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河北省衡水市武邑中学2016-2017学年高二(下)开学数学试卷(文科)(解析版).

2016-2017 学年河北省衡水市武邑中学高二(下)开学数学试卷 (文科)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.“x2>1”是“x>1”的( )条件.

A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要

2.要从 165 名学生中抽取 15 人进行视力检查,现采用分层抽样法进行抽取,若 这 165 名同学中,高中生为 66 人,则高中生中被抽取参加视力检查的人数为 ( A.5 ) B.6 C.7 D.8 )

3. x﹣4y=5﹣3m, l2: 2x﹣y=8 平行, 已知直线 l1: (3+m) 则实数 m 的值为 ( A.5 B.﹣5 C.2 D.3

4.某同学使用计算器求 30 个数据的平均数时,错将其中一个数据 105 输入为 15,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是( A.35 B.﹣3 C.3 D.﹣0.5 )

5.过点(2,1)的直线中被圆(x﹣1)2+(y+2)2=5 截得的弦长最大的直线方 程是( ) C.x+3y﹣5=0 D.x﹣3y+5=0

A.3x﹣y﹣5=0 B.3x+y﹣7=0 6.已知双曲线 线的渐近线方程是( A. B.

(a>0)的右焦点与抛物线 y2=8x 焦点重合,则此双曲 ) C. D. )

7.在△ABC 中,若 sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC 的形状是( A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 8.已知数列{an}中 a1=1,a2= 则数列{an}的前 n 项的和 sn=( ,a3= ) ,a4=

,…an=

…,

A.

B.

C.

D. )

9.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积最大,则高为( A. B. C. D.

10.长方体的一个顶点上三条棱长为 3、4、5,且它的八个顶点都在一个球面上, 这个球的表面积是( A.20 π B.25 ) π C.50π D.200π

11.正四棱台的上、下底面边长分别为 1cm,3cm,侧棱长为 2cm,则棱台的侧 面积为( A.4 B.8 ) C.4 D.8 )

12.若 0<x1<x2<1,则(

A.ex2﹣ex1>lnx2﹣lnx1 B.ex2﹣ex1<lnx2﹣lnx1 C.x2ex1>x1ex2 D.x2ex1<x1ex2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横 线上.. 13.直线 ax+y+2=0 的倾斜角为 45°,则 a= 14.已知直线 x+ .

y﹣2=0 与圆 x2+y2=r2(r>0)相交于 A、B 两点,O 为坐标原 .

点,若∠AOB=120°,则 r=

15. 侧棱与底面垂直的三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长均为 2, 则三棱锥 B﹣AB1C 的体积为 . ﹣ =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,若在 C ,

16.双曲线 C:

上存在一点 P,使得|PO|= |F1F2|(O 为坐标原点) ,且直线 OP 的斜率为 则,双曲线 C 的离心率为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤 17.设命题 p:? x0∈R,x02+2ax0﹣2a=0,命题 q:? x∈R,ax2+4x+a>﹣2x2+1,

如果命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 18.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=﹣ 与 x=1 时都取得极值. (1)求 a、b 的值与函数 f(x)的单调区间; (2)若对 x∈[﹣1,2],不等式 f(x)<c2 恒成立,求 c 的取值范围. 19.已知双曲线 M: F. (1)求抛物线 N 的标准方程; D, (2) 设双曲线 M 的左右顶点为 C, 过 F 且与 x 轴垂直的直线与抛物线交于 A, B 两点,求 ? 的值. ﹣ =1 的一个焦点是抛物线 N:y2=2px(p>0)的焦点

20.如图,矩形 ABCD 中,AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC=2,F 为 CE 上的点,且 BF ⊥平面 ACE. (Ⅰ)求证:AE⊥平面 BCE; (Ⅱ)求证;AE∥平面 BFD; (Ⅲ)求三棱锥 C﹣BGF 的体积.

21. 某企业在科研部门的支持下, 启动减缓气候变化的技术攻关, 将采用新工艺, 把细颗粒物(PM2.5)转化为一种可利用的化工产品.已知该企业处理成本 P(x) (亿元)与处理量 x(万吨)之间的函数关系可近似地表示为 P(x) 另外技术人员培训费为 2500 万元, 试验区基建费为 1 亿元.

=

(1)当 0≤x≤10 时,若计划在 A 国投入的总成本不超过 5 亿元,则该工艺处理 量 x 的取值范围是多少?

(2)该企业处理量为多少万吨时,才能使每万吨的平均成本最低,最低是多少 亿元? 附:投入总成本=处理成本+技术人员培训费+试验区基建费,平均成本 = . ,设动点 P 的

22.已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 l:x=2 的距离之比为

轨迹为曲线 E,过点 F 作垂直于 x 轴的直线与曲线 E 相交于 A,B 两点,直线 l: y=mx+n 与曲线 E 交于 C,D 两点,与线段 AB 相交于一点(与 A,B 不重合) (Ⅰ)求曲线 E 的方程; (Ⅱ)当直线 l 与圆 x2+y2=1 相切时,四边形 ACBD 的面积是否有最大值,若有, 求出其最大值,及对应的直线 l 的方程;若没有,请说明理由.

2016-2017 学年河北省衡水市武邑中学高二(下)开学数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.“x2>1”是“x>1”的( )条件.

A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】由 x2>1,解得:x>1 或 x<﹣1.进而判断出结论. 【解答】解:由 x2>1,解得:x>1 或 x<﹣1. ∴“x2>1”是“x>1”的必要不充分条件. 故选:B.

2.要从 165 名学生中抽取 15 人进行视力检查,现采用分层抽样法进行抽取,若 这 165 名同学中,高中生为 66 人,则高中生中被抽取参加视力检查的人数为 ( A.5 ) B.6 C.7 D.8

【考点】分层抽样方法. 【分析】先求出每个个体被抽到的概率,再把此概率乘以高中生的人数,即得所 求. 【解答】解:由题意,从 165 名学生中抽取 15 人进行视力检查,每个个体被抽 到的概率为 = ,

165 名同学中, 高中生为 66 人, 则高中生中被抽取参加视力检查的人数为 66× =6, 故选 B.

3. x﹣4y=5﹣3m, l2: 2x﹣y=8 平行, 已知直线 l1: (3+m) 则实数 m 的值为 ( A.5 B.﹣5 C.2 D.3



【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系. 【分析】直接利用两条直线平行的充要条件,求解即可. 【解答】解:因为直线 l1: (3+m)x﹣4y=5﹣3m,l2:2x﹣y=8 平行. 所以 =2,

解得 m=5, 故选:A

4.某同学使用计算器求 30 个数据的平均数时,错将其中一个数据 105 输入为 15,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是( A.35 B.﹣3 C.3 D.﹣0.5 )

【考点】众数、中位数、平均数. 【分析】在输入的过程中错将其中一个数据 105 输入为 15 少输入 90,在计算过 程中共有 30 个数,所以少输入的 90 对于每一个数来说少 3,求出的平均数与实 际平均数的差可以求出. 【解答】解:∵在输入的过程中错将其中一个数据 105 输入为 15 少输入 90, 而 =3

∴平均数少 3, ∴求出的平均数减去实际的平均数等于﹣3. 故选 B.

5.过点(2,1)的直线中被圆(x﹣1)2+(y+2)2=5 截得的弦长最大的直线方 程是( ) C.x+3y﹣5=0 D.x﹣3y+5=0

A.3x﹣y﹣5=0 B.3x+y﹣7=0 【考点】直线与圆相交的性质.

【分析】过点(2,1)的直线中被圆(x﹣1)2+(y+2)2=5 截得的弦长最大的直

线方程经过圆心,由此能求出结果. 【解答】解:∵过点(2,1)的直线中被圆(x﹣1)2+(y+2)2=5 截得的弦长最大的直线方程经过圆心, ∴其直线方程为过点(2,1)和圆心(1,﹣2)的直线, ∴其方程为: 整理,得 3x﹣y﹣5=0. 故选:A. ,

6.已知双曲线 线的渐近线方程是( A. B.

(a>0)的右焦点与抛物线 y2=8x 焦点重合,则此双曲 ) C. D.

【考点】圆锥曲线的共同特征. 【分析】 先求出抛物线 y2=8x 的焦点坐标, 由此得到双曲线 从而求出 a 的值,进而得到该双曲线的渐近线方程 【解答】解:∵抛物线 y2=8x 的焦点是(2,0) ,∴c=2,a2=4﹣1=3,∴ ∴ , , 的一个焦点,

故选 D.

7.在△ABC 中,若 sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC 的形状是( A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 【考点】三角形的形状判断.



【分析】利用正弦定理将 sin2A+sin2B<sin2C,转化为 a2+b2<c2,再结合余弦定理 作出判断即可. 【解答】解:∵在△ABC 中,sin2A+sin2B<sin2C, 由正弦定理 a2+b2<c2, = = =2R 得,

又由余弦定理得:cosC= ∴ <C<π.

<0,0<C<π,

故△ABC 为钝角三角形. 故选 A.

8.已知数列{an}中 a1=1,a2= 则数列{an}的前 n 项的和 sn=( A. B. C. D.

,a3= )

,a4=

,…an=

…,

【考点】数列的求和. 【分析】an= = =2 . ,利用“裂项求和”即可得出.

【解答】解:∵an=

=

=2 + +…+



∴数列{an}的前 n 项的和 sn=2 = = .

故选:A.

9.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积最大,则高为( A. B. C. D.



【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 【分析】 这是一个最值问题, 要求高为多少, 可以直接设出来, 带着 X 求解即可. 【解答】解:设圆锥的高为 x, 则底面半径为 ,

其体积为 V= πx(0<x<20) ,

V′= π,令 V′=0, 解得 x1= 当 0<x< 当 ∴当 x= 故选 D. ,x2=﹣ (舍去) .

时,V′>0;

<x<20 时,V′<0; 时,V 取最大值.

10.长方体的一个顶点上三条棱长为 3、4、5,且它的八个顶点都在一个球面上, 这个球的表面积是( A.20 π B.25 ) π C.50π D.200π

【考点】球的体积和表面积. 【分析】设出球的半径,由于直径即是长方体的体对角线,由此关系求出球的半 径,即可求出球的表面积. 【解答】 解: 设球的半径为 R, 由题意, 球的直径即为长方体的体对角线, 则 (2R)
2

=32+42+52=50, .

∴R=

∴S 球=4π×R2=50π. 故选 C

11.正四棱台的上、下底面边长分别为 1cm,3cm,侧棱长为 2cm,则棱台的侧 面积为( A.4 B.8 ) C.4 D.8

【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 【分析】利用已知条件求出斜高,然后求解棱台的侧面积即可. 【解答】解:正四棱台的上、下底面边长分别为 1cm,3cm,侧棱长为 2cm, 所以棱台的斜高为: = .

所以棱台的侧面积是:4× 故选:D.

×

=8



12.若 0<x1<x2<1,则(



A.ex2﹣ex1>lnx2﹣lnx1 B.ex2﹣ex1<lnx2﹣lnx1 C.x2ex1>x1ex2 D.x2ex1<x1ex2 【考点】函数的单调性与导数的关系. 【分析】由题意设 f(x)=ex﹣lnx 和 g(x)= ,由求导公式和法则分别求出两

个函数的导数,由 x 的范围、导数与函数单调性的关系判断出在(0,1)上的单 调性,利用函数的单调性即可得到答案. 【解答】解:由题意设 f(x)=ex﹣lnx,则 在一个坐标系中画出 y=ex 和 的图象: ,

由图得,当 x∈(0,a)时 f′(x)<0,则 f(x)递减, 当 x∈(a,1)时 f′(x)>0,则 f(x)递增, 所以函数 f(x)在(0,1)上不是单调函数,即 A、B 不正确; 设 g(x)= ,则 = ,

因为 x∈(0,1) ,所以

,则 g′(x)<0,

即函数 g(x)在(0,1)上是减函数, 因为 0<x1<x2<1,所以 g(x1)>g(x2) , 则 故选 C, ,即 x2ex1>x1ex2,即排除 D,

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横 线上.. 13.直线 ax+y+2=0 的倾斜角为 45°,则 a= ﹣1 【考点】直线的倾斜角. 【分析】根据直线的倾斜角,得出斜率的值,从而求出 a 的值. 【解答】解:当直线 ax+y+2=0 的倾斜角为 45°时, 直线 l 的斜率 k=tan45°=1; ∴﹣a=1, 解得 a=﹣1, 故答案为:﹣1 .

14.已知直线 x+

y﹣2=0 与圆 x2+y2=r2(r>0)相交于 A、B 两点,O 为坐标原 2 .

点,若∠AOB=120°,则 r=

【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】由已知得圆心 O(0,0)到直线 x+ 半,由此能求出半径 r. 【解答】解:∵直线 x+ y﹣2=0 与圆 x2+y2=r2(r>0)相交于 A、B 两点,O 为 ﹣2=0 的距离 d 等于半径 r 的一

坐标原点,若∠AOB=120°, ∴圆心 O(0,0)到直线 x+ 即 d= ,解得 r=2. ﹣2=0 的距离 d 等于半径 r 的一半,

故答案为:2.

15. 侧棱与底面垂直的三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长均为 2, 则三棱锥 B﹣AB1C 的体积为 .

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】三棱锥 B﹣AB1C 的体积 的体积. 【解答】解:如图,侧棱与底面垂直的三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长均为 2, ∴ ∴三棱锥 B﹣AB1C 的体积: = = 故答案为: = = . . = ,AA1=2, = ,由此能求出三棱锥 B﹣AB1C

16.双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,若在 C ,

上存在一点 P,使得|PO|= |F1F2|(O 为坐标原点) ,且直线 OP 的斜率为 则,双曲线 C 的离心率为 【考点】双曲线的简单性质. +1 .

【分析】依题意可知|PO|= |F1F2|判断出∠F1PF2=90°,直线 OP 的斜率为 求出出|PF2|=

,可

c,则|F1P|=c,进而利用双曲线定义可用 c 表示出 a,最后可求

得双曲线的离心率. 【解答】解:∵|PO|= |F1F2|, ∴|OF1|=|OF2|=|OP| ∴∠F1PF2=90°, ∵直线 OP 的斜率为 ∴∠POF1=60°, ∴|PF1|=c,|PF2|= ∴ c﹣c=2a, = +1. +1 +1 c, ,

∴ = ∴e=

故答案为:

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤 17.设命题 p:? x0∈R,x02+2ax0﹣2a=0,命题 q:? x∈R,ax2+4x+a>﹣2x2+1, 如果命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】如果命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,则命题 p 和命题 q 一真一 假,分类讨论,可得满足条件的实数 a 的取值范围. 【解答】解:当命题 p 为真时,△=4a2+8a≥0,解得:a≥0,或 a≤﹣2, 当命题 q 为真时, (a+2)x2+4x+(a﹣1)>0 恒成立, ∴a+2>0 且△=16﹣4(a+2) (a﹣1)<0,即 a>2… 由题意得,命题 p 和命题 q 一真一假, 当命题 p 为真,命题 q 为假时,得 a≤﹣2; 当命题 p 为假,命题 q 为真时,不存在满足条件的 a 值; ∴实数 a 的取值范围为 a≤﹣2…

18.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=﹣ 与 x=1 时都取得极值. (1)求 a、b 的值与函数 f(x)的单调区间; (2)若对 x∈[﹣1,2],不等式 f(x)<c2 恒成立,求 c 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的极值;函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调 性. 【分析】 (1)求出 f′(x) ,因为函数在 x=﹣ 与 x=1 时都取得极值,所以得到 f′ (﹣ )=0 且 f′(1)=0 联立解得 a 与 b 的值,然后把 a、b 的值代入求得 f(x) 及 f′(x) ,然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间; (2)根据(1)函数的单调性,由于 x∈[﹣1,2]恒成立求出函数的最大值值为 f(2) ,代入求出最大值,然后令 f(2)<c2 列出不等式,求出 c 的范围即可. 【解答】解; (1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f'(x)=3x2+2ax+b 由 解得,

f'(x)=3x2﹣x﹣2=(3x+2) (x﹣1) ,函数 f(x)的单调区间如下表: x f′(x) f(x) (﹣∞,﹣ ) + ↑ ﹣ 0 极大值 (﹣ ,1) ﹣ ↓ 1 0 极小值 (1,+∞) + ↑

所以函数 f(x)的递增区间是(﹣∞,﹣ )和(1,+∞) ,递减区间是(﹣ , 1) . (2) 当 x=﹣ 时,f(x)= , +c 为极大值,而 f(2)=2+c,所以 f(2)=2+c 为最大值.

要使 f(x)<c2 对 x∈[﹣1,2]恒成立,须且只需 c2>f(2)=2+c. 解得 c<﹣1 或 c>2.

19.已知双曲线 M:



=1 的一个焦点是抛物线 N:y2=2px(p>0)的焦点

F. (1)求抛物线 N 的标准方程; D, (2) 设双曲线 M 的左右顶点为 C, 过 F 且与 x 轴垂直的直线与抛物线交于 A, B 两点,求 ? 的值.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】 (1)先求出双曲线的右焦点为(4,0) ,再根据抛物线的定义求出 p 的 值, (2)根据(1)求出 C,D 的坐标,再根据 x=4 与抛物线求出 A,B 的坐标,根 据向量的数量积公式计算即可. 【解答】解: (1)∵双曲线 M: ∴c=4, ∴双曲线的右焦点为(4,0) , 由 =4,解得 p=8, ∴抛物线的方程为 y2=16x, (2)由(1)可得 C(﹣3,0) ,D(3,0) , 直线 x=4 与抛物线 y2=16x 交于点 A(4,8) ,B(4,﹣8) , ∴ ∴ =(﹣7,﹣8) , ? =(﹣1,8) , ﹣ =1 中,a=3,c2=a2+b2=16,

=﹣7×(﹣1)﹣8×8=﹣57.

20.如图,矩形 ABCD 中,AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC=2,F 为 CE 上的点,且 BF ⊥平面 ACE. (Ⅰ)求证:AE⊥平面 BCE; (Ⅱ)求证;AE∥平面 BFD; (Ⅲ)求三棱锥 C﹣BGF 的体积.

【考点】直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的 判定. 【分析】 (1)先证明 AE⊥BC,再证 AE⊥BF,由线面垂直的判定定理证明结论. (2)利用 F、G 为边长的中点证明 FG∥AE,由线面平行的判定定理证明结论. (3)运用等体积法,先证 FG⊥平面 BCF,把原来的三棱锥的底换成面 BCF,则 高就是 FG,代入体积公式求三棱锥的体积. 【解答】解: (Ⅰ)证明:∵AD⊥平面 ABE,AD∥BC, ∴BC⊥平面 ABE,则 AE⊥BC.又∵BF⊥平面 ACE,则 AE⊥BF ∴AE⊥平面 BCE. (Ⅱ)证明:依题意可知:G 是 AC 中点, ∵BF⊥平面 ACE,则 CE⊥BF,而 BC=BE,∴F 是 EC 中点. 在△AEC 中,FG∥AE,∴AE∥平面 BFD. (Ⅲ)解:∵AE∥平面 BFD,∴AE∥FG,而 AE⊥平面 BCE, ∴FG⊥平面 BCE,∴FG⊥平面 BCF, ∵G 是 AC 中点,∴F 是 CE 中点,且 ∵BF⊥平面 ACE,∴BF⊥CE.∴Rt△BCE 中, ∴ ,∴ , .

21. 某企业在科研部门的支持下, 启动减缓气候变化的技术攻关, 将采用新工艺, 把细颗粒物(PM2.5)转化为一种可利用的化工产品.已知该企业处理成本 P(x) (亿元)与处理量 x(万吨)之间的函数关系可近似地表示为 P(x) 另外技术人员培训费为 2500 万元, 试验区基建费为 1 亿元.

=

(1)当 0≤x≤10 时,若计划在 A 国投入的总成本不超过 5 亿元,则该工艺处理 量 x 的取值范围是多少? (2)该企业处理量为多少万吨时,才能使每万吨的平均成本最低,最低是多少 亿元? 附:投入总成本=处理成本+技术人员培训费+试验区基建费,平均成本 = .

【考点】函数模型的选择与应用. 【分析】 (1)当 0≤x≤10 时,Q(x)= 5,即可求出该工艺处理量 x 的取值范围; (2)分类求最值,即可得出结论. 【解答】解: (1)设该企业计划在 A 国投入的总成本为 Q(x) (亿元) , 则当 0≤x≤10 时,Q(x)= 依题意:Q(x)= ≤5, , ,依题意:Q(x)= ≤

即 x2+4x﹣60≤0,解得﹣10≤x≤6, 结合条件 0≤x≤10,∴0≤x≤6…

Q = (2) 依题意, 该企业计划在 A 国投入的总成本当 0≤x≤10 时, (x) 当 x>10 时,Q(x)=x+ ﹣ , 则平均处理成本①当 0≤x≤10 时, 即 x=2 时, 的最小值为 ═4( ﹣ ,… )2+ , > , = + ≥ , 当且仅当





②当 x>10 时, ∴当 = ∴当 x=2

,即 x=20 时, 时,

的最小值为 ,…

的最小值为

答: (Ⅰ)该工艺处理量 x 的取值范围是 0≤x≤6. (Ⅱ)该企业处理量为 22 处理成本最低为 亿元… 万吨时,才能使每万吨的平均处理成本最低,平均

22.已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 l:x=2 的距离之比为

,设动点 P 的

轨迹为曲线 E,过点 F 作垂直于 x 轴的直线与曲线 E 相交于 A,B 两点,直线 l: y=mx+n 与曲线 E 交于 C,D 两点,与线段 AB 相交于一点(与 A,B 不重合) (Ⅰ)求曲线 E 的方程; (Ⅱ)当直线 l 与圆 x2+y2=1 相切时,四边形 ACBD 的面积是否有最大值,若有, 求出其最大值,及对应的直线 l 的方程;若没有,请说明理由. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【分析】 (1)设点 P(x,y) ,由题意可得, (2)设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,由已知可得: ,化简即可得出; ,当 m=0 时,不合题

意.当 m≠0 时,由直线 l 与圆 x2+y2=1 相切,可得 m2+1=n2,直线与椭圆方程联 立 可 得 . 利 用 根 与 系 数 的 关 系 可 得 ,再利用基本不等式的性质即可得出. 【解答】解: (1)设点 P(x,y) ,由题意可得, ,

整理可得: ∴曲线 E 的方程是

. . ,当 m=0 时,不合题

(2)设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,由已知可得: 意. 当 m≠0 时,由直线 l 与圆 x2+y2=1 相切,可得:

,即 m2+1=n2,

联立

消去 y 得







所以,



= 当且仅当 经检验可知,直线 ,即 时等号成立,此时 和直线

= .



符合题意.

2017 年 5 月 8 日



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