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陕西省西安市昆仑中学2014届高三一轮复习讲义数学(理科)第13课时:幂函数


课题:幂函数
考纲要求:① 了解幂函数的概念.
1 1 ② 结合函数 y ? x, y ? x , y ? x , y ? , y ? x 2 的图像,了解它们的变化情况. x 2 3

教材复习 1. 形如

的函数叫做幂函数,其中

是自变量,

是常数,如 .

y ? x x ,y ? x 2 , y ? x 3 , y ? 2 x , y ?
2. 常见幂函数的图像和性质:
函数

1 ,y ? 2x3 其中是幂函数的有 x2

y?x
y

y ? x2
y

y ? x3
y

y ? x2
y

1

y ? x ?1
y

图像

O

x

O

x

O

x

O

x

O

x

定义域 值域 奇偶性 单调性 定点

3. 同一坐标系中五种幂函数的图像(右下图) : 4. 幂函数的特点:
① 幂函数的图像一定会出现在第一象限,一定不会出 现在第四象限,是否出现在第二、三象限,要看函 数的奇偶性; ② 幂函数的图像最多只能出现在两个象限内; ③ 如果幂函数的图像与坐标轴相交,则交点一定是坐 标原点. ④ ? 的正负: ? ? 0 时,图像过 ? 0, 0 ? 和 ?1,1? ,在第一 象限的图像上升;? ? 0 时,图像不过原点,在第一象限 的图像下降; ⑤曲线在第一象限的凹凸性: ? ? 1 时,曲线下凹; 0 ? ? ? 1 时,曲线上凸; ? ? 0 时,曲线下凹. 5. 在比较幂值大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助单调性进行比较.

典例分析:
题型一:幂函数的概念及解析式 问题 1. ?1? 下列函数是幂函数的序号是
① y ? 2x ;② y ? 2 x?1 ;③ y ? ? x ? 2 ? ;④ y ?
2

3

x 2 ;⑤ y ?

1 x

? 2 ? 已知幂函数 y ?

1 2 ? 1? D. 2 f ( x) 的图像经过点 ? 4, ? ,则 f (2) ? A. B. 4 C. 4 2 ? 2?

题型二:幂函数图像与解析式的对应 问题 2. ?1? 如图给出 4 个幂函数的图像,则图像与函数大致对应的是

A. ① y ? x ,② y ? x ,③ y ? x ,④ y ? x ?1
2

1 3

1 2

B. ① y ? x3 ,② y ? x2 ,③ y ? x 2 ,④ y ? x ?1 C. ① y ? x ,② y ? x ,③ y ? x ,④ y ? x ?1
2 3
1 2

1

y

y ? xa y ? xb y ? xc x

D. ① y ? x 3 ,② y ? x 2 ,③ y ? x2 ,④ y ? x ?1

1

1

1

? 2 ? 函数 y ? xa , y ? xb , y ? xc 的图像如右上图所示,
则实数 a, b, c 的大小是

O

1

A. c ? b ? a

B. a ? b ? c
1 ? 2

C. b ? c ? a
的大致图像是 y

D. c ? a ? b

? 3? ( 2013 上海春)函数 f ( x) ? x
y y

y

0

A.

x

0

B.

x

0

C.

x

0

D.

x

? 4 ? 幂函数 y ? xm ?2m?3 ? m ? Z ? 的图像如图所示,则 m 的值是
2

A. ?1 ? m ? 3

B. 0

C. 1

D. 2

? 5? 若幂函数 y ? ? m2 ? 3m ? 3? x m ?m?2 的图像不经过原点,求实数 m 的值.
2

? 6 ? 当 x ? ?1, ??? 时,函数 y ? xa 的图象恒在直线 y ? x 的下方,则 a 的取值范围是
A. 0 ? a ? 1 B. a ? 0 C. a ? 1 D. a ? 1

题型三:幂函数的性质及应用 问题 3. ?1? 下列说法正确的是 A. 幂函数一定是奇函数或偶函数 B. 任意两个幂函数的图像都有两个以上交点; C. 如果两个幂函数的图像有三个公共点,那么这两个幂函数相同 D. 图像不经过 ? ?1,1? 的幂函数一定不是偶函数

? 2 ? 已知幂函数 f ( x) 的图象过点 ?

? 1? 2, 2 ,幂函数 g ( x) 的图象过点 ? 2, ? , ? 4?

?

求它们的解析式,并比较它们的大小.

问题 4. ?1? 幂函数的图象过点 ? 3,
A.

?1, ???

B.

?0, ???
3

3 ,则它的单调增区间是 C. ? ??, ??? D. ? ??,0?

?

3 ?5 ? 2 ?5 ? 2 ?5 ? 2? 设 a ? ? ? ? , b ? ? ? , c ?? ? ? ,则 a, b, c 的大小关系是 ?5? ?5? ?5? A. a ? c ? b B. a ? b ? c C. c ? a ? b D. b ? c ? a

2

2

? 3? 已知幂函数 f ( x) ? xm ?2m?3 ? m ? N *? 的图像关于 y 轴对称,且在 ? 0, ??? 是减函数,
2

求满足 ? a ? 1?

?

m 3

? ? 3 ? 2a ?

?

m 3

的 a 的取值范围.

课后作业:
1. ( 2013 黄冈中学月考)右图为幂函数 y ? xn 在第一象限 的图像,则 c1 、 c 2 、 c3 、 c 4 的大小为

2. 幂 函 数 y ? m 2 ? 2m ? 2 x m A. m ? ?1 B. m ? 3

?

?

2

? m ?1

, 当 x ? ? 0, ??? 时 为 减 函 数 , 则 实 数 m 的 值 为

C.

m ? ?1 或 m ? 2 D. m ? 1 ? 3

3. 设

1 ?1? ?1? ? ? ? ? ? ? ? 1 ,则下列不等式成立的是 2 ?2? ?2?
B. a a ? ba ? ab C. ab ? a a ? ba D. ab ? ba ? a a

b

a

A. a a ? ab ? ba

4. 设 a ? 0.20.3 , b ? 0.30.3 , c ? 0.30.2 ,则 a, b, c 的大小关系是 A. a ? b ? c B. a ? b ? c C. a ? c ? b D. b ? a ? c

5. ( 2012 杭州模拟)若 ? a ? 1?

?

1 2

? ? 3 ? 2a ? 2 ,求 a 的取值范围.
?

1

走向高考:
1. ( 07 广东)若函数 f ( x) ? x3 ( x ? R) ,则函数 y ? f (? x) 在其定义域上是

A. 单调递减的偶函数 C. 单调递增的偶函数

B. 单调递减的奇函数 D. 单调递增的奇函数

2. ( 2012 陕西文)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为
A. y ? x ? 1 B. y ? ? x2 C. y ?

1 x

D. y ? x | x |

3. ( 2012 广东文)下列函数为偶函数的是
A. y ? sin x B. y ? x3 C. y ? e x D. y ? ln x 2 ? 1



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