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《名师伴你行》2016高考数学(理)二轮复习课件2-1-1函数与方程思想——求解数学问题最常用的工具_图文

?第二部分 提能增分篇 突破一 数学思想方法的贯通应用 第1讲 函数与方程思想——求解数学 问题最常用的工具 1.函数与方程思想的含义 (1)函数思想是指应用函数的概念和性质去分析和解决问题, 具体表现在:通过函数性质解题,应用映射和函数观点去观察和 分析问题,有关不等式或讨论方程解的个数,求参数的范围等问 题通过构造函数运用函数性质求解. (2)方程思想是指应用变量间相等关系,建立方程(或方程组) 后解答问题,如:将函数与方程间等价转化,通过等价转化为关 于某变量的方程后达到解决问题的目的. 2.函数与方程思想的常见问题 (1)函数与其图象可视为二元方程与曲线的关系. (2)方程中的参变量必要时可视为其中某个量的函数, 从而利 用函数性质研究. (3)解方程或不等式时可视其结构联想到相关函数图象或性 质给予解决. (4)数列的相关问题可视为函数问题或转化为方程和不等式 解决. 一、函数与方程思想的简单应用 [典例 1] 如果方程 cos x-sin x=a 2 ? π? 在?0,2?上有解, 则 ? ? a的 取值范围是________. 答案:(-1,1] 解析:解法一:设 f(x)=-cos x+sin 2 ? ? π? ? x?x∈?0,2??,显然当且 ? ?? ? 仅当 a 属于 f(x)的值域时, a=f(x)有解. ∵f(x)=-(1-sin2x)+sin ? x=?sin ? ? 1?2 5 π? x+2? - ,且由 x∈?0,2?知,sin x∈(0,1],易求得 f(x)的 4 ? ? ? 值域为(-1,1]. 故 a 的取值范围是(-1,1]. 解法二:令 t=sin x,由 ? π? x∈?0,2?,可知 ? ? t∈(0,1]. 将方程变为 t2+t-1-a=0. 依题意,该方程在(0,1]上有解. 设 f(t)=t2+t-1-a, 1 其图象是开口向上的抛物线,对称轴 t=-2,如图所示. 因此 f(t)=0 ? ?f?0?<0, 在(0,1]上有解等价于? ? ?f?1?≥0. ? ?-1-a<0, 即? ? ?1-a≥0, ∴-1<a≤1.故 a 的取值范围是(-1,1]. 名师说法 研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题, 通常有两种处理思路:一是分离参数构建函数,将方程有解转化 为求函数的值域;二是换元,将复杂方程问题转化为熟悉的二次 方程, 进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加 以解决. [即时应用] 1. 若 a,b 是正数,且满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围 为________. 答案:[9,+∞) a+3 解析:解法一:∵ab=a+b+3,a≠1,∴b= , a-1 a+3 而 b>0,∴ >0,即 a>1 或 a<-3. a-1 又 a>0,∴a>1,即 a-1>0, a+3 ?a-1?2+5?a-1?+4 4 ∴ab=a· = =(a-1)+ +5≥9, a-1 a-1 a-1 当且仅当 a-1= 4 ,即 a=3 时取等号. a-1 ∴ab 的取值范围是[9,+∞). 解法二:若设 ab=t,则 a+b=t-3, ∴a,b 可看成方程 x2-(t-3)x+t=0 的两个正根, ?Δ=?t-3?2-4t≥0, ? 从而有?a+b=t-3>0, ?ab=t>0, ? 解得 t≥9,即 ab≥9, ∴ab 的取值范围是[9,+∞). ?t≤1或t≥9, ? 即?t>3, ?t>0, ? 二、函数与方程思想的综合应用 [典例 2] +m. (1)求 f(x)在区间[t,t+1]上的最大值 h(t); (2)是否存在实数 m 使得 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且 只有三个不同的交点?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在, 说明理由. 已知函数 f(x)=-x2+8x,g(x)=6ln x [规范解答] 解:(1)f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16. 当 t+1<4,即 t<3 时,f(x)在[t,t+1]上单调递增, h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7; 当 t≤4≤t+1,即 3≤t≤4 时,h(t)=f(4)=16; 当 t>4 时,f(x)在[t,t+1]上单调递减,h(t)=f(t)=-t2+8t. ?-t2+6t+7,t<3, ? 综上,h(t)=?16,3≤t≤4, ?-t2+8t,t>4. ? (2)函数 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的 交点,即函数 φ(x)=g(x)-f(x)的图象与 x 轴的正半轴有且只有三 个不同的交点. ∵φ(x)=x2-8x+6ln x+m, 2 6 2x -8x+6 ∴φ′(x)=2x-8+x = x 2?x-1??x-3? = (x>0), x 当 x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)是增函数; 当 x∈(1,3)时,φ′(x)<0,φ(x)是减函数; 当 x∈(3,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)是增函数; 当 x=1 或 x=3 时,φ′(x)=0. ∴φ(x)max=φ(1)=m-7,φ(x)min=φ(3)=m+6ln 3-15. ∵当 x 充分接近 0 时,φ(x)<0,当 x 充分大时,φ(x)>0. ∴要使 φ(x)的图象与 x 轴正半轴有三个不同的交点, ? ?φ?x?max=m-7>0, 必须且只需? ? ?φ?x?min=m+6ln 3-15<0, 解得 7<m<15-6ln 3, 所以存在实数 m,使得函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象有且只 有三个不同的交点,m 的取值范围为(7,15-6ln 3). [即时应用] x2 y2 3 2.已知椭圆 C 的方程是a2+b2=1(a>b>0),离心率为 3 , ? 且经过点? ? ? ? 6 ? , 1 ?.


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