3 )? ( a ? b ) ? ? a ? ? b .
特别地:(? ?) a ? ? ?a
结合律 第一分配律 第二分配律

? a ? b ? ? a ? ?b
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算

?

?

? ?

练习 1.

2.若 3m ? 2n ? a 求m ,n

m ? 3n ? b

其中a , b 是已知向量,

3.在?ABC中,设 AB ? a, AC ? b, 点D在BC 上,满足BD ? 2DC , 试用a, b表示 AD

向量共线的条件与轴上向量坐标运算

一、向量共线判定方法:
1、如果向量的基线互相平行或重合,则 称向量共线或互相平行。
a c b

规定:零向量与任何一个向量平行。

一、向量共线判定方法:
2、 a与? a的关系:

当λ>0时,λa的方向与a方向相同;
当λ<0时,λa的方向与a方向相反;
特别地,当λ=0 或a =0时, λa =

0

一、向量共线判定方法:
平行向量基本定理: ( 1 ) a ? ? b,则a // b;
a

??

|a| |b|

d 实数?, (2) a // b,且 ,则一定存在唯一一个 bb ? 0 c

使a ? ? b
b ? 2a ? a // b c ? ?2a ? a // c

1 d ? ? a ? a // d 2

例题1、 如图, D、E 分别为 ?ABC 的边 AC, AB 的中点,
(1)求证: ED 与 BC 共线; (2)用 BC 线性表示 ED .
A E B D C

例题2:已知 a ? 3e, b ? ?2e,试问向量 a与b是否平行? 并求 | a | : |b|

例题3:若 | a |? 3, b与a的方向相同,且 | b |? 5, 5 5 b 若b与a反向, a? ? b 则a ? 3 3

一、向量共线判定方法:
( 1 )若b和a同向,且 | b |? ? | a | , 则b ? ? a
( 1 )若b和a反向,且 | b |? ? | a | , 则b ? ?? a

一、向量共线判定方法:
给定一个非零向量 a, 与a同向
a
a0

且长度等于 1的向量 ,叫做向量 a的单位向量 , 记作 a0 .

a ?| a | ?a0

a0 ?

a |a|

概念辨析

注意对 0的讨论


( 1 )若 b与a共线,则存在实数 ?,使 b ? ? a。

× √



(2)若存在实数 ?, b ? ? a,则b与a共线。





(3)若 a与b共线,则存在实数 m,n,使得 ma ? nb。






(4)存在实数 m,n,使得 m a ? nb,则向量 b与a共线。


×



二、轴上向量的坐标及其运算
1 、向量轴上坐标定义
e
x叫a在轴 l的坐标(或数量)

b
D

a
C
A B

l

a ? xe

单位向量 e叫轴 l的基向量

AB ? 3e, CD ? ?2e

二、轴上向量的坐标及其运算
2、向量轴上坐标运算

( 1 )轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等;
a ? x1 e, b ? x2 e

a?b

x1 ? x2

a?b ? (x1 ? x2) e

(2)轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和。

二、轴上向量的坐标及其运算
3、向量轴上坐标表示
e
A

a
O
B

C

l

AB ? AB e BA ? BA e

( 1 )AB ? BA ? 0
(2)AB ? BC ? AC

二、轴上向量的坐标及其运算
1 、当向量的起点为坐标 原点时: OP

? xe

x是点P在数轴x上的坐标
e
O

a

P

l

二、轴上向量的坐标及其运算
2、 当 向 量 的 起 点 为 x1、 终 点 为x2时 :

AB ? x2 ? x1
| AB |?| x2 ? x1 |
B

坐标=终点-始点

O

A

x2 0

x1

l

二、轴上向量的坐标及其运算
3、中点坐标公式
x1 ? x2 AB中点的坐标为x ? 2

B

C
x

A

x2

x1

l

例题1:已知数轴上三点 A、B、C的坐标分别是 4, ? 2, ? 6, 求 AB、 BC、 CA的坐标和长度。

C ?6

B O ?2 0

A 4

l

例题 2: 已知数轴上四点 A、B、C、D的坐标分别是 ? 4, ? 2,c,d

( 1 )若 AC ? 5,求 c的值;

(2)若 | BD |? 6,求 d的值;

(3)若 AC ? ?3 AD,求证: 3CD ? ?4 AC。


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