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【新】四川省宜宾县第一中学校2019届高三数学上学期第一次月考试题文

小中高 精品 教案 试卷

四川省宜宾县一中高 2019 届高三上第一学月考试 数学(文科)
(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分) 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓 名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 选择题(60 分) 一.选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.设全集为 R ,集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x | x ? 1} ,则 A ? B ? A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x |1 ? x ? 2} D. {x | 0 ? x ? 2}

2.若复数 z 满足 (1 ? 2i) z ? 1 ? i ,则复数 z 为 A.

1 3 ? i 5 5

B. ?

1 3 ? i 5 5

C.

1 3 ? i 5 5

D. ?

1 3 ? i 5 5

3.函数 f ( x) ? A. (??, ?2]

x2 ? 2 x ? 8 的单调递增区间是
B. (??,1] C. [1, ??) D. [4, ??)

4.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是

A. 28 ? 6 5

B.40

C.

40 3

D. 30 ? 6 5

x x 3 2 5.已知命题 p : ?x ? R , 2 ? 3 ;命题 q : ?x ? R , x ? 1 ? x ,则下列命题中为真命题

的是: A. p ? q 6.若 0 ? a ? b ? 1 ,则 a
b

B.? p ? q

C. p ? ?q

D.? p ? ? q

, ba ,logb a,log 1 b 的大小关系为
a

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A. a

b

? ba ? logb a ? log 1 b
a b

B. b

a

? ab ? log 1 b ? logb a
a a

C. logb a ? a

? b ? log 1 b
a a

D. logb a ? b

? ab ? log 1 b
a

7.如图所示,若程序框图输出的所有实数对(x,y)所对应的点都在函数 f ? x ? ? ax ? 图象上,则实数 a, b, c 的值依次为 A.1,2, ?2 B.2, ?3 ,2 C.

b ?c的 x

5 9 , 3, ? 2 2

D. ?1, ,

3 1 2 2

8.双曲线 C 方程为: x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) ,曲线 C 的其中一个焦点到一条渐近线的距离为 2, 则实数 a 的值为 A.2 B. 2 C.1 D. 2 2

9.下列函数中,其图像与函数 y ? log2 ( x ? 2) 的图像关于直线 y ? x 对称的是 A. y ? 2 ? 2
x

B . y ? 2x ? 2( x ? ?2)

C . y ? 2x ? 2

D. y ? 2x ? 2( x ? 0) 10.已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F , 过点 (0,3) 的直线与抛物线交于 A ,B 两点, 线段 AB 的 垂直平分线交 x 轴于点 D ,若 AF ? BF ? 6 ,则点 D 的横坐标为 A.5 B.4 C.3 D.2

2 11.已知函数 f ( x) ? a ? log2 ( x ? a) ( a ? 0 )的最小值为 8,则

A. a ? (5,6)

B. a ? (7,8)

C. a ? (8,9)

D. a ? (9,10)
A' DB C

12. 如图,平面四边形 ABCD 中, AB ? AD ? CD ? 1 , BD ? 2 , BD ? CD , 将其沿对角线 BD 折成四面体 A'? BCD ,使平面 A' BD ? 平面 BCD ,若四面体
A'? BCD 顶点在同一个球面上,则该球的体积为
B

A

D

A.

3 ? 2

B. 3?

C.

2 ? 3

D. 2?

C

第 II 卷 非选择题(90 分) 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题纸上)
2 13.已知函数 f ( x) ? log2 ( x ? a) ,若 f (3) ? 1 ,则 a ?



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14.已知向量 AB ,AC 的夹角为 120? ,AB ? 5 ,AC ? 2 , AP ? AB ? ? AC .若 AP ? BC , 则? ?
2



14. ( x ? ) 的展开式的二项式系数之和为 64;则展开式的常数项为
n

2 x



15.已知三棱锥 O-ABC 的体积为错误!未找到引用源。10,OA=3,OB=4,

OA ? OB, OB ? OC, OA ? OC ,则三棱锥 O-ABC 的外接球的表面积为________。
16.已知 f ( x ) ? ln

1? x ? sin x ; f (1 ? a 2 ) ? f (1 ? a) ? 0 ;则 a 的取值范围为 1? x



三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)记 Sn 为数列 {nan } 的前 n 项和,求 Sn .

4 , 3an ?1 ? an ? 2 . 3

18.(本小题满分 12 分) 十九大报告提出: 坚决打赢脱贫攻坚战, 做到精准扶贫工作.某帮扶单位帮助贫困村种植蜜柚, 并利用互联网电商渠道进行销售.为了更好地销售,现从该村的蜜柚树上随机摘下了 100 个蜜 柚进行测重,其质量分布在区间 [1500,3000] 内(单位:克) ,统计质量的数据作出其频率分 布直方图如图所示:

(Ⅰ)按分层抽样的方法从质量落在 [1750, 2000) , [2000, 2250) 的蜜柚中随机抽取 5 个,

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再从这 5 个蜜柚中随机抽 2 个,求这 2 个蜜柚质量均小于 2000 克的概率; (Ⅱ)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平,以频率代表概率,已知该贫困村的 蜜柚树上大约还有 5000 个蜜柚待出售,某电商提出两种收购方案:

A .所有蜜柚均以 40 元/千克收购; B .低于 2250 克的蜜柚以 60 元/个收购,高于或等于 2250 的以 80 元/个收购.
请你通过计算为该村选择收益最好的方案.

19.(本小题满分 12 分) 如 图 , ABC D? A' B' C ' D' 是 边 长 为 2 2 的 正 方 体 , 连 接 BC ' , B ' C,B' D,BD' , 设

BC '与B ' C 相交
于点 P, A' C '? B ' D ' ? M (Ⅰ)证明: B' D ? 平面A' BC ' ; (Ⅱ)点 Q 在 A' M 上运动,是否存在点 Q,当 A' Q ? λA' M ( λ ? 0) 时, 三棱锥 Q ? BB' P 的体积为

3 2 ?若存在,求出 λ ;若不存在,请说明理由. 4

20.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 和圆 x ? y ? r (r ? 0) 的公共弦过抛物线的焦点 F , 且弦长为
2 2 2 2

4. (Ⅰ)求抛物线和圆的方程; (Ⅱ)过点 F 的直线与抛物线相交于 A, B 两点抛物线在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M , 求 ?ABM 面积的最小值. 21. (本小题满分 12 分)
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已知函数 f ( x) ? (1 ? 2a) ln x ? ax2 ? x . (Ⅰ)讨论 f ( x) 的导函数 f ' ( x) 的零点个数;

(Ⅱ)当 a ? 0 时,证明: f ( x) ? ?2a ln(1 ?

1 3 )?a? . 2a 4a

请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做 的第一个题目计分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程选讲

? ?x ? 1? ? 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ? y ? 1? ? ?
( t 为参数).在以原点 O 为极轴,

2 t, 2 2 t 2

x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆 C 的方程为

? ? 4cos ?.
(Ⅰ)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若点 P 坐标为 ?1,1? ,圆 C 与直线 l 交于 A, B 两点,求 PA ? PB 的值.

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23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? a | . (Ⅰ)当 a ? 1 时,画出 y ? f ( x) 的图像; (Ⅱ)若 f ( x) ?| 2x ? 1 | ? | 2x ? a |? a2 ? 3a ? 4 恒成立, 求 a 的取值范围

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四川省宜宾县一中高 2019 届高三上第一学月考试 数学(文科)答案

一.选择题 1.C 2.D 3.D 4.C 5.B 6.A 7.C 8.D 9.A 10.B 11.A 12.A

二.填空题 13. -7 14.

10 3
,所以

15. 50?

16. ? 2,?1

?

?

17.解:因为 3an ?1 ? an ? 2

3(an ?1 ? 1) ? an ? 1 ,即 an ?1 ? 1 ? 1 (常数) , ……3 分
an ? 1 3

1 1 ……4 分 所以数列 {an ? 1}是以首项 a1 ? 1 ? 3 , 公比 q ? 3 1 1 n ?1 1 n ……6 分 的等比数列,所以 an ? 1 ? 3 ? ( 3 ) ? ( 3 )
(2) nan ? n ? ( ) ,所以 S n ? 1 ?
n

1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ... ? (n ? 1) ? n ?1 ? n ? n 31 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 ② ……9 分 S n ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ... ? (n ? 1) ? n ? n ? n ?1 3 3 3 3 3 3

1 3



①-②



1 1 (1 ? n ) 2 1 1 1 1 1 3 ? n ? 3 (1 ? 1 ) ? n ? 1 ……11 分 Sn ? ? 2 ? 3 ? . ? n ? n ? n ?1 ? 3 1 3 3 3 3 3 3 3n ?1 2 3n 3n ?1 1? 3
所以 S n ?

.

9 1 3 1 (1 ? n ) ? n ? n ?1 ……12 分 4 3 2 3

18.解: (1)由题得蜜柚质量在 [1750, 2000) 和 [2000, 2250) 的比例为 2 : 3 ,∴分别抽取 2 个 和 3 个. 记抽取质量在 [1750, 2000) 的蜜柚为 A 1 , A2 ,质量在 [2000, 2250) 的蜜柚为 B 1 , B2 ,

B3 ,. ……2 分
则从这个蜜柚中随机抽取个的情况共有以下 10 种:. ……3 分

A1 A2 , A1B1 , A1B2 , A1B3 , A2 B1 , A2 B2 , A2 B3 , B1B2 , B1B3 , B2 B3 ,
其中质量小于 2000 克的仅有 A1 A2 这 1 种情况,故所求概率为

1 .. ……5 分 10

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小中高 精品 教案 试卷

(2)方案 A 好,理由如下: 由频率分布直方图可知,蜜柚质量在 [1500,1750) 的频率为 250 ? 0.0004 ? 0.1 ,. ……6 分 同理, 蜜柚质量在 [1750, 2000) , [2000, 2250) , [2250, 2500) , [2500, 2750) , [2750,3000] 的频率依次为 0.1,0.15,0.4,0.2,0.05,. ……7 分 若按方案 A 收购:根据题意各段蜜柚个数依次为 500,500,750,2000,1000,250, 于是总收益为 (

1500 ? 1750 1750 ? 2000 2000 ? 2250 ? 500 ? ? 500 ? ? 750 2 2 2 2250 ? 2500 2500 ? 2750 2750 ? 3000 ? ? 2000 ? ?1000 ? ? 250) ? 40 ? 1000 2 2 2 250 ? ? 250 ? [(6 ? 7) ? 2 ? (7 ? 8) ? 2 ?(8 ? 9) ? 3 ? (9 ? 10) ? 8 ? (10 ? 11) ? 4 2

?(11 ? 12) ?1] ? 40 ?1000 ? 25 ? 50[26 ? 30 ? 51 ? 152 ? 84 ? 23] ? 457500 (元) ,. ……9 分
若按方案 B 收购: ∵蜜柚质量低于 2250 克的个数为 (0.1 ? 0.1 ? 0.3) ? 5000 ? 1750 , . ……10 分 蜜柚质量低于 2250 克的个数为 5000 ? 1750 ? 3250 ,. ……11 分 ∴收益为 1750 ? 60 ? 3250 ? 80 ? 250 ? 20 ? [7 ? 3 ? 13 ? 4] ? 365000 元, ∴方案 A 的收益比方案 B 的收益高,应该选择方案 A .. ……12 分 19 . 解 ( 1 ) 连 接 B ' D ' , 易 知 ?

? A' C ' ? B' D' , BB'?B' D' B' 所 以 A' C ' ? 平面BB' D' D 所 以 ? A' C ' ? BB'

A' C ' ? B' D . ……2 分
同理可证 A' B ? B ' D ;因为 A' C ' ? A' B ,所以 B' D ? 平面A' BC '

3 2 . ……4 分 4 2

,.理由如 (2)存在实数 λ ? 2 ,当 A' Q ? 2 A' QM 时,三棱锥 Q ? BB' P D 的体积为 4 下:. ……5 分 由(1)知 B' D ? 平面A' BC' ,设 B' D ? 平面A' BC' ? G ,易知 BG 为三棱锥 B'? A' BC ' 的 高,设为 h

1

1

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因为 VB '? A' BC ' ? VC '? A' B ' B ,即 3 S ?A' BC ' ? h ? 3 S ?A' BB' ? C ' B' . ……6 分 因为正方体的边长为 2,所以 A' B ? A' C ' ? BC' ? 2 2

1

1

所 以 等 边 三 角 形

A' BC ' 的 面 积 S?A' BC ' ? 1 ? 4 ? 4 ? 3 ? 16 3 , 易 知 2 2

1 ?2 2?2 2 ? 4 2 1 1 6 . ……8 分 所以 3 ? 16 3 ? h ? 3 ? 2 2 ? 4 ,解得 h ? 6 S ?A' BB' ?
因为 BQP 在平面 A' BC ' 内,所以点 B ' 到平面 BQP 的距离等于 h ?
6 6

连接 BM , 易知 M 为 A' C ' 的中点, 因为 A' BC ' 为等边三角形, 所以 BM ? A' C ' ,BM ? 2 3 设 A' Q ? λ ,则 C ' Q ? 2 ? λ ,. ……9 分

S ?A'QB ?

1 1 3 ? A' Q ? BM ? 3 λ , S?C 'QP ? ? C ' Q ? C ' P ? sin 60? ? 3λ ? ( 4 ? λ) 2 2 2

所以 S?QBP ? S A' BC' ? S A'QB ? SC 'QP ? 4 3 ? 3λ ?

3 1 (4 ? λ) ? 3 (2 ? λ) . ……10 分 2 2

所以 VQ ? BB' P ? VB '?QBP ? 解得 λ ? 1 . ……12 分

1 1 1 6 2 1 2 . ..11 分 ? SQBP ? h ? ? 3 (2 ? λ) ? ? ( 2 ? λ) ? 3 3 2 6 6 2 4

2 20.解:(1)由题意可知, 2 p ? 4 ,所以 p ? 2 ,故抛物线的方程为 x ? 4 y . ……2 分
2 又 ( ) ? p ? r ,所以 r ? 5 ,所以圆的方程为 x2 ? y 2 ? 5 , ……4 分
2 2 2

p 2

(2)设直线的方程为: y ? kx ? 1 ,并设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 联立 ?

? x2 ? 4 y ? y ? kx ? 1

,消 y 可得, x ? 4kx ? 4 ? 0 .
2

所以 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 ;

| AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ? 1 ? k 2 16k 2 ?16 ? 4(1 ? k 2 ) ……6 分

y?

x x x ,所以过 A 点的切线的斜率为 1 ,切线为 y ? y1 ? 1 ( x ? x1 ) , 2 2 2

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小中高 精品 教案 试卷

x 令 y ? 0 ,可得, M ( 1 , 0) ,所以点 M 到直线 AB 的距离 d ? 2

|k?

x1 ? 1| 2 , ……7 分 1? k 2

故 S ?ABM

1 ? ? 4(1 ? k 2 ) ? 2

|k?

x1 ? 1| 2 ? 1 ? k 2 | kx1 ? 2 | , 2 1? k

x1 ?4 y ?1 2 ? 又k ? 1 ,代入上式并整理可得; x1 4 x1

S?ABM

1 ( x12 ? 4) , ……8 分 ? ? 16 4 x1
( x 2 ? 4)2 ,可得 f ( x ) 为偶函数, | x|
16 ( x 2 ? 4)2 ? x3 ? 8 x ? , x | x|

令 f ( x) ?

当 x ? 0 时, f ( x) ?

f ?( x) ? 3x 2 ? 8 ?

16 ( x 2 ? 4)(3x 2 ? 4) 2 3 ? ,令 f ?( x) ? 0 ,可得 x ? , ……410 分 2 2 x x 3

当 x ? (0,

2 3 2 3 ) , f ?( x) ? 0 ,当 x ? ( , ??), f ?( x) ? 0 , ……11 分 3 3

所以 x ?

2 3 128 3 时, f ( x ) 取得得最小值 , 3 9 1 128 3 8 3 . ……12 分 ? ? 16 9 9

故 S?ABM 的最小值为

21.解:解:(Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,

f ?( x) ?

1 ? 2a 2ax 2 ? x ? 1 ? 2a (2ax ? 1 ? 2a)( x ? 1) . ……2 分 ? 2ax ? 1 ? ? x x x

若 a ? 0 ,由 ?1 ? 0 , f ?( x) 没有零点;. ……3 分 若a ? 0或a ? 若0 ? a ?

1 2a ? 1 2a ? 1 ) ? 0 , ?1 ? 0 , f ?( x) 有一个零点;. ……4 分 ? 0 , f ?( ,由 2a 2 2a

2a ? 1 1 ? 0 , ?1 ? 0 , f ?( x) 没有零点.. ……5 分 ,由 2a 2

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小中高 精品 教案 试卷

综上所述,当 a ? 0 或 a ?

1 1 时 f ?( x) 有一个零点;当 0 ? a ? 时 f ?( x) 没有零点.. ……6 分 2 2
(2ax ? 1 ? 2a )( x ? 1) , a ?0时 x

(Ⅱ)由(1)知, f ?( x ) ? 当 x ? (0,1 ?

1 1 ? ?) 时, f ?( x) ? 0 . ) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1 ? , 2a 2a

故 f ( x) 在 (0,1 ?

1 1 ) 单调递增,在 (1 ? , ? ?) 单调递减.. ……7 分 2a 2a
1 取得最大值, 2a

所以 f ( x) 在 x ? 1 ? 最大值 f (1 ? 即 f (1 ?

1 1 1 1 ) ? (1 ? 2a) ln(1 ? ) ? a(1 ? ) 2 ? 1 ? ,. ……8 分 2a 2a 2a 2a

1 1 1 ) ? (1 ? 2a) ln(1 ? ) ? a ? . 2a 2a 4a
1 1 1 3 )? ?0, )?a? 等价于 ln(1 ? 2a 2a 2a 4a

所以 f ( x) ? ?2a ln(1 ? 即 ln(1 ?

1 1 1 ? 1 . . ……10 分 ) ? (1 ? ) ? 1 ? 0 ,其中 1 ? 2a 2a 2a

设 g ( x) ? lnx ? x ? 1 ,则 g ?( x) ?

1 ?1 . x

当 x ? (0,1) 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, g ?( x) ? 0 . 所以 g ( x ) 在 (0,1) 单调递增,在 (1, ??) 单调递减. 故当 x ? 1 时 g ( x ) 取得最大值,最大值为 g (1) ? 0 . ……11 分 所以当 x ? 1 时, g ( x) ? 0 . 从而当 a ? 0 时 ln(1 ? 即 f ( x) ? ?2a ln(1 ?

1 1 ) ? (1 ? ) ? 1 ? 0 , 2a 2a

1 3 )?a? . . ……12 分 2a 4a

22.解: (1)消去参数 t 可得直线 l 的普通方程为: x ? y ? 2 ? 0 , 极坐标方程即:

? 2 ? 4?cos? ,则直角坐标方程为: x2 ? y 2 ? 4 x ,

据此可得圆 C 的直角坐标方程为:

? x ? 2?

2

? y2 ? 4

…………(4 分)

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小中高 精品 教案 试卷

? ?x ? 1? ? (2)将 ? ? y ? 1? ? ?

2 t, 2 2 2 2 代入 ? x ? 2 ? ? y ? 4 得: t ? 2 2t ? 2 ? 0 2 t. 2

得 t1 ? t2 ? ?2 2 ? 0, t1 ? t2 ? ?2 ? 0 , 则 PA ? PB ? t1 ? t2 ?

?t1 ? t2 ?

2

? 4t1 ? t2 ? 4

…………(10 分)

23.解(1)略 …… …… …… ……… ………4 分 (2) f ( x) ?| 2x ? 1 | ? | 2x ? a |? a ? 3a ? 4 恒成立,
2

即 f ( x)max ? a2 ? 3a ? 4 即可. ……6 分 因为 f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? a |? (2 x ? 1) ? (2 x ? a) ? 1 ? a 所以 1 ? a ? a ? 3a ? 4 恒成立,即 a ? 4a ? 3 ? 0 ……8 分
2 2

解得 a ? 1或者a ? 3 …… … …… ……10 分

.x 本 虑 头 回 再 然 抢 出 一 果 如 小 较 间 答 排 安 合 值 分 易 难 各 道 知 略 粗 题 览 浏 先 笔 动 于 急 不 后 卷 到 拿 淡 Comingbackhetv,flydIswTVrup!试 阵 上 装 轻 掉 丢 全 会 社 校 庭 家 平 将 要 需 生 学 成 加 参 力 压 少 减 松 放 吸 呼 深 做 当 适 定 稳 来 自 等 真 认 静 、 ” 能 我 “ 用 时 。 节 调 场 临 行 进 绪 情 张 紧 解 缓 示 暗 过 通 可 , 备 准 理 心 的 前 考

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