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(浙江专版)2018年高中数学复习课(一)导数及其应用学案新人教A版选修2_2

复习课(一) 导数及其应用(部分) 导数的概念及几何意义的应用 (1)近几年的高考中, 导数的几何意义和切线问题是常考内容, 各种题型均有可能出现. (2)利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点. [考点精要] (1)已知切点 A(x0,f(x0))求斜率 k,即求该点处的导数值:k=f′(x0); (2)已知斜率 k,求切点 A(x1,f(x1)),即解方程 f′(x1)=k; (3)已知过某点 M(x1, f(x1))(不是切点)的切线斜率为 k 时, 常需设出切点 A(x0, f(x0)), 利用 k= f x1 -f x0 求解. x1-x0 -x-1 [典例] (全国卷Ⅱ)已知 f(x)为偶函数,当 x≤0 时,f(x)=e 在点(1,2)处的切线方程是________. [解析] 设 x>0,则-x<0,f(-x)=e ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x), ∴f(x)=e x-1 x-1 -x,则曲线 y=f(x) +x. +x. x-1 ∵当 x>0 时,f′(x)=e ∴f′(1)=e 1-1 +1, +1=1+1=2. ∴曲线 y=f(x)在点(1,2)处的切线方程为 y-2=2(x-1),即 2x-y=0. [答案] 2x-y=0 [类题通法] (1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 ①若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数. ②如果已知点不是切点,则应先出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解. (2)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点,例如,y=x 在(1,1)处的切线 l 与 y= 3 x3 的图象还有一个交点(-2,-8). [题组训练] 1.曲线 y= x 在点(-1,-1)处的切线方程为( x+2 B.y=2x-1 ) A.y=2x+1 C.y=-2x-3 解析:选 A ∵y′= ∴k=y′|x=-1= D.y=-2x-2 x x+ -x x+ x+ 2 2 = 2 x+ 2 , 2 -1+ =2, 1 ∴切线方程为:y+1=2(x+1),即 y=2x+1. 2.已知曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax +(a+2)x+1 相切,则 a= ________. 1 解析:∵y=x+ln x,∴y′=1+ , 2 x y′|x=1 =2. ∴曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1. 法一:∵y=2x-1 与曲线 y=ax +(a+2)x+1 相切, ∴a≠0(当 a=0 时曲线变为 y=2x+1 与已知直线平行). 由? ?y=2x-1, ? ? ?y=ax + 2 2 a+ 2 x+1, 消去 y,得 ax +ax+2=0. 由 Δ =a -8a=0,解得 a=8. 法二:设 y=2x-1 与曲线 y=ax +(a+2)x+1 相切于点(x0,ax0+(a+2)x0+1). ∵y′=2ax+(a+2), ∴y′ x=x0 =2ax0+(a+2). ?2ax0+ ? 由? 2 ?ax0+ ? 2 2 2 | a+ a+ =2, x0+1=2x0-1, 1 ? ?x0=- , 2 解得? ? ?a=8. 答案:8 导数与函数的单调性 (1)题型既有选择题、填空题也有解答题,若以选择题、填空题的形式出现,则难度以 中、 低档为主, 若以解答题形式出现, 难度则以中等偏上为主, 主要考查求函数的单调区间、 证明或判断函数的单调性等问题。 (2)在利用导数讨论函数的单调区间时, 首先要确定函数的定义域, 解决问题的过程中, 只能在定义域内,通过讨论导数的符号,来判断函数的单调区间. 特别要注意写单调区间时,区间之间用“和”或“,”隔开,绝对不能用“∪”连接. [考点精要] 函数的单调性与导函数值的关系 若函数 f(x)在(a,b)内可导,则 f′(x)在(a,b)任意子区间内部不恒等于 0. f′(x)>0? 函数 f(x)在(a,b)上单调递增; f′(x)<0? 函数 f(x)在(a,b)上单调递减. 2 反之,函数 f(x)在(a,b)上单调递增? f′(x)≥0;函数 f(x)在(a,b)上单调递减? f′(x)≤0.即 f′(x)>0(f′(x)<0)是 f(x)为增(减)函数的充分不必要条件. [典例] 已知函数 f(x)=x+ +b(x≠0),其中 a,b∈R. (1)若曲线 y=f(x)在点 P(2,f(2))处的切线方程为 y=3x+1,求函数 f(x)的解析式; (2)讨论函数 f(x)的单调性并求出单调区间. [解] f′(x)=1- 2. (1)由导数的几何意义得 f′(2)=3,即 1- =3, 4 ∴a=-8. 由切点 P(2,f(2))在直线 y=3x+1 上, 得 f(2)=3×2+1=7,则-2+b=7,解得 b=9, 8 ∴函数 f(x)的解析式为 f(x)=x- +9(x≠0). a x a x a x (2)当 a≤0 时,显然 f′(x)>0(x≠0), 这时 f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上是增函数. 当 a>0 时,由 f′(x)=0,解得 x=± a. 当 x<- a或 x> a时,f′(x)>0; 当- a<x<0 或 0<x< a时,f′(x)<0. ∴f(x)在(-∞,- a),( a,+∞)上是增函数, 在(0, a),(- a,0)上是减函数. [类题通法] 求函数的单调区间的方法步骤 (1)确定函数 f(x)的定义域. (2)计算函数 f(x)的导数 f′(x). (3)解不等式 f′(x)>0,得到函数 f(x)的递增区间;解不等式 f′(x)<0,得到函数 f(x)的递减区间. [提醒] 误. [题组训练] 1.设函数 f′(x)=x +3x-4,则 y=f(x+1)的单调递减区间为


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