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抛物线几何性质


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范围 对称性 顶点 离心率 应用

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5

结想填 合一一 图想填 形
2 y 由抛物线 y2 =2px(p>0)可知 x ? , 2p

又 p > 0,所以x 取值范围是

x≥ 0 ;

这说明了抛物线的图像在y轴的

右侧 侧。

当x增大时, |y | 也增大,这说明抛物线 向 右上方 和 右下方 无限延伸。 所以y的取值范围是 R 。

想填 一一 想填 , 将抛物线方程 y2 =2px ,以-y代替y,

方程

不变 (是否变化?),所以抛物 轴 ,抛物线有 1 条

线关于 x轴 对称,我们把抛 物线的对称

轴叫做抛物线的
对称轴.

抛物线与它的轴的交点叫做抛物

想填 一一 想填 ,

线的顶点. 在方程中,当y=0 时 ,
x= 0 ,因此,抛物线的顶点就

是 坐标原点

.抛物线有 1 个顶点。


抛物线上的M点与焦点的距离和它到 准线的距离的比叫做抛物线的离心率. 用 e 表示; 根据抛物线定义可知e= 1 . 想 一 想 ?
|MF|与 M M点到准线的距离 有怎样的关系?


例1已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并 且经过点M(2,-2 √ 2 ),求它的标准方程,并用描点法 画出图形。 如何确定此 M 抛物线的开 解:因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且 口方向? 2 =2px y 经过点M( 2,-2 √ 2 ),所以设它的标准方程为 . 求抛物线方

程需要哪些 √ 2 )2 =2p×2 . 因为点M( 2,-2 √ 2 )在抛物线上,所以(-2 条件?

1.对称轴 2.开口方向 p=2 ,因此所求方程是 3. p值

y2 =4x

.

线
例2 画出方程x 2-4x-4y-8=0的图形.
2 =4(y+3) ① ( x -2) 解:把已知方程按 x配方,得 双 圆 椭圆 抛

图形

y

.

y

令x′ =x-2,
O

y′ =y+3,
x

F1

曲 代入以上方程 ,得 O F x 线
2

物 x′2 =4y′ . 线

对称 圆心 原点 原点 无 中心 物线按向量 (2,-3) 平移得到的,平移 对称 无数条 2条 2条 1条 轴数 后的抛物线顶点坐标是 (2,-3) . 顶点 4个 4个 2个 1个 y(2实2虚) 在 原 点 (0 , 大致图像: (x-2) 2 =4(y+3) 0) 离心 e=0 0<e<1 eO >1 ex =1 率
O'

因此, 方程①是由以坐标原点O为顶点的抛



归纳● 形如Ax 2+Dx+Ey+F=0 或 By 2+Dx+Ey+F=0的

二元二次方程,经过配方能够写成如下两种形式: (y-k) 2 = ± 2p(x-h) (x-h) 2 = ± 2p(y-k)

对称轴: 直线 x=h 顶点坐标: ( h,k) 准线方程: y '=k ±
p 2 p 2

直线 y=k ( h, k)

x '=h ± (h±

p 2

焦点坐标: (h , k ±



p 2,

k)

p 2

p 2

p 2

p 2

知知者不如好知者, 好知者不如乐知者。


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