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2013年普通高等学校招生全国统一考试广东卷文科数学


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科)
2 1. 设集合 S={x| x ? 2 x ? 0, x ? R },T={x| x ? 2 x ? 0 , x ? R },则 S ? T =(

2



A. { 0 }

B. { 0,2}

C. { -2,0 }

D. { -2,0,2 }

2. 函数 y ? lg( x ? 1) 的定义域是( ) x ?1 A. (-1,+ ? ) B. [-1,+ ? ) C. (-1,1) ? (1,+ ? ) 3. 若 i(x + y i)=3 + 4 i, x, y ? R ,则复数 x ? yi 的模是( A. 2 4. 已知 sin( A. ? B. 3 C. 4 ) C. 1 )

D. [ -1,1) ? (1,+ ? )

D. 5

5? 1 ? ? ) ? ,那么 cos? =( 2 5
B. ?

2 5

1 5

D.

5

2 5


5. 执行如图 1 所示的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出 s 的值是( A. 1 B. 2 C. 4 D. 7

图1 6. 某三棱锥的三视图如图 2 所示,则该三棱锥的体积是( A. ) D. 1

图2

1 6

B.

1 3

C.

2 3

2 2 7. 垂直于直线 y ? x ? 1 且与圆 x ? y ? 1 相切于第Ⅰ象限的直线方程是(



A.x ? y ? 2 ? 0

B.x ? y ? 1 ? 0

C.x ? y ? 1 ? 0

D.x ? y ? 2 ? 0
1

8. 设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面.下列命题中正确的是

A.若l ?? , l ? ? , 则? ? ?

B.若l ? ? , l ? ? , 则? ? ?

C.若l ? ? , l ? ? , 则? ? ?

D.若? ? ? , l ?? , 则l ? ?
1 ,则 C 的方程是 2

9. 已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0) ,离心率等于

A.

x2 y 2 ? ?1 3 4

B.

x2 y 2 ? ?1 4 3

C.

x2 y 2 ? ?1 4 2

D.

x2 y 2 ? ?1 4 3

10. 设 ? 是已知的平面向量且 ? ? 0 .关于向量 ? 的分解,有如下四个命题: ①给定向量 b,总存在向量 c,使 a ? b ? c ; ②给定向量 b 和 c,总存在实数 ? 和 ? ,使 a ? ?b ? ? c ; ③给定向量 b 和正数 ? ,总存在单位向量 c,和实数 ? ,使 a ? ?b ? ? c . ④给定正数 ? 和 ? ,总存在单位向量 b 和单位向量 c,使 a ? ?b ? ? c . 上述命题中的向量 b,c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 (一)必做题(11~13 题) 11.设数列{ an }是首项为 1,公比为 ?2 的等比数列,则 a1 ? | a2 | ?a3 ? | a4 |? ________。 12.若曲线 y ? ax ? ln x 在点(1, a )处的切线平行于 x 轴,则 a =________。
2

?x ? y ? 3 ? 0 ? 13.已知变量 x , y 满足约束条件 ? ?1 ? x ? 1 则 z ? x ? y 的最大值是________。 ?y ?1 ?
(二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的极坐标方程 ? =2cos ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴的 正半轴建立直角坐标系,则曲线 C 的参数方程为________。 15. (几何证明选讲选做题)如图 3,在矩形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 3 , BE ? AC ,垂足为 E , 则 ED =________。 B E C

A

D 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 30 分,解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

2 cos( x ?

?
12

) , x?R

(1)求 f ( ) 的值; (2)若 cos ?

? 3

3 ? , ? ? ( 3? ,2? ) ,求 f (? ? ? ) 5 6 2

17、 (本小题满分 12 分) 从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布表如下: 分组(重量) 频数(个) [80,85) 5 [85,90) 10 [90,95) 20 [95,100) 15

(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95 ) 的频率; (2)用分层抽样的方法从重量在[80,85 ) 和[95,100 ) 的苹果中共抽取 4 个,其中重量在[80,85 ) 的 有几个? (3)在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在[80,85 ) 和[95,100 ) 中各有 1 的概率。

3

18. (本小题满分 14 分) 如图 4,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 上的点, AD ? AE ,F 是 BC 的中点, AF 与 DE 交于 G,将△ABF 沿 AF 折起,得到如图 5 所示的三棱锥 A-BCF,其中 BC ?

2 2

(1)证明: DE ?平面BCF ; (2)证明: CF ? 平面ABF ; (3)当 AD ?

2 时,求:棱锥 F ? DEG 的体积 VF ? DEG 。 3

19. (本小题满分 14 分)
2 设各项均为正数的数列{ an }的前 n 项和为 sn ,满足 4sn ? an?1 ? 4n ?1 , n ? N ,且 a2 , a4 , a6 构
?

成等比数列。 (1)证明: a2 ?

4a1 ? 5 ;

(2)求数列{ an }的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ? ??? ? ? a1a2 a2 a3 an an ?1 2

4

20. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C 的顶点为原点, 其焦点 F (0, c)(c ? 0) 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 的点,过点 P 做抛物线 C 的两条切线 PA,PB 其中 A,B 为切点。 (1) 求抛物线 C 的方程; (2) 当点 p( x0 , y0 ) 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 | AF |? BP | 的最小值。 |

3 2 , P 为直线 l 上 设 2

21.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x3 ? kx2 ? x(k ? R) (1) 当 k ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2) 当 k ? 0 时,求函数 f ( x ) 在 {1, k} 上最小值 m 和最大值 M.

5



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