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【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练62


题组层级快练(六十二)
x2 y2 1.若椭圆 + 2=1 过点(-2, 3),则其焦距为( 16 b A.2 5 C .4 5 答案 D 解析 故选 D. 1 2.已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 ,且它的长轴长等于圆 C:x2+y2-2x-15=0 2 的半径,则椭圆的标准方程是( x y A. + =1 4 3 x2 C. +y2=1 4 答案 A 解析 圆 C 的方程可化为(x-1)2+y2=16. 知其半径 r=4,∴长轴长 2a=4,∴a=2. c 1 又 e= = ,∴c=1,b2=a2-c2=4-1=3. a 2 x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 + =1. 4 3 3.已知曲线 C 上的动点 M(x,y),向量 a=(x+2,y)和 b=(x-2,y)满足|a|+|b|=6,则 曲线 C 的离心率是( 2 A. 3 C. 3 3 ) B. 3 1 D. 3
2 2

)

B.2 3 D.4 3

4 3 ∵椭圆过(-2, 3),则有 + 2=1,b2=4,c2=16-4=12,c=2 3,2c=4 3. 16 b

) x2 y2 B. + =1 16 12 x2 y2 D. + =1 16 4

答案 A 解析 因为|a|+|b|=6 表示动点 M(x, y)到两点(-2,0)和(2,0)距离的和为 6, 所以曲线 C 是 2 椭圆且长轴长 2a=6,即 a=3.又 c=2,∴e= . 3 x2 y2 10 4.已知椭圆 + =1 的离心率 e= ,则 m 的值为( 5 m 5 A.3 C. 15 25 B.3 或 3 D. 15或 5 15 3 )

答案 B 5>m, ? ? 解析 若焦点在 x 轴上,则有? 5-m 10 ∴m=3. = . ? 5 ? 5 m>5, ? ? 若焦点在 y 轴上,则有? m-5 10 = . ? 5 m ? 25 . 3

∴m=

5.已知圆(x+2)2+y2=36 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点,N(2,0),线段 AN 的垂直平 分线交 MA 于点 P,则动点 P 的轨迹是( A.圆 C.双曲线 答案 B 解析 点 P 在线段 AN 的垂直平分线上,故|PA|=|PN|.又 AM 是圆的半径,∴|PM|+|PN| =|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|.由椭圆的定义知,P 的轨迹是椭圆. x2 y2 6.(2015· 广东韶关调研)已知椭圆与双曲线 - =1 的焦点相同,且椭圆上任意一点到 4 12 两焦点的距离之和为 10,那么椭圆的离心率等于( 3 A. 5 5 C. 4 答案 B x2 y2 解析 因为双曲线的焦点在 x 轴上,所以设椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0),因为椭圆上 a b 任意一点到两焦点的距离之和为 10, 所以根据椭圆的定义可得 2a=10?a=5, 则 c= 4+12= c 4 4,e= = ,故选 B. a 5 x2 y2 7.(2015· 广东广州二模)设 F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,点 P a b 在椭圆 C 上,线段 PF1 的中点在 y 轴上,若∠PF1F2=30° ,则椭圆的离心率为( 1 A. 6 C. 3 6 1 B. 3 D. 3 3 ) 4 B. 5 3 D. 4 ) ) B.椭圆 D.抛物线

答案 D 解析 设 PF1 的中点为 M,连接 PF2,由于 O 为 F1F2 的中点,则 OM 为△PF1F2 的中位 线,所以 OM∥PF2.

所以∠PF2F1=∠MOF1=90° . 由于∠PF1F2=30° ,所以|PF1|=2|PF2|. 由勾股定理,得|F1F2|= |PF1|2-|PF2|2 = 3|PF2|. 由椭圆定义,得 2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|?a= 3|PF2| 3|PF2| ,2c=|F1F2|= 3|PF2|?c= . 2 2

c 3|PF2| 2 3 所以椭圆的离心率为 e= = · = .故选 D. a 2 3|PF2| 3 x2 y2 8.(2015· 河北邯郸一模)已知 P 是椭圆 + 2=1(0<b<5)上除顶点外一点,F1 是椭圆的左 25 b → → 焦点,若|OP+OF1|=8,则点 P 到该椭圆左焦点的距离为( A.6 C .2 答案 C → → → 解析 取 PF1 的中点 M,连接 OM,OP+OF1=2OM,∴|OM|=4.在△F1PF2 中,OM 是 中位线,∴|PF2|=8.∴|PF1|+|PF2|=2a=10,解得|PF1|=2,故选 C. x2 y2 9.(2015· 北京海淀期末练习)已知椭圆 C: + =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,椭圆 C 4 3 → → 上的点 A 满足 AF2⊥F1F2,若点 P 是椭圆 C 上的动点,则F1P· F2A的最大值为( A. 3 2 3 3 B. 2 15 D. 4 ) B.4 5 D. 2 )

9 C. 4 答案 B

解析 由椭圆方程知 c= 4-3=1,所以 F1(-1,0),F2(1,0).因为椭圆 C 上点 A 满足 AF2 9 3 ⊥F1F2,则可设 A(1,y0),代入椭圆方程可得 y2 0= ,所以 y0=± . 4 2 → → 设 P(x1,y1),则F1P=(x1+1,y1),F2A=(0,y0), → → 所以F1P· F2A=y1y0. → → 3 3 因为点 P 是椭圆 C 上的动点,所以- 3≤y1≤ 3,F1P· F2A的最大值为 .故 B 正确. 2

x2 y2 10.(2015· 河北唐山二模)已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)与圆 C2:x2+y2=b2,若在椭圆 a b C1 上存在点 P, 使得由点 P 所作的圆 C2 的两条切线互相垂直, 则椭圆 C1 的离心率的取值范围 是( ) 1 A.[ ,1) 2 C .[ 2 ,1) 2 B.[ D.[ 2 3 , ] 2 2 3 ,1) 2

答案 C 解析 在椭圆长轴端点向圆引两条切线 P′A,P′B,则两切线形成的角∠AP′B 最小, 若椭圆 C1 上存在点 P 令切线互相垂直,则只需∠AP′B≤90° ,即 α=∠AP′O≤45° . b 2 1 ∴sinα= ≤sin45° = ,解得 a2≤2c2,∴e2≥ . a 2 2 即 e≥ 2 2 2 .而 0<e<1,∴ ≤e<1,即 e∈[ ,1). 2 2 2 2 . 2

11. 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C 的中心为原点, 焦点 F1, F2 在 x 轴上, 离心率为 过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为________. 答案 x2 y2 + =1 16 8

x2 y2 解析 根据椭圆焦点在 x 轴上,可设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b ∵e= 2 c 2 ,∴ = .根据△ABF2 的周长为 16 得 4a=16,因此 a=4,b=2 2,所以椭圆 2 a 2

x2 y2 方程为 + =1. 16 8 → 1 → → x2 y2 12.椭圆 + =1 上一点 P 到左焦点 F 的距离为 6,若点 M 满足OM= (OP+OF),则 25 16 2 → |OM|=________. 答案 2 → 1 → → → 1 → 1 解析 设右焦点为 F′, 由OM= (OP+OF)知 M 为线段 PF 中点, ∴|OM|= |PF′|= (10 2 2 2 -6)=2. → → → x2 y2 13.已知动点 P(x,y)在椭圆 + =1 上,若点 A 坐标为(3,0),|AM|=1,且PM· AM=0, 25 16 → 则|PM|的最小值是________. 答案 3

→ → → → 解析 ∵PM· AM=0,∴AM⊥PM. → → → → ∴|PM|2=|AP|2-|AM|2=|AP|2-1. ∵椭圆右顶点到右焦点 A 的距离最小, → → 故|AP|min=2,∴|PM|min= 3. x2 y2 14.已知点 A(4,0)和 B(2,2),M 是椭圆 + =1 上一动点,则|MA|+ |MB|的最大值为 25 9 ________. 答案 10+2 10 解析 显然 A 是椭圆的右焦点,如图所示,设椭圆的左焦点为 A1(-4,0),连接 BA1 并延 长交椭圆于 M1,则 M1 是使|MA|+|MB|取得最大值的点.事实上,对于椭圆上的任意点 M 有:

|MA|+|MB|=2a-|MA1|+|MB|≤2a+|A1B|(当 M1 与 M 重合时取等号), ∴|MA|+|MB|的最大 值为 2a+|A1B|=2×5+ 62+22=10+2 10. x2 y2 15.如右图,已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,A 为椭圆的上 a b 顶点,直线 AF2 交椭圆于另一点 B.

(1)若∠F1AB=90° ,求椭圆的离心率; → → (2)若椭圆的焦距为 2,且AF2=2F2B,求椭圆的方程. 答案 解析 (1) 2 x2 y2 (2) + =1 2 3 2

(1)若∠F1AB=90° ,则△AOF2 为等腰直角三角形.所以有|OA|=|OF2|,即 b=c.

c 2 所以 a= 2c,e= = . a 2 (2)由题知 A(0,b),F2(1,0),设 B(x,y), → → 3 b 由AF2=2F2B,解得 x= ,y=- . 2 2

9 b2 4 4 x2 y2 代入 2+ 2=1,得 2+ 2=1. a b a b 即 9 1 + =1,解得 a2=3. 4a2 4

x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 3 2 x2 y2 16.(2014· 新课标全国Ⅱ)设 F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,M 是 a b C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直.直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4 (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b. 答案 思路 1 (1) (2)a=7,b=2 7 2 本题主要考查椭圆的方程与基本量,考查椭圆的几何性质与离心率的计算,考查

直线与椭圆的位置关系,意在考查考生的分析转化能力与运算求解能力. (1)将 M,F1 的坐标都用椭圆的基本量 a,b,c 表示,由斜率条件可得到 a,b,c 的关系 式,然后由 b2=a2-c2 消去 b2,再“两边同除以 a2”,即得到离心率 e 的二次方程,由此解出 离心率.若能抓住△MF1F2 是“焦点三角形”,则可利用△MF1F2 的三边比值快速求解,有: 3 3 5 |F1F2| 1 |F1F2|=2c, |MF2|=2c× = c, 则|MF1|= c, 由此可得离心率 e= = .(2)利用“MF2 4 2 2 |MF1|+|MF2| 2 b2 ∥y 轴”及“截距为 2”,可得 yM= =4,此为一个方程;再转化条件“|MN|=5|F1N|”为向 a 量形式,可得到 N 的坐标,代入椭圆得到第二个方程.两方程联立可解得 a,b 的值. b2 a 3 b c, ?, = ,2b2=3ac. (1)根据 c= a2-b2及题设知 M? ? a ? 2c 4
2

解析

c 1 c 将 b2=a2-c2 代入 2b2=3ac,解得 = , =-2(舍去). a 2 a 1 故 C 的离心率为 . 2 (2)由题意,原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴,所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线 段 MF1 的中点. b2 故 =4,即 b2=4a.① a 由|MN|=5|F1N|,得|DF1|=2|F1N|. 设 N(x1,y1),由题意知 y1<0,则

? ? ?x1=-2c, ?2?-c-x1?=c, ? 即? ?-2y1=2, ? ? ?y1=-1.
代入 C 的方程,得
2 2

3

9c2 1 + =1.② 4a2 b2

9?a2-4a? 1 将①及 c= a -b 代入②得 + =1. 4a2 4a 解得 a=7,b2=4a=28. 故 a=7,b=2 7.

x2 y2 3 1.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦点分别为 F1,F2,b=4,离心率为 .过 F1 的直线交椭 a b 5 圆于 A,B 两点,则△ABF2 的周长为( A.10 C.16 答案 D 解析 如图,由椭圆的定义知△ABF2 的周长为 4a,又 ) B.12 D.20

c 3 3 e= = ,即 c= a, a 5 5 16 ∴a2-c2= a2=b2=16. 25 ∴a=5,△ABF2 的周长为 20. x2 y2 2.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上任一点到两焦点的距离分别为 d1,d2,焦距为 2c.若 d1,2c,d2 a b 成等差数列,则椭圆的离心率为( 1 A. 2 C. 3 2 ) B. 2 2

3 D. 4

答案 A c 1 解析 由 d1+d2=2a=4c,∴e= = . a 2 x2 y2 1 3.设 e 是椭圆 + =1 的离心率,且 e∈( ,1),则实数 k 的取值范围是( 4 k 2 )

A.(0,3) 16 C.(0,3)∪( ,+∞) 3 答案 C

16 B.(3, ) 3 D.(0,2)

1 k-4 16 解析 当 k>4 时,c= k-4,由条件知 < <1,解得 k> ;当 0<k<4 时,c= 4-k, 4 k 3 1 4-k 由条件知 < <1,解得 0<k<3,综上知选 C. 4 4 x2 4.已知点 M( 3,0),椭圆 +y2=1 与直线 y=k(x+ 3)交于点 A,B,则△ABM 的周长 4 为______________. 答案 8 x2 解析 直线 y=k(x+ 3)过定点 N(- 3,0),而 M,N 恰为椭圆 +y2=1 的两个焦点, 4 由椭圆定义知△ABM 的周长为 4a=4×2=8. 5.已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点为 F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是 2∶ 3. (1)求椭圆 C 的方程; → (2)设点 M(m,0)在椭圆 C 的长轴上,点 P 是椭圆上任意一点.当|MP|最小时,点 P 恰好落 在椭圆的右顶点,求实数 m 的取值范围. 答案 x2 y2 (1) + =1 16 12 (2)1≤m≤4

解析

c=2, ? ?a 2 (1)由题意知?b= , 3 ? ?a =b +4,
2 2

2 ? ?a =16, ? 解之得 2 ?b =12. ?

x2 y2 ∴椭圆方程为 + =1. 16 12
2 2 x0 y0 (2)设 P(x0,y0),且 + =1, 16 12

→ ∴|MP|2=(x0-m)2+y2 0 x2 0 2 2 =x0-2mx0+m +12(1- ) 16 1 = x2 -2mx0+m2+12 4 0 1 = (x0-4m)2-3m2+12(-4≤x0≤4). 4 → ∴|MP|2 为关于 x0 的二次函数,开口向上,对称轴为 4m.

→ 由题意知,当 x0=4 时,|MP|2 最小,∴4m≥4,∴m≥1. 又点 M(m,0)在椭圆长轴上,∴1≤m≤4.


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