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高中数学 3.4.2基本不等式学案 新人教A版必修5


基本不等式( 基本不等式(二)
一、 自主学习
预习与反馈 1.已知 x,y 都是整数, (1)若 x + y = s (和为定值) ,则当 x = y 时,积 xy 取得 (2)若 xy = p (积为定制) ,则当 x = y 时,和 x + y 取得 上述命题可归纳为口诀:积定和最小,和定积最大。 积定和最小,和定积最大。 2.设 x,y 满足 x + 4 y = 40 ,且 x,y 都是正数,则 lg x + lg y 的最大值是( A.40 B.10 C.4 3.在下列函数中,最小值为 2 的是( ) A. y = x + D.2 B. y = 3x + 3? x )

1 x

C. y = lg x +

1 (1 < x < 10) lg x
1 ( x?4


D. y = sin x +

1 π (0 < x < ) sin x 2

4. 若 x > 4 ,则函数 y = x +

A.有最大值-6. B.有最小值 6 5.已知 lg x + lg y = 1 ,则

C 有最大值-2

D.有最小值 2

5 2 + 的最小值为 x y

★利用均值不等式求最值时,应注意的问题 , ①各项均为正数,特别是出现对数式、三角数式等形式时,要认真考虑。 ②求和的最小值需积为定值,求积的最大值需和为定值。 ③确保等号成立。 以上三个条件缺一不可,可概括“一正、二定、三相等” 。

二、 学习探究 题型一】利用不等式求函数的最值 【题型一】利用不等式求函数的最值
已知 x <
5 1 ,求函数 y = 4 x ? 2 + 的最大值。 4 4x ? 5

变式 已知 0<x<

1 ,求函数 y=x(1-3x)的最大值。 3

1

【题型二】含条件的最值求法 题型二】
已知整数 x,y 满足

8 1 + = 1 ,求 x+2y 的最小值。 x y

变式 :已知 x > 0, y > 0 ,满足 x + 2 y = 1 ,求

1 1 + 的最小值. x y

【题型三】利用不等式解应用题 题型三】
某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m ,深为 3m,如果池底每 1m 的造价为 2 150 元,池壁每 1m 的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少 元?
3 2

2

知识拓展 知识拓展
1. 基本不等式的变形: ( a + b) 2 a+b 2 a 2 + b2 a 2 + b2 a+b 2 a 2 + b 2 _____ ;( ) ____ ; ab ___ ; ab ___( ) ; 2 2 2 2 2 (a + b)2 ____ 4ab
2. 一般地,对于 n 个正数 a1 , a2 ,L , an (n ≥ 2) ,都有, 当 a1 = a2 = L = an 时取等号) 3. a 2 + b2 + c 2 ≥ ab + ac + bc(a, b, c ∈ R ) 当且仅当 a = b = c 时取等号)
a1 + a2 + L an n ≥ a1 a2 L an (当且仅 n

巩固练习
1.设 x>0,y>0,x+y=1,则使 m ≥

x + y 恒成立的实数 m 的最小值是(
C.2 D2 2



A.

2

B.

2 2

+ 2.设 x,y 满足 x+4y=40,且想,且 x,y ∈ R ,则 lg x + lg y 的最大值是(



A.40

B。 10

C。4

D。 2 )

3.已知正项等差数列 {an } 的前 20 项和为 100,则 a5 a16 的最大值为( A.100 B。75 C。 50 ( ) D。 25

4.函数 f ( x ) =

x 的最大值为 x +1
1 2

A.

2 5

B。

C。

2 2

D。1

5. 设 x>0,则 y=3-3x-

1 的最大值是 x

6. 函数 f(x)=3x+lgx+

4 (0<x<1)的最大值为 lg x

7. 求 f ( x ) =

x2 ? 2 x + 6 (x>-1)的最小值。 x +1

3

8.某单位建造一间背面靠墙的小房,地面面积为 12 m 2 ,房屋正面每平方米的造价为 1200 元,房屋侧面每平方米的造价为 800 元,屋顶的造价为 5800 元. 如果墙高为 3 m ,且不计 房屋背面和地面的费用,问怎样设计房屋能使总造价最低?最低总造价是多少?

名题赏析
(2010 上海文数)21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第一个小题满分 6 分,第 2 个 上海文数)21.(本题满分 个小题, 小题满分 8 分。 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S n = n ? 5a n ?85 , n ∈ N (1)证明: {an ? 1} 是等比数列; (2)求数列 {S n } 的通项公式,并求出使得 S n +1 > S n 成立的最小正整数 n .
5 解析:(1) 当 n=1 时,a1=?14;当 n≥2 时,an=Sn?Sn?1=?5an+5an?1+1,所以 an ? 1 = (an ?1 ? 1) , 6
*

又 a1?1=?15≠0,所以数列{an?1}是等比数列;
?5? (2) 由(1)知: an ? 1 = ?15 ? ? ? ?6? ?5? Sn = 75 ? ? ? ?6?
n ?1 n ?1

?5? ,得 an = 1 ? 15 ? ? ? ?6?

n ?1

,从而

+ n ? 90 (n∈N*);
n?1

?5? 由 Sn+1>Sn,得 ? ? ?6?

<

2 2 , n > log 5 + 1 ≈ 14.9 ,最小正整数 n=15. 5 6 25

4


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