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二项式定理及性质

2013-2014 学年度 xx 学校 xx 月考卷
1、



的展开式中,记

项的系数为 ( )

,则

A.45 B.60 C.120 D.210 C 本题考查二项式定理以及组合数的运算,中档题.

由二项式定理知:



所以



2、



的展开式中,含

项的系数为(



A.

B.

C.

D. C

本题考查二项式定理???及简单的组合运算,简单题.含

项为



3、

的展开式中 A、-20

的系数是(



B、-5 C、5 D、20 A



的展开式中,第

项展开式为

,



时,

,故选 A.

本题考查:本题主要考查二项式定理

4、

若二项式 A.2

的展开式中

的系数是 84,则实数





B. C. 1

D. C

二项式

的展开式中,第

项为

,令 C。

,得

,所以

,解得

。因此选

本题考查:本题主要考查二项展开式中的系数及其方程的思想。

5、



的二项展开式中,

的系数为(

).

A. C

B.

C.

D.



的展开式中,第

项为

,当

时,为含

的项,其系数是

,故选择 C. 6、

展开式中不含 x 项的系数绝对值的和为 243,不含 y 的项的系数绝对值的各 为 32,则 a,b,n 的值可能为( ). A. C. D , , , , B. D. , , , ,

注意到 , , 7、 ,因此选 D.

,因此依题意得 ,于是结合各选项逐一检验可知,当 时,

的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为( A.-40 D B.-20 C.20 D.40

).

对于

,可令



,故

.

的展开式的通项

,要得到展开式的常数项,则

的x



展开式的 得 ,令

相乘, 得





的展开式的 x 相乘,故令

,从而可得常数项为

. 8、

若 ( A.2 C

,则 ). B.0 C.-1 D.-2

的值为



可得

,所以

.

再令 9、

可得

,因而

.

在 A.10 D

的二项展开式中,x 的系数为( B.-10 C.40 D.-40

).

因为二项式

展开式的第

项为

,当

时,含有 x,其系数为

.

【易错点拨】二项式 10、

展开式的第

项的二项式系数是

,不是

.

的展开式中常数项为(

).

A. B

B.

C.

D.105

二项展开式的通项

,当

时,

,展开式中的常数项为 11、

设 A.0 D

,且 B.1

,若 C.11

能被 13 整除,则 D.12

(

).

,被 13 整除余 能被 13 整除.

,结合选项可得

时,

【易错点拨】造成此题错解的原因是对于较大数据的展开没有想到运用二项式定理,或除 13 后余 12、 误当成余 .

的展开式中 A.42 D B.35

的系数是( C.28

). D.21

依题意可知,二项式 13、

的展开式中

的系数等于

,选 D.

如果 A.7 C B. -7

的展开式中各项系数之和为 128,则展开式中的 C.21 D. -21

系数是(

).

令 x=1 得(3-1) =128,n=7,在

n

的展开式中,

令 故选 C。 14、

,得 r=6,

的系数为

.



在 ) A.2 B
3015

的二项展开式中,含 的奇次幂的项之和为

,当

时,

等于

B. -2

3014

C.2

3014

D. -2

3008

当 15、

时,

∴选 B.

如果

的展开式中含有非零常数项,则正整数 n 的最小值为( ).

A.3 B

B.5

C.6

D. 10

由 由 2n-5k=0,得 2n=5k.





又 n∈N ,k∈N,故 n 必为 5 的倍数,从而正整数 n 的最小值为 5. 16、

*

在 A.第 5,7 项 A

的展开式中,系数最大的项是( B.第 6 项 C.第 5,6 项

). D.第 6,7 项

展开式的通项为

其系数为

当 k=4,6 时,其值最大,因此二项式系数最大的项是第 5,7 项。 17、

二项式

的展开式中,二项式系数最大的项是(

).

A.第 D



B.第



C.第



D.不能确定

由于 3n 是奇数还是偶数不确定,所以此二项展开式中二项式系数最大的项不能确定。 18、

按 的降幂排列系数最大的项是( A.第四项和第五项 B B.第五项

). C.第五项和第六项 D.第六项

n=9,第五、六项系数绝对值最大,但第六项系数为负值。
19、





则 A. -2 A

的值为( ). B. -1 C.1 D.2

令 x=-1,得 a0+a1+a2+?+a11=(1+1)×(-2+1) =2×(-1) =-2. 20、

9

9

展开式中的常数项是( ). A. -36 C B.36 C. -84 D.84

。令 21、

得 k=3,故

展开式中 A. B 15

的系数为( ). C. 120 D. 240

B. 60

由 6-k=2 得 k=4,故 22、



代数式

可化简为( ).

A.

B.

C. C

D.

逆用二项展开式,即由 (x+1)-1] 展开得。 23、 91 被 100 除所得的余数为( A. 1 B B.81
92

4

). C. -81 D.9
92

利用 解法一:

的展开式,或利用

的展开式.

. 展开式中前 92 项均能被 100 整除,只需求最后一项除以 100 的余数.

由 前 91 项均为能被 100 整除,后两项和为-919,因原式为正,可从前面的数中分离出 1 000,结果为 1 000 -919 =81, ∴91 被 100 除可得余数为 81,故选 B.
92

解法二: 前 91 项均能被 100 整除,剩下两项为 92×90+1=8 281,显然 8 281 除以 100 所得余数 为 81,故选 B. 【点评】利用二项式定理可以求余数和证明整除性问题,通常需将底数化成两数的和 与差的形式,且这种转化形式与除数有密切的关系,再用二项式定理展开,只考虑后面 (或者是前面)一、二项就可以了.

24、

的??开式中 20

的系数为

.(用数字填写答案)

本题考查组合数的计算、二项式定理,中档题.

展开式的通项为









的展开式中

的项为

,故系数为

20.

25、
的展开式中 的系数为.(用数字作答)

主要考查二项式定理的运用,二项式展开式的通项为

,所以

的系数为

26、

设a≠0,n是大于1的自然数, 的展开式为 ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则 a=___________.

若点 Ai(i,

3

本题考查解决二项式的特定项问题,关键是求出展开式的通项,属于一道中档题.本题考查解决二项式的 特定项问题,关键是求出展开式的通项,属于一道中档题.

(1+

) 的展开式的通项为

n



由图知,a0=1,a1=3,a2=4,







, a ﹣3a=0, 解得 a=3, 故答案为:3.
2



27、

的展开式中,

的系数为 15,则 a=________.(用数字填写答案)

本题考察二项式定理,简单题.





28、 如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角形中,第________行中从左至右第 14 与第 15 个数的比为 2∶3.

34

设第 n 行,展开式中的第 14、15 项分别为 34. 29、



,∴

,解得 n=

设 0

,则

________.

的展开式的通项为 系数,所以 30、 , ,所以

.由题意知

, .

分别是含



项的

的展开式中, 84

的系数是________(用数字作答).

原问题等价于求

的展开式中

的系数,

的通项

,令



,∴

的系数为

,即 31、

的展开式中

的系数为 84.

设二项式 ________. 2

的展开式中

的系数为 A,常数项为 B.若 B=4A,则 a 的值是

对于 ,∴ 32、 .





.∵B=4A,

若将函数

表示为 为实数,则 ________.

,其中

10

不防设

,则 .

,因此有

,则

33、

在 -160

的二项展开式中,常数项等于________.

利用展开式的通项公式求解.

展开式的第



,令 34、

,得常数项为

.



展开式的常数项为 60,则常数 a 的值为________.

4

二项式

展开式的通项公式是

,当 ,根据已知得 35、 ,解得 .

时,

为常数项,即常数项是

在 6

的展开式中,系数为有理数的项共有________项.

注意到二项式

的展开式的通项是 的展开式中,系数

.

当 时,相应的项的系数是有理数.因此 是有理数的项共有 6 项. 36、

的展开式中的常数项为________. -5

的展开式的通项

.令

,得

,令

,得

(舍去),令 .

,得

.所以所求的常数项为:

37、

在 60

的二项展开式中,常数项是________.



的二项展开式的通项为

,令

,解得 38、 观察下列等式:

,所以

的二项展开式的常数项为

.







, ?? 由以上等式推测到一个一般的结论:

对于



________.

给出的一系列等式中,右边为两项 7,11,?,4n-1 构成,第二个 . 39、

形式加减轮换的规律,其中第一个

的指数由 3,

的指数由 1,3,5,?,2n-1 构成.故等式的右边为

若 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等,则该展开式中 ________.

的系数为

56



可知

,所以

的展开式的通项公式

,所以 40、

,所以

的系数为



的展开式的常数项是( A.-3 D B.-2 C.2

). D.3

的展开式的通项为 中提供 时,则取 ;当因式

, 中提供 2 时,则取

.当因式 ,所以

的展开式的常数项是 5-2=3. 41、

将杨辉三角中的每一个数 都换成分数 数三角形,称为莱布尼茨三角形.

,就得到一个如图 1-4-5 所示的分

?? 从莱布尼茨三角形可看出

,其中 x=______.



,则

=______.

.r+1; 从莱布尼茨三角形可以看出,下一行两个分数之和等于肩上的上一行的分数之和,

∴x=r+1.又

。 42、

由等式 定义映射 (0,-3,4,-1) 设 f(4,3,2,1)=(b1,b2,b3,b4),则 x +4x +3x +2x+1=(x+1) +b2(x+1) +b3(x+1)+b4. 解法一:令 x+1=0,即 x=-1,得 b4=-1.
4 3 2 4 2

,则

等于_________

对①式两边求导得 4x +12x +6x+2=4(x+1) +3b1(x+1) +2b1(x+1)+b3,再令 x=-1 得 b3=4. 同理可得 b1=0,b2=-3. 解法二:∵x +4x +3x +2x+1=[(x+1)-1] +4[(x+1)-1] +3[(x+1)-1] +2[(x+1)4 2 1]+1=(x+1) -3(x+1) +4(x+1)-1, 比较系数可知 b1=0,b2=-3,b3=4,b4=-1.故填(0,-3,4,-1). 43、
4 3 2 4 3 2

3

2

3

2

已知 _________

,则

的值为

∴奇数项的系数 a0、a2、a4、a6 均为正数,偶数项的系数 a1、a3、a5、a7 均为负数,故 即当 x=-1 时,a0-a1+a2-a3+?+a6-

a7=-2 .
44、

14

的展开式中常数项是_______(用数字作答)

,由 30-5k=0,得 k=6,故

. 45、

展开式中 594

的系数为_____(用数字作答).

。令 . 46、

得 k=10,故

的展开式中 5

的系数是_________________.

变换→部分展开→确定系数,或利用双通项来求解.

解法一: ∴ 的系数为 1×( -1)+( -2)×( -3) =5.



解法二:

的通项:



的通项:





的通项:

(其中



).令

,则有

,或

,或



的系数为

.故填 5.

【点评】本题解法一仅适用于幂指数较小的二项式乘积的展开式,而解法二的双通项 法则是解决这类问题的通法.所谓双通项法就是根据多项式与多 项式的乘法法则得到 的展开式中的一般项为 (注意这里含有 的项不 一定只有一项),再根据题目中对字母的指数的特殊要求,确定 r 与 k 所满足的条件,进 而求出 r、k 所取的值的情况.从而使问题顺利地解决.推广到一般可得三通项法、四通项 法??. 47、 如图所示,在一块木板上钉一些正六棱柱形的小木块,在它们中间留下一些通道,从上 面的漏斗直通到下部的长方形框子,前面用一块玻璃挡住.把小弹子倒在漏斗里,它首先会通

过中间的一个通道落到第二层(有几个通道就算第几层)的六棱柱上面,以后,再落到第二 层中间的一个六棱柱的左边或右边的两个竖直通道里边去.再以后,它又会落到下一层的三 个通道之一里边去??,以此类推,最终落到下边的长方形框子中.

假设我们总共在木板上做了

层通道,在顶上的漏斗里一共放了

颗小弹子,让它们自由落下,落到下边 个长 方形框子里,那么落在每个长方形的框子里时的弹子的数目(按照可能情形来计算)会是多 少?你能用学过的二项式定理与概率的知识来解释这一现象吗? 见解析. 弹子从每一个通道通过时可能情况是:它选择左右两个通道的可能性是相等的,而其他 任何一个通道的可能情形等于它左右肩上两个通道的可能情形的和. 可以设想,第 1 层只有 1 个通道,通过的概率是 1;

第 2 层有 2 个通道,每个通过的概率依次是

;

第 3 层有 3 个通道,每个通过的概率从左到右依次是

;

第 4 层有 4 个通道,每个通过的概率从左到右依次是 ?? 照这样计算第 多少呢? 层有 个通道,弹子通过各通道的概率将是



我们可以写出如下图所示的“概率三角形”,可得出它与杨辉三角的关系:第 行各 概率的分子是杨辉三角中的数,分母是 目(按照可能情形来计算)分别是: .由此可知,落在每个长方形的框子里的弹子的数

. 1

??

即正好等于二项式系数:

.

【点评】本题中通过观察特殊图形,发现一般规律:弹子通过每一通道时,它选择左、 右两通道的可能性相等,并且经过任一通道 的可能性等于它肩上两个通道的可能情形之和. 进而不难把它与“杨辉三 角”联系在一起,使问题顺利地解决.本题的解决过程进一步体现 了“观察——分析,实验——归纳猜想——证明”的基本思想方法.其中观察、分析、实 验、归纳、猜想结论是其关键,是我们应该重点掌握的地方. 48、



成等差数列,求证:

. 见解析.

证明:由题意知:

,



.







.两式相加得:

=

=

=

.



.

【点评】利用二项式定理可以解决某些数列求和问题,本例中利用倒序相加求和法, 并结合组合数性质,把所求的和转化为 的问题,为运用二项式定理 知识解决问题创设了条件.我们应从本题中领悟到如何 对问题实施转化,还有如何为应用 二项式定理创设条件的真谛. 49、

求证: 见解析.

.

观察等式右边的组合数的特征,联想二项式定理可知它是 系数,这样问题就转化为等式左边也应该是 每一项的各因子又都是 再分别展开. 的展开式中

的展开式中



的系数,而等式左边 转化为

展开式中 各项的系数,所以想到要将

证明:

的展开式中

的系数为

.

又 等式右边整理后 的系数为 .

,则

∵两种形式下的展开式中

的系数应该相等,



.

50、

设 d 为非零实数,

.

(1)写出





,并判断

是否为等比数列.若是,给出证明;若不是,说明理由;

(2)设

,求数列

的前 n 项和

.

(1)见解析;(2)

(1)由已知可得





.





时,

,因此

.

由此可见,当

时,

是以 d 为首项,

公比的等比数列;



时,



,此时

不是等比数列.

(2)由(1)可知,

,从而



. ①

当 当

时,

. 得

时,①式两边同乘

.② ①,②式相减可得

.

化简即得

.

综上, 51、



设数列 降幂排列).

是等比数列,

,公比 q 是

的展开式中的第二项(按 x 的

(1)用 n、x 表示通项

以及前 n 项和



(2)若

,用 n、x 表示



(1)

;(2)

(1)由 ∴



(2)当 x=1 时,Sn=n,





当 x≠1 时,

∴ 52、



是定义在 R 上的一个给定的函数,函数



(1)当

时,求



(2) 见解析.

时,求



(1)当 f(x)=1 时,

(2)当 f(x)=x 时,





53、



的展开式中,试求使

的系数为最小值时 P 的值.

P=4

解法一;通项

又(1+px) 的通项为

r





而 m+r=4,且 0≤m≤r≤10.

∴ ∴x 的系数为
4 4

∴仅当 p=-4 时,x 的系数为最小。

解法二:

因展开式可知,x 的系数为

4

∴仅当 p=-4 时,x 的系数为最小。 54、

4



的展开式中系数最大的项.

设第 r+1 项的系数最大,则有







∴r=3 时, 55、

为所求的系数最大的项。

求 见解析.

的展开式.

56、

已知

的展开式的二项式系数和比

的展开式的二项式系数和大 992,



的展开式中: (1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项. (1) ;(2)第 4 项.

根据二项式系数的性质,列方程求出 .系数的绝对值最大的问题需要列不等式组求解.

解:由题意知,

,即

.∴

,解得

.

(1)由二项式系数的性质知,

的展开式中第 6 项的二项式系数最大,



.

(2)设第 r+1 项的系数的绝对值最大.



,∴





解得 .

.∵

,∴

.故系数的绝对值

最大的项是第 4 项, 57、

求证:对一切 见解析.

,都有

.

证明:∵

=

.



=

=

<3,

当且仅当

时,

;当

时,

.

【点评】(1)用二项式定理证明组合数不等式时,通常表现为二项式定理的正用或逆 用,再结合不等式证明的方法进行论证. (2)应用时应注意巧妙地构造二项式.

(3)证明不等式时,应注意运用放缩法,即对结论不构成影响的若干项可以去掉,或增 加. 58、 某地现有耕地 10 000 公顷,规划 10 年后粮食单产比现在增加 22%,人均粮食占有量 比现在提高 10%,如果人口年增长率为 1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精

确到 1 公顷)( 4 公顷.



)?

设耕地平均每年至多只能减少 公顷,又设该地区现有人口为 P 人,粮食单产为 M/公 顷,依题意得不等式:



化简得

.





(公顷).

答:按计划,耕地平均每年至多只能减少 4 公顷. 【点评】利用二项式定理来进行近似计算,其关键在于构造恰当的二项式 ,并根据近似要求,对其展开式的项合理取舍(当 较大或 较小时,舍去展开式中后面某些项,既不影响精确度,又简化了运算过程),从而确定 其近似值 59、 .如果近似值是中间运算值,则应多取一两位有效数字.

已知

,



.



由于所要求的和式中,

的系数分别为“2”、“3”、 ? 、“7”, .

联想到导数公式:可知对原二项展开式右端求导,即可产生由新的系数

解:对 得:

两边求导

.

令 60、

得:

.



,求下列各式的值.

(1)



(2)



(3)



(4)



(5)

.

(1) 1;(5)

;(2)

;(3)

;(4)

(1)令

,则展开式为

.

(2)令

可得

,①



.

(3)令

可得

.



与①联立相减得

.

(4)原式=

=

=

=

=1.

(5)∵

,∴

.



=



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