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2019-2020学年度最新新版高中数学北师大版必修1课件:第二章函数2.3.2-PPT课件_图文

第2课时 函数的单调性的应用 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. 2.理解函数的最大(小)值是在整个定义域上研究函数,体会求函 数最值是函数单调性的应用之一. 1.函数的最大(小)值 名师点拨1.对于任意的x∈A,都有f(x)≤f(x0)成立,“任意”是说对给 定区间的每一个值都必须满足不等式. 2.最大值f(x0)必须是一个函数值,它是值域中的一个元素.例如,函 数f(x)=-x2对于任意的x∈R都有f(x)≤1,但f(x)的最大值不是1,因为1 不属于f(x)的值域. 【做一做】 函数y=ax+1(a<0)在区间[0,2]上的最大值与最小值 分别为( ) A.1,2a+1 B.2a+1,1 C.1+a,1 D.1,1+a 解析:a<0,所以一次函数在区间[0,2]上是减少的,当x=0时,函数取 得最大值为1;当x=2时,函数取得最小值为2a+1. 答案:A 2.函数最值与单调性的关系 已知函数y=f(x)的定义域是[a,b],则有以下两种情况: (1)若函数在[a,b]上单调,函数的最值在端点处取得,如图①,函数 在[a,b]上是增加的,则f(x)min=f(a),f(x)max=f(b);如图②,函数在[a,b]上 是减少的,则f(x)min=f(b),f(x)max=f(a). (2)若函数在闭区间[a,b]上先增加后减少,则最大值在区间内部取 得;若先减少后增加,则最小值在区间内部取得,另一个最值可比较 两个区间端点函数值f(a)与f(b)的大小确定. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 利用函数图像求函数最值 【例1】 用min{a,b}表示a,b两个数中的最小值.设 f(x)=min{x+2,10-x}(x≥0),求f(x)的最大值. 分析:根据新定义知,f(x)为分段函数,画出图像即可求得最大值. 解:根据新定义可得 f(x)= + 2,0 ≤ ≤ 4, 10-, > 4, 画出函数图像如图, 由x+2=10-x解得x=4,此时y=6, 两图像交点为(4,6),由图可知,f(x)的最大值为6. 题型一 题型二 题型三 题型四 反思图像法求最值的一般步骤: 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练1】 已知函数f(x)在[-2,2]上的图像如图,则此函数的 最小值、最大值分别是 . 解析:由函数图像可知,函数的最大值为2,最小值为-1. 答案:-1,2 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二 利用函数单调性求最值 【例2】 (1)求函数f(x)=-x2+2x在区间[0,+∞)上的最大值; (2)求函数 f(x)= 2 --1 在区间[2,6]上的最大值和最小值. 分析:(1)结合函数f(x)的图像分析f(x)的单调性,从而确定其最大 值;(2)利用函数增加、减少的定义判断f(x)在[2,6]上的单调性,再求 最值. 题型一 题型二 题型三 题型四 解:(1)画出函数f(x)=-x2+2x在[0,+∞)上的图像(如图),由图像可 知:f(x)在[0,1]上是增加的,在[1,+∞)上是减少的,所以f(x)在[0,+∞)上 的最大值是f(1)=1. (2)任取x1,x2∈[2,6],且x1<x2,则 f(x2)-f(x1)= 2 -2-1 ? 2 -1-1 = (22+(12)(-11+) 1). 因为 2≤x1<x2≤6,所以 x2-x1>0,(x2+1)(x1+1)>0, 于是 2(2-1) (2+1)(1+1) > 0, 即f(x1)<f(x2), 所以函数 f(x)= 2 --1 在区间[2,6]上是增加的,所以函数 f(x)= 2 --1 在区间[2,6]的左、右端点处分别取得最小值、最大值,即最大值为 f(6)= 2 -6-1 = ? 2 7 , 最小值为f(2)= 2 -2-1 = ? 23. 题型一 题型二 题型三 题型四 反思1.熟记运用函数单调性求最值的步骤: (1)判断:先判断函数的单调性. (2)求值:利用单调性代入自变量的值求得最值. 2.明确利用单调性求最大值、最小值易出错的几点: (1)写出最值时要写最高(低)点的纵坐标,而不是横坐标. (2)求最值忘记求定义域. (3)求最值,尤其是闭区间上的最值,不判断单调性而直接将两端 点值代入. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练 2】 求函数 y= -1 ? 1 的最小值. 解:由 x-1≥0 且 x≠0,得 x≥1, ∴函数的定义域为[1,+∞). 又 y= -1在[1,+∞)上是增加的, 而 y= 1 在[1,+∞)上是减少的, ∴y=? 1 在[1,+∞)上是增加的, ∴y= -1 ? 1 在[1,+∞)上是增加的. ∴当 x=1 时,ymin= 1-1 ? 1 1 = ?1. 故函数的最小值为-1. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型三 函数最值的应用 【例3】 某类产品按工艺共分10个档次,最低档次产品每件利润 为8元,每提高一个档次,每件利润增加2元,用同样工时,可以生产最 低档产品60件,每提高一个档次将少生产3件产品.则获得利润最大 时生产产品的档次是 . 分析:档次提高时,带来每件利润的提高,产量下降,第k档次时,每 件利润为[8+2(k-1)]元,产量为[60-3(k-1)]件,根据利润=每件利润× 产量,列出函数式,利用配方法求出函数的最值,进而得结论. 解析:由题意,第k档次时,每天可获利润为y=[8+2(k-1)][60-3(k- 1)]=-6k2+108k+378(1≤k≤10), 配方可得y=-6(k-9)2+864,故k=9时,获得利润最大,即获得利润最 大时生产产品的档次是第9档次. 答案:9 题型一 题型二 题型三 题


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