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湖南省益阳市箴言中学2014-2015学年高二上学期12月月考试题 数学(理) Word版含答案


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益阳市箴言中学 2014—2015 学年高二 12 月月考

理科数学试题
〖命题范围:选修 2—1,2—2〗 时量 120 分钟 总分 150 分 一、选择题(10×5=50 分) 1. 命题“ ? x∈Z,使 x2+2x+m<0”的否定是( ) 2 A. ? x∈Z,使 x +2x+m≥0 B.不存在 x∈Z,使 x2+2x+m≥0 C. ? x∈Z,使 x2+2x+m>0 D. ? x∈Z,使 x2+2x+m≥0 2. 复数 i ? i ? i (i 为虚数单位)的共轭复数 是( ....
2 3 4

1? i



A.- 1 - 1 i

3.

D. 1 + 1 i 2 2 2 用数学归纳法证明不等式 1 + 1 +· · · + 1 > 13 (n>1,n∈N*),在证明 n=k+1 n ?1 n ? 2 2n 24

2

2

B.- 1 + 1 i

2

2

C. 1 - 1 i

2

这一步时,需要证明的不等式是( A. 1 B. 1 C. D.



k ?1

+ +

1 +· · · + 1 > 13 k ?2 2k 24

k ?1

1 +· · · + 1 + 1 > 13 k ?3 2k 2k ? 1 24

1 + 1 +· · · + 1 + 1 > 13 k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 24 1 + 1 +· · · + 1 + 1 + 1 > 13 k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 2k ? 2 24
2

4.

2 y 若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 x ? =1 的右焦点重合,则 p 的值为(

6

2



A.-2
2

B.2

C.-4

D.4

5.

2 y 过椭圆 x 2 + 2 =1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为右焦点,

a

b

若∠ F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( A. 6.

) C. 1

2 2
2

B.

3 3

2

D. 1 )

3

2 双曲线 x ? y =1 的一个焦点到它的渐近线的距离为(

3

A.1 7.

B. 2

C. 3

D.2

已知定点 A(2014,2) ,F 是抛物线 y2=2x 的焦点,点 P 是抛物线上的动点,当|PA|+ |PF|最小时,点 P 的坐标为( ) A. (0,0) B. (1, 2 ) C. (2,2) D. ( 1 ,1)

2

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8.

观察 ( x )? =2x, ( x )? =4x3, (cosx)? =-sinx,由此可得,若定义在 R 上的函数 f ( x)
2 4

满足 f (? x) = f ( x) ,记 g ( x) 为 f ( x) 的导函数,则 g (? x) =( A. f ( x ) 9. B.- f ( x) C. g ( x )

) D.- g ( x) D1 B1 P D A B C C1

如图,棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动,并且总保持向量 AP 在 BD1 上的投影为 0,则 A1 线段 AP 扫过的区域的面积为( ) A. 1 C.

2
3 2

B.

2 2 5 D. 4

10. “若存在一条与函数 y= f ( x) 的图象有两个不同交点 P(x1,y1),Q(x2,y2)的直线,使 y

x1 ? x 2 处的切线与此直线平行”,则称这样的函数 y= f ( x) 为“hold 函 2 2 数”;下列函数:① y= 1 ;② y= x 2 (x>0);③ y= 1 ? x ;④ y=lnx;其中为“hold 函数”的 x
= f ( x) 在 x= 是( ) A.① ② ④ B.② ③ C.③ ④ D.① ③ ④

二、填空题(5×5=25 分) 11. 若

?

1 0

(2 x ? k )dx =2,则实数 k=

.

12. 设平面 ? 的法向量 n1 =(1,2,-2) ,平面 ? 的法向量 n 2 =(-2,-4,k) , 若 ? ∥ ? ,则 k= . 条件(填“充分不必

13. 设条件 p:a>0;条件 q:a2+a≥0,那么 p 是 q 的 要,必要不充分,充要” ).

14. 先阅读下面的文字:“求 1 ? 1 ? 1 ? ? 的值时,采用了如下的方法:令

1 ? 1 ? 1 ? ? =x,则有 1 ? x =x,从而解得 x= 1 ? 5 (负值已舍去)”;运用类 2
比的方法,计算: 1 ?

1 2? 1?

1 2 ??
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 · · ·

1



.

15. 将全体正奇数排成一个三角形数阵;接照图中的排列规律, 第 n 行(n≥3)从左向右的第 3 个数为 .

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三、解答题(本大题共有 6 道小题,75 分) 16. (本小题满分 12 分)已知复数 z= ( x ? 2) ? yi (x,y∈R,i 为虚数单位)的模为 3 , 求

y 的最大值. x

17. (本小题满分 12 分)已知 p:函数 y= x 2 ? mx ? 1 在(-1,+∞)上单调递增;q: 函数 y=4 x 2 +4(m-2)x+1 大于零恒成立。若“p∨ q”为真,“p∧ q”为假,求实数 m 的取 值范围.

18. (本小题满分 12 分)如图,已知四棱锥 P—ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC,∠ DAB =90°,PA⊥ 底面 ABCD,且 PA=AD=DC=1,AB=2,M 是 PB 的中点. (1)证明:平面 PAD⊥ 平面 PCD; (2)求 AC 与 PB 所成的角的余弦值.
P M A D C B

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19. (本小题满分 13 分)已知某公司的品牌服装的年固定成本为 10 万元,每生产 1 千件, 需要另外投入 1.9 万元,设 R(x)(单位:万元)为销售收入,根据市场调查,知 R(x)=

?10 x ? 1 x 3 , (0 ? x ? 10) ? 30 ,其中 x 是年产量(单位:千件). ? ? 200 , ( x ? 10) ? 3
(1)写出年利润 W 关于年产量 x 的函数解析式; (2)当年产量为多少时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?

2 y 20. (本小题满分 13 分)已知椭圆 x 2 + 2 =1(a>b>0)的右焦点为 F2 (3, 0) ,离心率

2

a

b

为 e. (1)若 e=

3 ,求椭圆的方程; 2

(2)设直线 y=kx 与椭圆相交于 A,B 两点,M,N 分别为线段 AF2 , BF2 的中点,若 坐标原点 O 在以 MN 为直径的圆上,且

2 <e≤ 3 ,求 k 的取值范围. 2 2

21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) = 线 x-2y=0 平行. (1)求 a 的值;

ln( ax ) ,曲线 y= f ( x) 在 x=1 处的切线与直 x ?1

(2)若 f ( x) ≤b- 2 恒成立,求实数 b 的最小值.

x ?1

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理科数学试卷 参考答案
一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分) DDDDB ACDCB 二、填空题: (每小题 5 分,共 25 分) 11、 【1】 ;12、 【4】 ;13、 【充分不必要】 ;14、 【 三、解答题: (本大题共 75 分) 16、 (本小题满分 12 分) 解:由 ( x ? 2) ? yi ?

1? 3 】 ;15、 【n2-n+5】. 2

3 得: ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 ,由几何意义易得:

y 的最大值为 3 . x

17、 (本小题满分 12 分) 解:若 p 为真,则 m≥2;若 q 为真,则 1<m<3, ∵ “p∨ q”为真,“p∧ q”为假,∴ p 与 q 是“一真一假”, ∴ ?

?m ? 2 ?m ? 2 ,或 ? ,解得:m≥3 或 1<m<2,∴ m∈ (1,2)∪ [3,+∞). ?1 ? m ? 3 ?m ? 3或m ? 1

18、 (本小题满分 12 分) P 证明: (1)∵ AB∥ DC,∠ DAB=90°, ∴ DC⊥ AD,又 PA⊥ 面 ABCD,∴ PA⊥ DC, M ∴ DC⊥ 面 PAD,又 DC ? 面 PDC, A ∴ 平面 PAD⊥ 平面 PCD; 解: (2)以 A 为原点,AD,AB,AP 分别为 x,y,z 轴, D C 建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0) ,P(0,0,1) ,D(1,0,0) ,C(1,1,0) ,B(0,2,0) , ∴ , PB =(0,2,-1) ,设 AC 与 PB 所成的角为 ? (0< ? <90°) AC =(1,1,0) ∴ cos ? =|cos< AC , PB >|=

B

AC ? PB = | AC | ? | PB |

10 . 2 = 5 2? 5

19、 (本小题满分 13 分)

?8.1x ? 1 x 3 ? 10, (0 ? x ? 10) ? 30 解: (1)W= ? . ?170 ? 1.9 x, ( x ? 10) ? 3 (2)当 0<x<10 时, W ? =8.1-0.1x2,令 W ? =0,解得:x=9 或 x=-9(舍去) ,
比较 W(0) ,W(9) ,W(10)得 W(9)最大;当 x>10 时,函数是减函数,

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∴ 当年产量为 9 千件时,该公司所获年利润最大,最大利润为 38.6 万元.

20、 (本小题满分 13 分) 解: (1)由题意得: ? c
2 ? ?c ? 3 2 x 2 ? y =1. ,解得 a = 2 ,∴ = 3 ,∴ 椭圆的方程为 3 b 12 3 ? 3 ? 2 ?a

2 2 ? ? x 2 ? y2 ? 1 2 2 2 2 2 2 (2)由 ? a ,得 (b ? a k ) x ? a b ? 0 ,设 A( x1 , y1 ),B( x 2 , y 2 ),∴ x1 + x 2 b ? y ? kx ?

?a b =0,x1 ·x 2 = 2 2

2 2 2

b ?a k

, 依题意, OM⊥ ON, ∴ 又 M( OM ·ON =0,

x1 ? 3 y1 x ?3 , ), N( 2 , 2 2 2

y2 9 ? 3( x1 ? x2 ) ? x1 x2 yy 2 ),∴ + 1 2 =0,代入整理得: (k ? 1) x1 x2 +9=0, OM ·ON = 2 4 4


? a 2 (a 2 ? 9)(1 ? k 2 ) 2 a 4 ? 18a 2 ? 81 =-1- k 2 ? 81 + 9 = 0 , 将其整理为: , k ? a 4 ? 18a 2 ? a 4 ? 18a 2 a 2 k 2 ? (a 2 ? 9)

2 <e≤ 3 ,∴ 2 3 ≤a<3 2 ,∴ 12≤ a 2 <18, 2 2 2 ]∪ 2 ,+∞). ∴ (-∞,- [ k 2 ≥ 1 ,即 k∈ 4 4 8
∵ 21、 (本小题满分 13 分)

1 ( x ? 1) ? lnax 1 ? 1 ? lnax x 解: (1)∵f ?( x) = x = ,由 f ?(1) = 2 ? lna = 1 , 4 2 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2
解得 a=1. (2)∵ a=1,∴f ( x) = lnx ,∴ 由题得:b≥ 2 ? lnx (x>0)恒成立,

x ?1

x ?1

1 ? lnx ? 1 2 ? lnx 设 g ( x) = , 则 g ?( x) = x , 再 设 h( x) = 1 ? lnx ? 1 , 则 h ?( x) = 2 x ?1 x ( x ? 1)
1 <0,∴ 当 x∈ (0,1)时, h( x) >0,即 g ?( x) >0, ? x? h( x) 在(0,+∞)上递减,又 h(1) =0,∴ x2
∴ (1,+∞)时, h( x) <0,即 g ?( x) <0,∴ g ( x) 在(0,1)上为增函数;当 x∈ g ( x) 在(1,+∞)

g ( x) max = g (1) =1,∴ 上为减函数;∴ 只需 b≥ g ( x) max =1,
即 b≥1,∴ b 的最小值 bmin =1.

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