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2018版高中数学第一章统计1.8最玄乘估计学业分层测评


1.8 最小二乘估计
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 x =3, y =3.5,则由该观 测数据算得的线性回归方程可能是( A.y=0.4x+2.3 C.y=-2x+9.5 ) B.y=2x-2.4 D.y=-0.3x+4.4

【解析】 线性回归方程一定经过样本点的中心( x , y ),将( x , y )逐个代入验证 只有 A 项符合. 【答案】 A 2.已知变量 x 和 y 满足关系 y=-0.1 x+1,变量 y 与 z 正相关.下列结论中正确的 是( ) A.x 与 y 负相关,x 与 z 负相关 B.x 与 y 正相关,x 与 z 正相关 C.x 与 y 正相关,x 与 z 负相关 D.x 与 y 负相关,x 与 z 正相关 【解析】 因为变量 x 和 y 满足关系 y=-0.1 x+1,其中-0.1<0,所以 x 与 y 成负 相关;又因为变量 y 与 z 正相关,不妨设 z=ky+b(k>0),则将 y=-0.1x+1 代入即可得 到:

z=k(-0.1x+1)+b=-0.1 kx+(k+b),所以-0.1 k<0,所以 x 与 z 负相关,综上
可知,应选 A. 【答案】 A 3.在一次试验中,测得(x,y)的四组值分别为(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),则 y 与

x 之间的线性回归方程为(
A.y=x+1 C.y=2x+1 【解析】

) B.y=x+2 D.y=x-1

x=

1+2+3+4 2+3+4+5 =2.5, y = =3.5,因为回归方程过样本中心 4 4

( x , y ),故 A 正确. 【答案】 A 4.已知 x,y 的取值如下表所示:

1

x y

0 2.2

1 4.3

3 4.8 )

4 6.7

若 y 与 x 线性相关,且 y=0.95x+a,则 a=( A.2.2 【解析】 B.2.9 C.2.8 D.2.6

x=

0+1+3+4 =2, 4

y=

2.2+4.3+4.8+6.7 =4.5, 4

又回归直线经过( x , y ), 所以 4.5=0.95×2+a,a=2.6. 【答案】 D 5.有人收集了春节期间平均气温 x(单位:℃)与某取暖商品的销售额 y(单位:万元) 的有关数据如下表: 平均气温 x(℃) 销售额 y(万元) -2 20 -3 23 -5 27 -6 30

根据以上数据,用线性回归的方法,求得销售额 y 与平均气温 x 之间的线性回归方程 y =a+bx 的系数 b=-2.4.则预测平均气温为-8 ℃时,该商品的销售额为( A.34.6 万元 C.36.6 万元 【解析】 由已知,得 x = B.35.6 万元 D.37.6 万元 -2-3-5-6 =-4, 4 )

y=

20+23+27+30 =25, 4

所以 a= y -b x =25+2.4×(-4)=15.4, 即线性回归方程为 y=15.4-2.4 x, 当 x=-8 时,y=34.6. 【答案】 A 二、填空题 6.某地区近 10 年居民的年收入 x 与支出 y 之间的关系大致符合 y=0.8x+0.1(单位: 亿元).预计今年该地区居民收入为 15 亿元,则年支出估计是____________亿元. 【解析】 由题意知,y=0.8×15+0.1=12.1(亿元), 即年支出估计是 12.1 亿元. 【答案】 12.1 7.调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单位:万元),调查

2

显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系, 并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程:

y=0.254x+0.321.由线性回归方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年饮食支出平均增加
________万元. 【解析】 [0.254(x+1)+0.321]-[0.254x+0.321]=0.254(万元). 【答案】 0.254 8.对一质点的运动过程观测了 4 次,得到如下表所示的数据,则刻画 y 与 x 的关系的 线性回归方程为________.

x y
【解析】

1 1
4

2 3

3 5
4

4 6

x =2.5, y =3.75,∑xiyi=46,∑x2 i=30,
i=1 i=1

b=

46-4×2.5×3.75 =1.7,a= y -b x =-0.5. 2 30-4×2.5

所以所求的线性回归方程为 y=1.7x-0.5. 【答案】 y=1.7x-0.5 三、解答题 9.假设关于某设备的使用年限 x(年)和所支出的维修费用 y(万元)有如下的统计资料: 使用年限 x 维修费用 y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0

若由资料知 y 对 x 呈线性相关关系.试求: (1)线性回归方程 y=bx+a; (2)估计使用年限为 10 年时,维修费用是多少? 【解】 (1)制表如下:

i xi yi xiyi x2 i

1 2 2.2 4.4 4

2 3 3.8 11.4 9
5 2

3 4 5.5 22.0 16

4 5 6.5 32.5 25
5

5 6 7.0 42.0 36

合计 20 25 112.3 90

x =4, y =5,∑xi=90,∑xiyi=112.3
i=1 i=1

112.3-5×4×5 12.3 于是有 b= = =1.23. 2 90-5×4 10

a= y -b x =5-1.23×4=0.08.
故线性回归方程是 y=1.23x+0.08.
3

(2)根据线性回归方程是 y=1.23x+0.08, 当 x=10(年)时,y=1.23×10+0.08=12.38(万元), 即估计使用年限为 10 年时,维修费用是 12.38 万元. 10.从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位:千元)与月储
10 10 10 10 2

蓄 yi(单位:千元)的数据资料,算得∑xi=80,∑yi=20,∑xiyi=184,∑xi=720.
i=1 i=1 i=1 i=1

(1)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y=bx+a; (2)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (3)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.
n

∑xiyi-n x 附:线性回归方程 y=bx+a 中,b=
i=1 n
2 2

y
,a= y -b x ,其中 x , y 为

∑xi-n x
i=1

样本平均值.
n

1 80 【解】 (1)由题意知,n=10, x = ∑xi= =8, ni=1 10
n

y = ∑yi= =2, ni=1 10
n

1

20

又 lxx=∑xi-n x =720-10×8 =80,
i=1 n

2

2

2

lxy=∑xiyi-n x
i=1

y =184-10×8×2=24,

由此得 b=

lxy 24 = =0.3,a= y -b x =2-0.3×8=-0.4. lxx 80

故所求回归方程为 y=0.3x-0.4. (2)由于变量 y 的值随 x 的值增加而增加(b=0.3>0),故 x 与 y 之间是正相关. (3)将 x=7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 y=0.3×7-0.4=1.7(千元). [能力提升] 1.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 2 26 3 39 4 49 5 54

根据上表可得回归方程 y=bx+a 中的 b 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销 售额为( ) B.65.5 万元
4

A.63.6 万元

C.67.7 万元 【解析】 ∵ x =

D.72.0 万元 2+3+4+5 7 26+39+49+54 = ,y= =42. 4 2 4

7 ∴42=9.4× +a,∴a=9.1, 2 ∴回归方程为 y=9.4x+9.1, 当 x=6 时,y=9.4×6+9.1=65.5(万元). 【答案】 B 2.已知 x 与 y 之间的几组数据如下表:

x y

1 0

2 2

3 1

4 3

5 3

6 4

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 y=bx+a.若某同学根据上表中的前两组 数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为 y=b′x+a′,则以下结论正确的是( A.b>b′,a>a′ C.b<b′,a>a′ B.b>b′,a<a′ D.b<b′,a<a′ )

2-0 【解析】 b′= =2,a′=0-2×1=-2, 2-1
6

13 ∑xiyi=0+4+3+12+15+24=58, x =3.5, y = . 6 i=1
6

∑xi=1+4+9+16+25+36=91,
i=1

2

13 58-6×3.5× 6 5 ∴b= = . 2 91-6×3.5 7

a= - ×3.5= - =- .
∴b<b′,a>a′. 【答案】 C 3.期中考试后,某校高三(9)班对全班 65 名学生的成绩进行分析,得到数学成绩 y 对 总成绩 x 的回归直线方程为 y=6+0.4x.由此可以估计:若两个同学的总成绩相差 50 分, 则他们的数学成绩大约相差________分. 【解析】 令两人的总成绩分别为 x1、x2,则对应的数学成绩估计为 y1=6+0.4x1,y2 =6+0.4x2,所以|y1-y2|=|0.4(x1-x2)|=0.4×50=20. 【答案】 20 4.研究某设备的使用年限 x 与维修费用 y 之间的关系,测得一组数据如下(y 值为观察

13 6

5 7

13 6

5 2

1 3

5

值): 年限 x(年) 维修费用 y(万元) 2 3 3 4.4 4 5 5 5.6 6 6.2

由数据可知 y 与 x 有明显的线性相关关系,可以用一条直线 l 的方程来反映这种关系. (1)将表中的数据画成散点图; (2)如果直线 l 过散点图中的最左侧点和最右侧点,求出直线 l 的方程; (3)如果直线 l 过散点图中的中间点(即点(4,5)), 且使维修费用的每一个观察值与直线

l 上对应点的纵坐标的差的绝对值之和最小,求出直线 l 的方程.

图 1?8?1 【解】 (1)如下图所示.

(2)因为散点图中的最左侧点和最右侧点分别是(2,3),(6,6.2),

y-3 x-2 所以直线 l 的方程是 = , 6.2-3 6-2
即 4x-5y+7=0. (3)由题意可设直线 l 的方程为 y=k(x-4)+5. 则维修费用的每一个观察值与直线 l 上对应点的纵坐标的差的绝对值之和

S(k)=|3-(-2k+5)|+|4.4-(-k+5)|+|5.6-(k+5)|+|6.2-(2k+5)|=2|k-
1|+4|k-0.6| 4.4-6k,k≤0.6, ? ? =?2k-0.4,0.6<k≤1, ? ?6k-4.4,k>1. 因为函数 S(k)的单调递增区间是(0.6,+∞),单调递减区间是(-∞,0.6),所以当 k =0.6 时,S(k)取得最小值 0.8,此时直线 l 的方程是 3x-5y+13=0.

6


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