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函数定义域和值域的求法


函数与基本初等函数
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函数的定义域与值域
课前热身 激活思维
2 ? 1 ?1 ? x , x ? 1, ) =___________. 1. (2008·山东卷文改编)设函数 f(x)= ? 则 f( 2 f ? 2? ? ? x ? x ? 2, x ? 1,

[答案]

15 16
1 1 1 1 1 15 = ,f( )=1-( )2= .∴ f ( )= f (2) 4 f (2) 4 4 16

[解析]∵ f(2)=22+2-2=4,∴

15 . 16
2. ( 2009·江西卷文)函数 y= [答案]

? x 2 ? 3x ? 4 x

的定义域为___________.

{x|-4≤x<0 或 0<x≤1}

[解析]由 ?

? x ? 0,
2 ?? x ? 3 x ? 4 ? 0,

得 ? 4 ? x ? 0或0 ? x ? 1 .

3. (2008·江西卷文)若函数 y=f(x)的定义域是[0,2] ,则函数 g(x)= [答案] [0,1)

f (2 x) 的定义域是___________. x ?1

[解析]因为 f(x)的定义域为[0,2] ,所以对于 g(x)中,0≤2x≤2 且 x≠1,故 x∈[0,1).

4. 函数 y=

x2 的定义域是___________,值域是___________. x2 ? 1

[答案]R, [0,1)

[解析]定义域是 R.当 x=0 时,y=0;当 x≠0 时,

y?

x2 1 1 ? . .∵x2>0, 2 2 x ?1 1? 1 x x2

>0,∴1+

1 x2

>1,

∴ 0<

1 1 ? x2

<1.∴0<y<1,即原函数的值域是[0,1).

知识梳理 1. 函数的定义域 (1) 函数的定义域是构成函数的非常重要的部分,若没有标明定义域,则认为定义域是使得函数解 析式有意义的 x 的取值范围. (2) 分式中分母应不等于 0,偶次根式中被开方数应为非负数,奇次根式中,x∈R,零指数幂中底数 不等于 0,负分数指数幂中底数应大于 0. (3) 对数式中,真数必须大于 0,底数必须大于 0 且不等于 1,含有三角函数的角要使该三角函数有 意义等. (4) 实际问题中还需考虑自变量的实际意义,若解析式由几个部分组成,则定义域为各个部分相应 集合的交集. 2. 函数的值域 求函数值域比求函数定义域要复杂得多,求函数值域常和求函数最值问题紧密相联,历届高考试卷中 一般都出现,要适当注意.不过从近年的出题趋势来看,函数的值域问题考查的一般不是太难. 求函数值域主要有以下一些方法: (1) 函数的定义域与对应法则直接制约着函数的值域,对于一些比较简单的函数可直接通过观察法 求得值域. (2) 二次函数或可转化为二次函数形式的问题,常用配方法求值域. (3) 分子、分母是一次函数或二次齐次式的有理函数常用分离变量法求值域;分子、分母中含有二 次项的有理函数,常用判别式法求值域(主要适用于定义域为 R 的函数). (4) 单调函数常根据函数的单调性求得值域. (5) 很多函数可拆配成基本不等式的形式,利用基本不等式求值域. (6) 有些函数具有明显的几何意义,可根据解析几何的知识利用数形结合的方法求值域. (7) 只要是能求导数的函数常可用导数的方法求值域.

课堂导学 知识点 1 求相关函数的定义域 求下列函数的定义域:

【例 1】

(1) f(x)=

3x 2 1? x

+lg(3x+1);

(2) f(x)=

2x ? x2 +(3-2x)0. 1g (2 x ? 1)

[解答] (1) 由题意可得 ?

?1 ? x ? 0, 1 ? 1 ? 解之得 ? <x<1,即原函数的定义域为 ? ? ,1 ? . 3 ? 3 ? ?3x ? 1 ? 0,

(2)

?0 ? x ? 2, ? ?2 x ? x 2 ? 0, ?x ? 1 , ? ?2 x ? 1 ? 0, ? 2 解之得 ? 由题意可得 ? ?2 x ? 1 ? 1, ? x ? 1, ? ? 3 ?3 ? 2 x ? 0, ?x ? , ? 2



1 3 <x≤2 且 x≠1 和 , 2 2
?1 ? ? 3? ?3 ? ,1? ? ?1, ? ? ? , 2 ? . ?2 ? ? 2? ?2 ?

∴原函数的定义域为 ?

[精要点评]会求函数的定义域是正确求解一切函数问题的基础,求解时要注意找全限制条件,并正确取 出各部分的公共部分,且最后结论一定要写成集合或区间的形式.

【变式拓展】

求函数 f(x)=

25 ? x 2

+lgsinx 的定义域.

[解答]由题意可得 ?

?25 ? x 2 ? 0, ?sin x ? 0,

??5 ? x ? 5 解之得 ? , ? 2 k? ? x ? 2 k? ? ? , k ? z

∴原函数的定义域为[-5,-π )∪(0,π ). 【备讲例题】已知函数 f(x)的定义域为

1? ? 1 1? ? ? , ? ,求函数 y ? f ? x 2 ? x ? ? 的定义域. ? 2? ? ? 2 2?

?1 ? 5 2 ? 1 2 1 1 ? x ? 1? 5 ? ?x -x-1 ? 0, ? , [解答]∵- ≤x -x- ≤ ? ? ,? 2 2 2 2 2 2 x ? x ? 0 ? ? ? x ? 0或x ? 1, ?

?1 ? 5 ? ? 1 ? 5 ? , 0 ? ? ?1, ?所求函数的定义域是 ? ?. 2 ? ? 2 ? ?
知识点 2 函数的定义域的应用

【例 2】若函数

y ? (a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ?

2 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围. a ?1

[思维引导] 可先求出使函数有意义的不等式(组),再对其中的参数进行分类讨论使问题获解. [解答]由题意知当 x∈R 时, (a2-1)x2+(a-1)x2+

2 ≥0 恒成立. a ?1
时, (a2-1)x2+



? a 2 ? 1 ? 0, 2 当 a -1=0,即 ? 时,得 a=1,此时有(a2-1)x2+(a-1)x+ =1.可知当 x∈R a ?1 ?a ? 1 ? 0
2

(a-1)x+

2 ≥0 恒成立. a ?1



?a 2 ? 1 ? 0, ? a 2 ? 1, ? ? 当 a2-1≠0,即 ? 时,有 解得 1<a≤9. ? 2 2 2 2 ?0 ? ? a ? 10a ? 9 ? 0, ?? ? (a ? 1) ? 4( a ? 1)? a ?1 ?
综上所述,使得函数 y 的定义域为 R 的 a 的取值范围是[1,9]. [精要点评]解决本题关键的是理解函数的定义域是 R 的意义,并会对函数式进行分类讨论,特别要

注意不要遗漏对第一种情况 a2-1=0 的讨论. 【变式拓展】已知函数 f(x)=

3x ? 1 的定义域是 R,求实数 a 的取值范围. ax ? ax ? 3
3

2

[解答]由 a=0 或 ?

? a ? 0,
2 ? ? ? a ? 4a ? (?3) ? 0,

解得-12<a ? 0,即 a∈(-12,0].

【备讲例题】记函数 f(x)=

2?

x?3 的定义域为 A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1)的定义域为 B. x ?1

(1) 求 A;(2) 若 B ? A,求实数 a 的取值范围. [解答] (1) 由题意知 2 ? ∞). (2) 由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0.∵a<1,∴a+1>2a,∴B=(2a,a+1).∵B ? A,∴2a≥1 或 a+1 ≤-1,即 a≥

x?3 x?3 解得 ≥0, 即 x<-1 或 x≥1, ∴A=(-∞,-1)∪ [1,+ ? 0 且 x+1≠0, x ?1 x ?1

1 1 或 a≤-2.又 a<1,∴ ≤a<1 或 a≤-2.所以当 B ? A 时,实数 a 的取值范围是(-∞,-2] 2 2



?1 ? ,1? . ? ?2 ?
求函数的值域

知识点 3

【例 3】求下列函数的值域: (1) y=3x2-x+2,x∈[1,3]; (2) y=

3x ? 1 ; x?2
1? x ;

(3) y=x+4

(4) y=

2x2 ? x ? 1 1 (x> ). 2x ?1 2

[思维引导] 函数的值域问题是函数知识的重要组成部分,它蕴含的思想方法丰富,不同类型函数模型的 值域问题有不同的解法,要视具体问题而定.

[解答] (1)

1 ? 23 ? , ,∴函数 y=3x2-x+2 在[1,3]上单调增. (配方法)∵y=3x -x+2=3 ? x ? ? ? 6 ? 12 ?
2

2

∴当 x=1 时,原函数有最小值为 4;当 x=3 时,原函数有最大值为 26. ∴函数 y=3x2-x+2,x∈[1,3]的值域为[4,26] . (2) (分离变量法)y=

3x ? 1 3( x ? 2) ? 7 7 7 7 =3+ ,∵ ≠0,∴3+ ≠3. ? x?2 x?2 x?2 x?2 x?2

∴函数 y=

3x ? 1 的值域为{y|y∈R 且 y≠3}. x?2
1 ? x ≥0,则 x=1-t2,

(3) (换元法)设 t=

∴原函数可化为 y=1-t2+4t=-(t-2)2+5(t≥0) ,∴y≤5,∴原函数的值域为(-∞,5] .

(4)

2 x 2 ? x ? 1 x(2 x ? 1) ? 1 (基本不等式法)y= = 2x ?1 2x ?1

∵ x>

1 2

,∴ x-

1 2

>0 ,∴ x-

1 2

+

1 1 1 1 =x+ =x- + 2 ? , 2x ?1 2 x ? 1 2 2 1 1 1 2 ≥ 2 ( x ? 1 )? 2 ? 2 ,当且仅当 x- 1 = 2 1 2 x? 1 2 (x ? 1) x? 2 2 2
1 1 ? ? .∴原函数的值域为 2 ? , ?? ? . ? 2 2 ? ?

,即

x=

1? 2 2

时等号成立.∴y≥

2?

[精要点评]配方法、分离变量法和三角代换是求解常见函数值域的有效方法,但要注意各种方法所适用 的函数形式,还要注意函数定义域的限制.换元法多用于无理函数,换元的目的是进行化归,把无理式转化 为有理式来解;二次分式型函数求值域,多采用分离出整式利用基本不等式法. 【变式拓展】已知 f(x)=

1 2

(x-1)2+1 的定义域和值域均为[1,b](b>1),求 b 的值.

[解答]∵f(x)的对称轴为 x=1 且开口向上,∴f(x)在[1,b]上单调递增,则当 x=1 时,f(x)min=1;当 x=b 时,f(x)max=b,即 又 b>1,∴b=3.

1 (b-1)2+1=b,解得 b=1 或 b=3. 2

ax ? 1 的值域为[-1,5] ,求实数 a、c 的值. x2 ? c ax ? 1 [解答]由 y=f(x)= 2 ,得 yx2-ax+cy-1=0. x ?c
【备讲例题】若函数 f(x)= 当 y=0 时,ax=-1,∴a≠0. 当 y≠0 时,∵x∈R,∴Δ =a2-4y(cy-1)≥0.∴4cy2-4y-a2≤0. 又∵-1≤y≤5,∴-1、5 是方程 4cy2-4y-a2=0 的两根.

?1 ? a ? ? 5, ? 4, ? ? ?c ∴? ,∴ ? , 1 2 a c ? . ?? ? ?5, ? ? 4 ? ? 4c
规范答题赏析 (2009·淮安市十月四校联考)(本小题满分 14 分) 已知命题 p:f(x)=lg(x2+ax+1)的定义域为 R,命题 q:关于 x 的不等式 x+|x-2a|>1 的解集为 R.若“p 或 q”为真, “p 且 q”为假,求实数 a 的取值范围. [规范解答]当 p 为真命题时,Δ =a2-4<0,……………………………………………2 分 解得:-2<a<2. ……………………………………………………………………………………4 分 当 p 为真命题时,令 g(x)=x+|x-2a|= ?

? 2 x ? 2 a, x ? 2 a, ? 2 a, x ? 2 a,

∴g(x)min=2a. …………………………………………………………………………………6 分 ∵x+|x-2a|>1 的解集为 R,∴2a>1,即 a>

1 .…………………………………………………… 2

7分

又“p 或 q”为真, “p 且 q”为假,∴p,q 中一真一假,……………………………………8 分

??2 ? a ? 2, ?a ? ?2或a ? 2, ? ? 或? ∴? 1 1 a? a? . ? ? ? 2 ? 2
f∴-2<a≤

…………………………………………………………12 分

1? 1 ? 或 a≥2.∴a 的取值范围是 ? ?2, ∪[2,+∞). 2? 2 ? ?

…………………………………14 分


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