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新课标高考数学理一轮复习课件:7.2 平面向量基本定理与向量的坐标运算


不共线 向量,那么对 1.如果e1和e2是同一平面内的两个_______ 有且只有 一对实数λ1,λ2,使 于这一平面内的任一向量a_________ a=λ1e1+λ2e2 ,其中e1和e2是_________ 一组基底 . ____________ 2.(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a±b= (x1±x2,y1±y2) . _______________ → (x2-x1,y2-y1) . (2)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=________________ (λx,λy) . (3)若a=(x,y),λ∈R,则λa=________

3.(1)如果a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),则a∥b的充要 x1y2-x2y1=0 . 条件为 ____________ (2)三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)共线的充要条件为 (x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0 _________________________________.

1.已知a=(4,2),b=(x,3),若a∥b,则x等于 A.9 B.6 C.5 D.3 解析:a∥b?4×3-2x=0?x=6. 答案:B

(

)

2.设A、B、C、D四点坐标依次是(-1,0)、(0,2)、 (4,3)、(3,1),则四边形ABCD为 ( ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四边形 → → → → → 解析: AB=(1,2), DC=(1,2), 所以AB=DC, 所以AB

→ ∥DC,又线段 AB 与线段 DC 无公共点,所以 AB∥DC 且|AB|=|DC|,所以 ABCD 是平行四边形.由图象易知: 四边形 ABCD 只能为平行四边形.
答案:D

→ → → 3.已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),O C = (5-m,-3-m),若点 A、B、C 能构成三角形,则实数 m 应满足的条件是________.
→ → → 解析:因为OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m, → → -3-m),所以AB=(3,1),BC=(-m-1,-m).因为点 A、 → → → → B、C 能构成三角形,所以AB与BC不共线,而当AB与BC共

3 1 1 线时,有 = ,解得 m= ,故当点 A、B、C 2 -m-1 -m 1 能构成三角形时,实数 m 满足的条件是 m≠ . 2 1 答案:m≠ 2

4.已知直角坐标平面内的两个向量a=(1,3),b= (m,2m-3),使平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示 成c=λa+μb,则m的取值范围是________. 解析:因为c可唯一表示成c=λa+μb, 所以a与b不共线,即2m-3≠3m,所以m≠-3. 答案:{m∈R|m≠-3}

1.平面向量的坐标运算法则是运算的关键.平面 向量的坐标运算可将几何问题转化为代数问题,运用它 可以解决平面几何、解析几何中的一些问题. 2.向量有几何法和坐标法两种表示,它的运算也 因为这两种不同的表示而有两种方式.因此向量问题的 解决,理论上讲总可有两个途径,即基于几何表示的几 何法和基于坐标表示的代数法.在具体做题时要善于从 不同的角度考虑问题.

考点一

向量的坐标运算

→ 1→ → 【案例 1】 已知 A(2,3),B(-1,5),且AC= AB,AD 3 1→ → → =3AB,AE=- AB,求 C、D、E 的坐标. 4
关键提示:本题主要考查向量坐标运算.

解:设 C(xC,yC), D(xD,yD),E(xE,yE), → =(xC-2,yC-3),AB → =(-3,2), 则AC
? 2? 1 所以(xC-2,yC-3)= (-3,2)=?-1, ?, 3? 3 ? ? 11? 11 所以 xC=1,yC= ,所以 C 点的坐标为?1, ?. 3? 3 ?

同理可求得

?11 5? D(-7,9),E? , ?. 2? ?4

【即时巩固 1】

如果 A、B、C 三点的坐标分别为(2,

→ → → 1→ -4)、(0,6)、(-8,10),则AB+2BC和BC- AC的坐标分别 2 为________、________.
解析:考查平面向量的坐标运算. 答案:(-18,18) (-3,-3)

考点二 向量的平行问题 【案例2】 已知a=(1,0),b=(2,1). (1)求|a+3b|; (2)当k为何实数时,ka-b与a+3b平行,平行时它们 是同向还是反向?
2 关键提示: 对于 a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a|= x2 + y 1 1,

若 a∥b,有 x1y2=x2y1.

解:(1)a+3b= (1,0)+3(2,1)=(7,3), 所以|a+3b|= 72+32= 58. (2)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1). 设 ka-b=λ(a+3b),即(k-2,-1)=λ(7,3). 1 ? ? ?k=-3, ?k-2=7λ, 所以? ?? ? ?-1=3λ ?λ=-1. ? 3 1 故 k=- 时,它们反向平行. 3

【即时巩固2】 平面内给定三个向量:a= (3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)求满足a=mb+nc的实数m和n的值; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k的值. 解:(1)因为a=mb+nc,m,n∈R, 所以(3,2)=m(-1,2)+n(4,1) =(-m+4n,2m+n). 5 ? m= , ? ? - m + 4 n = 3 , 9 ? 所以? 解得? ? ?2m+n=2, ?n=8. ? 9

5 8 所以 m= ,n= . 9 9 (2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 又因为(a+kc)∥(2b-a), 所以(3+4k)×2-(-5)×(2+k)=0. 16 所以 k=- . 13

考点三 平面向量基本定理的应用 【案例 3】 梯形 ABCD 中,AB∥CD,M、N 分别

DC → → 是 AD、BC 的中点, =k(k≠1),设AD=e1,AB=e2, AB 选择基底{e1,e2},试写出下列向量在此基底下的分解式: → → → DC,BC,MN. 关键提示:考查平面向量基本定理. 解:方法 1:如图①所示,

DC → → =kAB → =ke2. 因为AB=e2,且 =k,所以DC AB → +BC → +CD → +DA → =0, 又AB

→ → → → → → → 所以BC=-AB-CD-DA=-AB+DC+AD =-e2+ke2+e1=e1+(k-1)e2. → → → → 因为MN+NB+BA+AM=0, → → → → → → → 所以MN=-NB-BA-AM=BN+AB-AM 1→ 1→ = BC+e2- AD 2 2 1 1 = [e1+(k-1)e2]+e2- e1 2 2 k+1 = e. 2 2

方法 2:如图②所示,过 C 作 CE∥DA 交 AB 于 E,交 MN 于 F. → 同方法 1 得DC=ke2, → → → → → 则BC=BE+EC=-EB+EC → → → → → → =-(AB-AE)+AD=-(AB-DC)+AD

→ → → =-AB+DC+AD=-e2+ke2+e1 =e1+(k-1)e2. → → → → 1→ MN=MF+FN=DC+ EB 2 → 1 → → =DC+ (AB-DC) 2 1 =ke2+ (e2-ke2) 2 k+1 = e. 2 2

【即时巩固 3】 如图,在平行四边形 ABCD 中,M, → → N 分别为 DC,BC 的中点,已知AM=c,AN=d,试用 c, → → d 表示AB,AD

解:方法一:在△ADM 中, 1→ → → → AD=AM-DM=c- AB. 2 在△ABN 中, ①

1→ → → → AB=AN-BN=d- AD. 2 → 2 由①②得AB= (2d-c), 3 → 2 AD= (2c-d). 3 → → 方法二:设AB=a,AD=b, 因为 M,N 分别为 CD,BC 的中点,



→ 1 → 1 所以BN= b,DM= a,于是有: 2 2 1 ? ?c=b+2a, ? ?d=a+1b, ? 2 ? 2 ?a=3?2d-c?, 解得? ?b=2?2c-d?. ? 3

→ 2 → 2 即AB= (2d-c),AD= (2c-d). 3 3



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