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2018-2019版高中数学北师大版必修一课件:第二章 2.1 函数概念_图文

第二章 § 2 对函数的进一步认识 2.1 函数概念 学习目标 1.理解函数的概念. 2.了解构成函数的三要素. 3.正确使用函数、区间符号. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 函数的概念 思考 初中时用运动变化的观点定义函数,用这种观点能否判断只有 一个点(0,1),算不算是函数图像? 答案 因为只有一个点,用运动变化的观点判断就显得牵强, 因此有必要引入用集合和对应关系来定义的函数概念. 答案 梳理 函数的概念: 给定两个 非空数集 A和B,如果按照某个 对应关系 f,对于集合 A 中任何 一个数x,在集合 B 中都存在 唯一确定 的数f(x)与之对应,那么就把对应 关系f叫作定义在集合A上的函数,记作f:A→B,或 y=f(x) , x∈A. 其 中,x叫作 自变量 ,集合A叫作函数的 定义域 ,集合 {f(x)|x∈A} 叫作函 数的 值域 .习惯上我们称y是x的函数. 用函数的上述定义可以轻松判断:A={0},B={1},f:0→1,满足函数 定义,其图像(0,1)自然是函数图像. 知识点二 函数三要素 思考 函数f(x)=x2,x∈R与g(t)=t2,t∈R是不是同一个函数? 答案 两个函数都是描述的同一集合 R 中任一元素,按同一对 应关系“平方”对应B中唯一确定的元素,故是同一个函数. 答案 梳理 一般地,函数有三个要素:定义域、对应关系与值域.其中,定义域和 对应关系起决定作用,只要确定了一个函数的定义域和对应关系,这 个函数也就确定,值域也随之确定. 两点说明:(1)在没有标明函数定义域的情况下,定义域是使函数解析 式有意义的x的取值范围.在实际问题中,除了要使函数式有意义,还要 符合实际意义. (2)f(a)表示自变量x=a时对应的函数值. 知识点三 区间 1.区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表: 定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b} {x|a<x≤b} 名称 闭区间 开区间 左闭右开区间 左开右闭区间 符号 [a,b] (a,b) [a,b) (a,b] 数轴表示 {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} R [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) (-∞,+∞) 取遍数轴上所有的值 2.注意:(1)“∞”读作无穷大,是一个符号,不是数,以-∞或+∞作为 区间一端时,这一端必须是小括号. (2)区间是数集的另一种表示方法,区间的两个端点必须保证左小、右大. 题型探究 类型一 函数关系的判断 命题角度1 给出三要素判断是否为函数 例1 判断下列对应是否为集合A到集合B的函数. (1)A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|; 解 A中的元素0在B中没有对应元素,故不是集合A到集合B的函数. 解答 (2)A=Z,B=Z,f:x→y=x2; 解 对于集合 A中的任意一个整数 x,按照对应关系 f :x→y= x2在集合 B 中都有唯一一个确定的整数x2与其对应,故是集合A到集合B的函数. 解答 解 集合A中的负整数没有平方根,在集合B中没有对应的元素,故不是 集合A到集合B的函数. (4)A={x|-1≤x≤1},B={0},f:x→y=0. 解 对于集合A中任意一个实数x,按照对应关系f:x→y=0在集合B中都 有唯一一个确定的数0和它对应,故是集合A到集合B的函数. 解答 反思与感悟 判断对应关系是否为函数,主要从以下三个方面去判断:(1)A,B必须 是非空数集;(2)A中任何一个元素在 B中必须有元素与其对应; (3)A中 任何一个元素在B中的对应元素必须唯一. 跟踪训练1 下列对应是从集合A到集合B的函数的是 1 A.A=R,B={x∈R|x>0},f:x→|x| B.A=N,B=N+,f:x→|x-1| C.A={x∈R|x>0},B=R,f:x→x 2 D.A=R,B={x∈R|x≥0},f:x→ x 解析 A中,x=0时,绝对值还为0,集合B中没有0; B中,x=1时,绝对值x-1=0,集合B中没有0; C正确;D不正确. 解析 答案 命题角度2 给出图形判断是否为函数图像 例2 下列图形中不是函数图像的是 解析 A中至少存在一处如x=0,一个横坐标对应两个纵坐标,这相当 于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一,故A不是函数 图像,其余B、C、D均符合函数定义. 解析 答案 反思与感悟 判断一个图像是函数图像的方法:作任何一条垂直于x轴的线,不与已 知图像有两个或以上的交点的,就是函数图像. 跟踪训练 2 若函数 y = f(x) 的定义域为 M = {x| - 2≤x≤2} ,值域为 N = {y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图像可能是 解析 A中,定义域为[-2,0],不符合题意; B中,定义域为[-2,2],值域为[0,2],符合题意; C中,存在一个x值对应2个y值的情形,不是函数; D中,定义域为[-2,2],但值域不是[0,2],不符合题意. 解析 答案 反思与感悟 函数图像上点的横坐标、纵坐标分别对应函数自变量、因变量的取值, 故判断图形是否为函数图像,主要看横坐标、纵坐标之间的对应关系 是否满足函数定义. 类型二 已知函数的解析式,求其定义域 例3 求下列函数的定义域. 1 (1)y=3-2x; 解 1 函数 y=3-2x 的定义域为 R. (2)y=2 x- 1-7x; 解 ? ?x≥0, 1 由? 得 0≤x≤7, ? ?1-7x≥0, 1 所以函数 y=2 x- 1-7x的定义域为[0,7]. 解答 ?x+1?0 (3)y= ; x+2 解 由于00无意义,故x+1≠0,即x≠-1. 又x+2>0,即x>-2, 所以x>-2且x≠-1. ?x+


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