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高中数学 第二章《向量的加法运算及其几何意义》教案 新人教A版必修4


第 2 课时§2.2.1
教学目标:

向量的加法运算及其几何意义

1、 掌握向量的加法运算,并理解其几何意义; 2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量,培养数形结合解 决问题的能力; 3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运算的交换律和结 合律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法; 教学重点:会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点:理解向量加法的定义. 学 法:

数能进行运算,向量是否也能进行运算呢?数的加法启发我们,从运算的角度看,位移 的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加 法,让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边 形法则.联系数的运算律 理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律. 教 具:多媒体或实物投影仪,尺规

授课类型:新 授课 教学思路: 一、设置情景 : 1、 复习:向量的定义以及有关概念 强调:向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因 此,我们 研究的向量是与起点无关的自由向量, 即任何向量可以在不改变它 的方向和大小的前提 下,移到任何位置 2、 情景设置: (1)某人从 A 到 B,再从 B 按原方向到 C, 则两次的位移和: AB ? BC ? AC (2)若上题改为从 A 到 B,再从 B 按反方向到 C, 则两次的位移和: AB ? BC ? AC (3) 某车从 A 到 B,再从 B 改变方向到 C, 则两次的位移和: AB ? BC ? AC A B C (4)船速为 AB ,水速为 BC ,则两速度和: AB ? BC ? AC 二、探索研究: A B
1

A

B

C

C A

B

C

1、向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法. 2、三角形法则( “首尾相接,首尾连” ) 如图,已知向量 a、b.在平面内任取一点 A ,作 AB =a, BC =b,则向量 AC 叫做 a 与b的和,记作 a+b,即 a+b ? AB ? BC ? AC ,规定: a b a+b b B a+b a + 0-= 0 + a

a

a C a A + a b b



探究: (1)两相向量的和仍是一个向量; (2)当向量 a 与 b 不共线时, a + b 的方向不同向,且| a + b |<| a |+| b |; (3)当 a 与 b 同向时 ,则 a + b 、a 、b 同向, 且| a + b |=| a |+| b |,当 a 与 b 反向时,若 | a |>| b |,则 a + b 的方向与 a 相同,且 b a O b a a A b B

| a + b |=| a |-| b |;若| a |<| b |,则 a + b 的方向与 b 相同,且| a +b|=| b |-| a |. (4) “向量平移” (自由向量) :使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到 n 个向量连加 3.例一、已知向量 a 、 b ,求作向量 a + b 作法:在平面内取一点,作 OA ? a AB ? b ,则 OB ? a ? b . 4.加法的交换律和平行四边形法则 问题:上题中 b + a 的结果与 a + b 是否相同? 验证结果相同

从而得到:1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应) a 2)向量加法的交换律: a + b = b + a

2

5.向量加法的结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c ) 证:如图:使 AB ? a , BC ? b , CD ? c 则 ( a + b ) + c = AC ? CD ? AD , a + ( b + c ) = AB ? BD ? AD ∴( a + b ) + c = a + ( b + c ) 从而,多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 三、应用举例: 例二(P94—95)略 练习:P95 四、小结 1、向量加法的几何意义; 2、交换律和结合律; 3 、注意:| a + b | ≤ | a | + | b |,当且仅当方向相同时取等号. 五、课后作业: P103 第2、3题 六、板书设计( 略) 七、备用习题 1、一艘船从 A 点出发以 2 3km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,船的实际航行的速 度的大小为 4 km / h ,求水流的速度. 2、一艘船距对岸 4 3km ,以 2 3km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,到达对岸时, 船的实际航程为 8km,求河水的流速. 3、一艘船从 A 点出发以 v 1 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为 v2 ,船 的实际航行的速度的大小为 4 km / h ,方向与水流间的夹角是 60 ? ,求 v 1 和 v2 . 4、一艘船以 5km/h 的速度在行驶,同时河水的流速为 2km/h,则船的实际航行速度大小 最大是 km/h,最小是 km/h

5、已知两个力 F1,F2 的夹角是直角,且已知它们的合力 F 与 F1 的夹角是 60 ? ,|F|=10N 求 F1 和 F2 的大小. 6、用向量加法证明:两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
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