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【数学】1.3.1 导数在研究函数中的应用——单调性 课件(苏教版选修2-2)


第1章 导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用 ——单调性 一、知识回顾: 形 变量变化的快慢 数 曲线陡峭程度 函数的变化趋势 函数的变化率 导 数 思考: 刻画函数变化趋势的是否还有其他… 函数单调性 函数 y = f (x) 在给定区间 G 上,当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1< x 2 时 1)都有 f ( x 1 ) < f ( x 2 ), 则 f ( x ) 在G 上是增函数; 2)都有 f ( x 1 ) > f ( x 2 ), 则 f ( x ) 在G 上是减函数; y G=(a,b) y o a b x o a b x 导数与函数的单调性有什么关系? 二、问题探究 讨论函数y=x2-4x+3的单调性. 解:取x1<x2∈R, f(x1)-f(x2)=(x12-4x1+3)-(x22-4x2+3) =(x1+x2)(x1-x2)-4(x1-x2) = (x1-x2)(x1+x2-4) 则当x1<x2<2时, x1+x2-4<0, f(x1)>f(x2), 那么 y=f(x)单调递减。 当2<x1<x2时, x1+x2-4>0, f(x1)<f(x2), 那么 y=f(x)单调递增。 综上 y=f(x)单调递增区间为(2,+∞) y=f(x)单调递减区间为(-∞,2)。 问题探究 y 函数y=x2-4x+3的图象: 0 2 x 单增区间:(2,+∞). 单减区间:(-∞,2). 再观察函数y=x2-4x+3的图象 总结: 函数在区间 y 0 . . . . . .. 2 (-∞,2)上单调 递减,切线斜率小于 0,即其导数为负; 在区间(2,+∞) x 上单调递增,切线斜 率大于0,即其导数 为正. 三、构建数学 一般地,对于给定区间上的函数 f(x),如果对于属于这个区间的任意两 个自变量的值x1,x2,当x1<x2时, 若f(x1)<f(x2),那么f(x)在这个 区间上是增函数.即x1-x2与f(x1)-f(x2) 同号,即: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?y ? 0也即 ?0 x1 ? x2 ?x 构建数学 增函数时有: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?y ? 0也即 ?0 x1 ? x2 ?x 减函数时有: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?y ? 0也即 ? 0 x1 ? x2 ?x 构建数学 结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间 内可导,则函数在该区间 如果f′(x)>0, 则f(x)为增函数; 如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数. 注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0, 则f(x)为常数函数. 忆一忆 基本求导公式: (1)(kx ? b)? ? k , 特殊的:C? ? 0(C为常数) ? ' ? ?1 (2)( x ) ? ?x (?为常数) (3)(a ) ? a lna(a ? 0, 且a ? 1) x ' x 1 (4)(log a x ) ? (a ? 0, 且a ? 1) xlna ' (5)(e ) ? e x ' ' x (7)(sinx ) ? cosx (8)(cosx) ? ?sinx 1 (6)(lnx) ? x ' ' 四、数学应用 例1.求函数y=x2(1-x)3的单调区间. 解:y′=[x2(1-x)3]′=2x(1-x)3+x2· 3(1-x)2· (-1) =x(1-x)2[2(1-x)-3x]=x(


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