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高二数学选修2-2综合测试题(含答案)


高二数学选修 2-2 综合测试题
一、选择题:
1 ? 3i ? (1 ? i ) 4 ,则复数 Z 对应点落在( ) 3?i A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 2、在古希腊,毕达哥拉斯学派把 1,3,6,10,15,21,28,…这些数叫做三角形数,因为这 些数对应的点可以排成一个正三角形

1、 i 是虚数单位。已知复数 Z ?

1 3 则第 n 个三角形数为( A. n

6

10 C. n 2 ? 1

15 D.
n( n ? 1) 2

) n( n ? 1) B. 2

3、求由曲线 y ? ? x ,直线 y ? ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积错误 的为( .. A. ? (2 ? x ? x )dx
0 4



B. ?

4

0

xdx

C. ? (2 ? y ? y 2 )dy D. ? (4 ? y 2 )dy
?2 ?2

2

0

4、设复数 z 的共轭复数是 z ,且 z ? 1,又 A(?1, 0) 与 B(0,1) 为定点,则函数 f ( z ) ? ︱ ( z ? 1)
( z ? i) ︱取最大值时在复平面上以 z ,A,B 三点为顶点的图形是

A,等边三角形

B,直角三角形

C,等腰直角三角形

D,等腰三角形

5、函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x ? R , f ' ( x) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为
(A)(-1,1) (B)(-1,+∞) (c)(-∞,-l) (D)(-∞,+∞)

6、用数学归纳法证明 34n?1 ? 52n?1 (n ? N) 能被 8 整除时,当 n ? k ? 1 时,对于 34( k ?1) ?1 ? 52( k ?1) ?1 可变形为
· 34 k ?1 ? 52 · 52 k C. 34 k ?1 ? 52 k ?1 D. 25(34k ?1 ? 52k ?1 ) A. 56 · 34k ?1 ? 25(34k ?1 ? 52k ?1 ) B. 34

7、设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x <0 时,f ′(x)g(x)+

f(x)g′(x)>0,且 g (?3) ? 0 ,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是(
A. (-3,0)∪(3,+∞) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) B. D. (-3,0)∪(0,3) (-∞,-3)∪(0,3)
1



? 1 ? 8、已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx 的图象在点 A(1, f (1)) 处的切线的斜率为 3,数列 ? ? ? f ( n) ?
的前 n 项和为 Sn ,则 S2011 的值为(
A.



2008 2009 2010 2011 B. C. D. 2009 2010 2011 2012 3 2 2 9、设函数 f(x)=kx +3(k-1)x ?k +1 在区间(0,4)上是减函数,则 k 的取值范围是 ( ) 1 1 1 1 A. k ? B. 0 ? k ? C. 0 ? k ? D. k ? 3 3 3 3 3 10、函数 y ? f ( x) 在定义域 (? ,3) 内可导,其图象如图所示,记 y ? f ( x) 的导函数为 y ? f ?( x) , 2

则不等式 f ?( x) ? 0 的解集为
? 1 ? A. ? ? ,1? ? ? 2,3? ? 3 ? ? 4 8? B. ? ?1, 2? ? ? , ? ? 3 3? ? 3 1? C. ? ? , ? ? ?1, 2? ? 2 2?





? 3 ? ? 1 4 ? ?8 ? D. ? ? , ?1? ? ? , ? ? ? ,3 ? ? 2 ? ? 2 3? ?3 ?
11、 已知函数 f ( x) ? A.
2 3 1 3 x ? ax 2 ? bx ? 1(a、b ? R) 在区间 [-1,3]上是减函数,则 a ? b 的最小值是 3 3 B. C.2 D. 3 2

12、函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9 x ? 3, 若函数 g ( x) ? f ( x) ? m在x ? [?2,5] 上有 3 个零点,则 m 的取值 范围为( A. (-24,8) ) B. (-24,1] C.[1,8] D.[1,8)

二、填空题: 13 、 直线 l 过点 (?1, 3) ,且与曲线 y ? 为 ;
1 在点 (1, ? 1) 处的切线相互垂直, ,则直线 l 的方程 x?2

14、如图,在平面直角坐标系 xoy 中,设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0, a), B(b,0),C (c,0) ,点 P (0, p ) 在线段 AO 上的一点(异于端点) ,这里 a, b, c, p 均为非零实数,设直线 BP, CP 分别与边 AC, AB
2

1 1? ? 1 1? 交于点 E , F ,某同学已正确求得直线 OE 的方程为 ? ,请你完成直线 OF 的 ? ? ?x ? ? ? ? ? ?y ? 0 ?b c? ? p a? 方程: ( )。

15 、设 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) ( a, b, c 是两两不等的常数 ), 则

a b c 的值是 ? / ? / f (a) f (b) f (c)
/

______________. 16、将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规律,第 n 行( n ? 3 )从左向右的第 3 个数
为 F B O y A P E x C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ………………

14 题 三、解答题:

16 题

17.复平面内点 A 对应的复数是 1,过点 A 作虚轴的平行线 l,设 l 上的点对应的复数为 z,求 所对应的点的轨
迹.

1 z

18、已知函数 f ( x ) ?

1 ? m ? ln x , m?R . x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)若 ln x ? ax ? 0 在 ( 0 , ? ? ) 上恒成立,求 a 的取值范围.

? ? 19.设 f ( x) ? ? x ? ? x ? ? ?ax ? ? ? (1)若 f ( x) 在 ( , ??) 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; ?

(2)当 a=1 时,求 f ( x) 在 [?, ?] 上的最值.

3

20.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格 x(单 a 位:元/千克)满足关系式 y ? ? 10( x ? 6) 2 ,其中 3<x<6,a 为常数,已知销售价格为 5 x ?3 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值 (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得的 利润最大.

21.设 a ≥ 0 , f ( x) ? x ? 1 ? ln 2 x ? 2a ln x( x ? 0) . (1)令 F ( x) ? xf ?( x) ,求 F ( x) 在 (0, ? ∞) 内的极值; (2)求证:当 x ? 1 时,恒有 x ? ln 2 x ? 2a ln x ? 1 .

3 22.设函数 f ( x) ? x 3 ? . x (1)求 f(x)的单调区间; 1 (2)当 x ? [?2,? ]时, 对任意实数k ? [?1,1], f ( x) ? ?2 ? (k ? 4)? ? 2k 恒成立,求实数 λ 的取 2 值范围.

4

数 学 试 题 答 案 一、选择题 CBCCB ADDDA 二、填空题 13.
x? y?4?0

CD

?1 1? ? 1 1? 14. ? ? ? x ? ? ? ? y ? 0 ?c q? ? p a?

15. 0

16.

n2 ? n ? 6 2

三、解答题 17、分析:本题考查复平面上点的轨迹方程.因为在复平面内点 A 的坐标为(1,0),l 过点 A 且平行于虚轴,
所以直线 l 上的点对应的复数 z 的实部为 1,可设为 z=1+bi(b∈R),然后再求

1 所对应的点的集合. z

解:如下图.因为点 A 对应的复数为 1,直线 l 过点 A 且平行于虚轴,所以可设直线 l 上的点对应的复数 为 z=1+bi(b∈R). y l

O
因此

1? bi 1 b 1 1 1 1 b ? ? ? i .设 =x+yi(x、y∈R),于是 x+yi= i. ? ? 2 2 2 2 1? b 1? b z z 1 ? bi 1 ? b 1 ? b 1 ? b2
f?( x)? m ? ln x x2 .

x A ( 1 , 0 )

18.解(Ⅰ)由导数运算法则知, 令 f ? ( x ) ? 0 ,得 x ? e m .

当 x ? ( 0 , em ) 时, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递增; 当 x ? ( em , ? ? ) 时, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递减. 故当 x ? e m 时, f ( x ) 有极大值,且极大值为 f ( em ) ? e? m . (Ⅱ)欲使 ln x ? ax ? 0 在 ( 0 , ? ? ) 上恒成立,只需
( 0 , ? ? ) 上的最大值小于 a .
5

ln x ln x 在 ? a 在 ( 0 , ? ? ) 上恒成立,等价于只需 x x

设g(x)?
1 e

ln x 1 (x?0) ,由(Ⅰ)知, g ( x ) 在 x ? e 处取得最大值 . x e 1 e

所以 a ? ,即 a 的取值范围为 ( , ? ? ) .
1 1 19.解: (1)由 f ?( x) ? ? x 2 ? x ? 2a ? ?( x ? ) 2 ? ? 2a 2 4 2 2 2 当 x ? [ , ??)时, f ?( x)的最大值为f ?( ) ? ? 2a; 3 3 9 2 1 令 ? 2a ? 0, 得a ? ? 9 9 1 2 所以,当 a ? ? 时, f ( x)在( , ??) 上存在单调递增区间 9 3 ? ? (2)当 a=1 时, f ( x) ? ? x ? ? x ? ? ? x ? ?
f '( x) ? ? x +x+2,令 f '( x) ? ? x +x+2=0 得 x1=-1,x2=2
2 2

因为 f ( x)在(1, 2) 上单调递增,在 (2, 4) 上单调递减. 所以在[1,4]上的 f ( x) 在[1,4]上的最大值为 f (2) ?
13 16 , f (4) ? ? 6 3 16 最小值为 f (4) ? ? 3 10 . 3

因为 f (1) ?

6

21.(1)解:根据求导法则有 f ?( x) ? 1 ? 故 F ( x) ? xf ?( x) ? x ? 2 ln x ? 2a,x ? 0 , 于是 F ?( x) ? 1 ? 列表如下:
2 x?2 ? ,x ? 0 , x x

2 ln x 2a ? ,x ? 0 , x x

x
F ?( x)

(0, 2)

2 0 极小值 F (2)

(2, ? ∞)

?


?


F ( x)

所以, F ( x) 在 x ? 2 处取得极小值 F (2) ? 2 ? 2 ln 2 ? 2a . (2)证明:由 a ≥ 0 知, F ( x) 的极小值 F (2) ? 2 ? 2 ln 2 ? 2a ? 0 . 于是由上表知,对一切 x ? (0, ? ∞) ,恒有 F ( x) ? xf ?( x) ? 0 .

7

从而当 x ? 0 时,恒有 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (0, ? ∞) 内单调增加. 所以当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 x ? 1 ? ln 2 x ? 2a ln x ? 0 . 故当 x ? 1 时,恒有 x ? ln 2 x ? 2a ln x ? 1 . 22.解:(1)定义域: (-∞,0)∪(0,+∞)
f ?( x) ? 3 x 2 ? 3 令 f′(x)>0,则 x<-1 或 x>1, x2 ,

∴f(x)的增区间为(-∞,-1),(1,+∞) 令 f′(x)<0,则-1<x<1, ∴f(x)的减区间为(-1,0),(0,1) 3 (2)令 f ?( x) ? 3 x 2 ? 2 =0,得 x=±1 x 1 ∵x∈[-2,-1]时,f(x)为增函数;x∈[-1,- ]时,f(x)为减函数. 2 ∴x=-1 时,f(x)max=f(-1)=-4 ∴由题意得 λ 2+(k-4) λ -2k>-4 对任意 k∈[-1,1]恒成立 即 k∈[-1,1]时(λ -2)k+λ 2-4λ +4>0 恒成立.令 g(k)=( λ -2)k+λ 2-4λ +4,
g (?1) ? 0 即可, ∴ ? 只需 ? ? ? ? g (1) ? 0

?(?1)(? ? 2) ? ?2 ? 4? ? 4 ? 0
2 ? ?(? ? 2) ? 1 ? ? ? 4? ? 4 ? 0

解得 λ <1 或 λ >3 即为所求

8


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