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人教新课标A版高一数学《必修5》§3.4基本不等式第1课时


第三章 不等式 §3.4 基本不等式 ab ? a?b 2 第1课时 目标定位 学习目标 1. 学会推导并掌握基本不等式 2. 理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的 不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个 数 相等; 目标定位 重、难点 重点:应用数形结合的思想理解基本不等式,并从不 同角度探索基本不等式 的证明过程; 难点:基本不等式 等号成立条件. 提出问题 1.如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标, 它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗 使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客.在这个 图案中既有一些相等关系,也有一些不等关系, 对这些等与不等的关系,我们作些相应研究. 2.基本不等式的几何背景 探究(一) 思考1:将图中的“风车”抽象成如 图,在正方形ABCD中有4个全等的 直角三角形.设直角三角形的两条直 角边长为a,b那么正方形ABCD和 EFGH的边长分别为多少? |a-b | a 2 ? b2 A D F GE H B C 思考2:图中正方形ABCD的面积与4个直角三角形的面积 之和有什么不等关系?由此可得到一个什么不等式? 【答案】a2+b2≥2ab A D F GE H B C 思考3:从图形分析,上述不等式在什么情况下取等号? 【答案】当直角三角形为等腰直角三角形,即 a=b时, a2+b2=2ab. D F GE H B A C 思考4:在上面的图形背景中,a,b都是正数,那么当a, b∈R时,不等式a2+b2≥2ab成立吗?为什么? 【答案】一般地,对于任意实数a,b,有: D F GE H B C a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立. A 思考5:特别地,如果a>0,b>0,我们用 a 、 b 分 别代替a、b ,可得什么不等式? a ? b ? 2 ab a?b ? 2 ab (a >0, b >0) 当且仅当a=b时等号成立. 思考6:不等式 a?b ? 2 ab (a >0, b >0) 称为基本不等式,它沟通了两个正数的和与积的不等 关系,在实际问题中有广泛的应用,你能用分析法证 明吗? a?b 思考7:我们称 和 ab 分别为a,b的算术平均数 2 和几何平均数,如何用文字语言表述基本不等式? 【答案】两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 探究(二) 基本不等式的变通 ab a?b 思考1:将基本不等式 ? 2 两边平方可得什么结论?它与不等式a2+b2≥2ab有什 么内在联系? a+ b 2 ( ) ? ab 2 思考2:在不等式a2+b2≥2ab两边同加上a2+b2可得什么结 论?所得不等式有什么特色? a 2 ? b2 a?b 2 ?( ) 2 2 它反映了两个实数的平方和与它们的和的平方的不等关 系,称为平方平均不等式,其数学意义是:两个实数的 平方的算术平均数不小于它们的算术平均数的平方. 思考3:将不等式 a ? b ? 2 ab (a ? 0, b ? 0) 两边同乘 以 ab ,可变通出一些什么结论? 2 ab ab ? a?b ab ? 2 1 1 ? a b 理论迁移 例1 已知a,b,c 为不全相等的正实数.求证a2+b2+c2 >ab+bc+ca. 证明: ∵a>0,b>0,c>0, ∴a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca. ∴2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca), 即a2+b2


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