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2019-2020学年度最新新版高中数学北师大版必修1课件:第二章函数2.2.2.2-PPT课件_图文

第2课时 分段函数 1.通过具体实例,了解简单的分段函数的定义及表达方式. 2.会用分段函数解决简单实际问题. 1.分段函数的概念 所谓“分段函数”,是指在定义域的不同部分,有不同的对应关系的 函数. 名师点拨1.分段函数是一个函数,而不是几个函数. 2.分段函数在书写时用大括号把各段合并写成一个函数的形式, 并且必须指明各段函数自变量的取值范围. 3.定义域、值域:分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集, 值域也是各段上函数值组成的集合的并集. 【做一做】 函数 f(x)= -1, > 0, 0, = 0, 则 + 1, < 0, 1 2 A. 1 2 B. 1C. 1 3 D. 2 的值为( ) 答案:A 2.分段函数图像 分段函数的图像由几部分构成,有的可以是光滑的曲线,有的也 可以是一些孤立的点、线段、射线等. 3.分段函数求值 求分段函数的某些函数值的关键是“分段归类”,即自变量的取值 属于哪一段,就用哪一段的解析式,一定要坚持定义域优先的原则. 名师点拨含两个(或多个)绝对值的函数式与分段函数的关系:(1) 将含绝对值的函数式利用“零点分段法”去掉绝对值符号,就可以转 化成分段函数.(2)任何情况下,只要是函数式中含有绝对值均可以 转化为分段函数,然后借助分段函数问题的处理方式进行解决. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 求分段函数值 【例 1】 已知函数 f(x)= (1)求 f(f(f(-2)))的值; (2)若 f(a)= 3 2 , 求. 1 + 1 , > 1, 2 + 1,-1 ≤ ≤ 1, 2 + 3, < -1. 分析:(1)根据自变量所在的范围利用相应的解析式先求f(-2),然 后求f(f(-2)),再求f(f(f(-2))).(2)根据a的取值求解. 题型一 题型二 题型三 题型四 解:(1)因为-2<-1,所以 f(-2)=2×(-2)+3=-1, 所以 f(f(-2))=f(-1)=1+1=2, 所以 f(f(f(-2)))=1+ 1 2 = 32. (2)当 a>1 时,f(a)=1+ 1 = 3 2 , 解得a=2 满足条件; 当-1≤a≤1 时,f(a)=a2+1= 3 2 , 解得a=± 2 2 , 满足条件; 当 a<-1 时,f(a)=2a+3= 3 2 , 解得a=? 3 4 > ?1(舍去). 综上所述,a=2 或 a=± 22. 题型一 题型二 题型三 题型四 反思对于分段函数来说,给定自变量求函数值时,应根据自变量所 在的范围利用相应的解析式直接求值.对于含多层“f”的问题,要按 照“由里到外”的顺序,逐层处理;若给定函数值求自变量,应根据函 数每一段的解析式分别求解,但应注意要检验该值是否在相应自变 量的取值范围内. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练 1】 已知函数 f(x)= 2 + 4 + 3, ≤ 0, 3-, > 0, 那么((5)) = . 解析:因为5>0,所以f(5)=3-5=-2<0, 所以f(f(5))=f(-2)=(-2)2+4×(-2)+3=-1. 答案:-1 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二 画分段函数图像 【例2】 已知函数 f(x)=1+ ||- 2 (?2 < ≤2). (1)用分段函数的形式表示该函数; (2)画出该函数的图像; (3)写出该函数的值域. 分析:首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为 分段函数,然后分段作出函数图像. 题型一 题型二 题型三 题型四 解 当:-(21<)当x<00≤时x,≤ f(x2)=时1+,f(-x2)-= 1=+12-? = ; 1; 所以 f(x)= 1,0 ≤ ≤ 2, 1-,-2 < < 0. (2)函数f(x)的图像如图所示. (3)由(2)知,f(x)在(-2,2]上的值域为[1,3). 反思由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,因此画 图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练 2】 作出函数 y= 1 ,0 < < 1, 的图像. 1, ≥ 1 解:该函数中,y= 1 (0 < < 1)的图像为函数y= 1 在(0,1)上的部 分,y=1(x≥1)表示平行于 x 轴的一条射线,图像如右图. 题型一 题型二 题型三 题型四 分段函数的应用 【例3】 如图,在梯形ABCD中,AB=10,CD=6,AD=BC=4,动点P从 点B开始沿着折线BC—CD—DA前进至A,若点P运动的路程为 x(0<x<14),△PAB的面积为y. (1)写出y=f(x)的解析式,指出函数的定义域; (2)画出函数的图像并求出函数的值域. 题型一 题型二 题型三 题型四 分析:首先通过画草图可以发现点P运动到不同的位置,y的求法 是不同的,如下图阴影部分. 由图可以看出上述三个阴影三角形的底AB是相同的,其面积由 AB边上的高来确定.所以只要由运动路程x求出AB边上的高即可. 题型一 题型二 题型三 题型四 解:(1)分类讨论: ①当点 P 在 BC 上运动时,易知∠B=60°, 则 y= 1 2 × 10 × (sin 60°)= 53 2 , 0≤x≤4. ②当点 P 在 CD 上运动时, y= 1 2 × 10 × 4 × sin 60°=10 3, 4 < ≤10. ③当点 P 在 DA 上运动时,y= 1 2 × 10 × (14 ? )sin 60° =? 53 2 + 35 3, 10 < ≤14. 综上所得


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