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成都石室中学高2015级高一上1月考题(必修1+必修4)


成都石室中学高 2015 级 2012-2013 学年度上期 1 月考题 数学试卷
本试卷分第 I 卷和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟.考生务必 将答案填在答题卡上,在试卷上作答无效.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一.选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合 题目要求的一项) 1、设全集 U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则 A∩
UB=(

).

A.{x|0≤x<1}
A.1 B. 2

B.{x|0<x≤1}
C. 3

C.{x|x<0}
( D. 4 )

D.{x|x>1}

2、单位圆中,面积为 1 的扇形的圆心角的弧度是
3、cos80° cos35° +sin80° cos55° 的值是 A. 2 2 B.- 2 2

C.

1 2

1 D.- 2

4、下列四个图形中,不是以 x 为自变量的函数的图象是( ..

).

A

B

C

D

1 ? 1 1 ?3 5、设 a ? log 3 , b ? ( ) , c ? 3 5 ,则有 5 5

A .a ? c ? b

B .c ? b ? a

C .a ? b ? c

D. c?a?b

6、下列关于向量的结论: (1)若|a|=|b|,则 a=b 或 a=-b;(2)非零向量 a 与非零向量 b 平行,则 a 与 b 的方向相同 或相反; (3)起点不同, 但方向相同且模相等的向量是相等向量; (4)若向量 a 与 b 同向, 且|a|>|b|, 则 a>b.其中正确的序号为( A.(1)(2) 7、若 tan ? ? ? ) C.(4) D.(3) ( )

B.(2)(3)

1 1 ? 2sin ? cos ? ,则 的值为 2 sin 2 ? ? cos 2 ?

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A. ?3 8、要得到 y ? sin(2 x ?

B. ?

2? ) 的图像, 需要将函数 y ? sin 2 x 的图像( ) 3 2? 2? A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 3 3

1 3

C.

1 3

D. 3

C.向左平移

? 个单位 3

D.向右平移

? 个单位 3
f?x2?-f?x1? x2-x1

9、 定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:对任意的 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 <0,则( ) A.f(3)<f(-2)<f(1) C.f(-2)<f(1)<f(3) B.f(1)<f(-2)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2)

10、函数 y ? sin(?x ? ? ) 的部分图象如右图,则 ? 、 ? 可以取的一组值是(
? ? A. ? ? , ? ?
2 4 6 ? 5? D. ? ? , ? ? 4 4



? ? B. ? ? , ? ?
3

y

? ? C. ? ? , ? ?
4

4

O )

1

2

3

x

11、设函数 f ( x) ? ( x ? 2011)( x ? 2012) ? A.在定义域内无零点

1 ,有( 2013

B.存在两个零点,且分别在 (??, 2011) 、 (2012, ??) 内 C.存在两个零点,且分别在 (??, ?2013) 、 (2013, ??) 内 D.存在两个零点,都在 (2011, 2012) 内 12、在计算机的算法语言中有一种函数 分,即[ ]是不超过 ,则函数 A. B. C. 叫做取整函数(也称高斯函数),它表示 的整数部 。设函数 )B D.

的最大整数.例如: 的值域为(

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请将正确答案填空在答卷上) 13.已知向量 a=(3,x) ,向量 b =(1,2),若 a 与 b 共线,则 x=

14.函数 y= log 2 x ? 2 的定义域是
x ? 15. 函 数 y ? l o g ? 2 ? 3? a



2 的 图 象 恒 过 定 点 P , P 在 幂 函 数 f ? x? 的 图 象 上 , 则 2

f ?9? ? __________.
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(16)已知函数 f ? x ? ? 3sin(2 x ?

?
4

) ,给出下列结论:
②函数 f ( x ) 的一个对称中心为 (?

①函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? ③函数 f ( x ) 的一条对称轴为 x ? 为偶函数⑤函数 f ( x ) 在区间 ( ?

?
8

7? ? ④函数 f ( x ) 的图象向右平移 个单位后所得函数 8 8

5? , 0) 8

, 0) 上是减函数
.

其中,所有正确结论的序号是

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 76 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、计算:
(1)

log8 9 ? log3 2 +lg5 lg20+ ?lg 2?
?

2

(2)已知 cos(75 ? ? ) ?

1 , 其中 ?180 ? ? ? ? ?90 ? ,求 sin(105? ? ? ) ? cos(375? ? ? ) 的值. 3

▲18. (本题满分 12 分)已知 求 sin ? 的值.

?
2

? ? ? ? ,0 ? ? ?

?

3 5 , tan ? ? ? , cos( ? ? ? ) ? . 2 4 13

19. 已知向量 a ? ( 3, k ) , b ? (0, ?1) , c ? (1, 3) . (Ⅰ)若 a ? c ,求 k 的值; (Ⅱ)当 k ? 1 时, a ? ? b 与 c 共线,求 ? 的值; (Ⅲ)若 m ? 3 b ,且 m 与 c 的夹角为 150? ,求 m + 2c

20.(本题满分 12 分)为减少空气污染,某市鼓励居民用电(减少燃气或燃煤),采用分段计 费的方法计算电费. 每月用电不超过 100 度时, 按每度 0.57 元计算, 每月用电量超过 100 度时, 其中的 100 度仍按原标准收费,超过的部分按每度 0.5 元计算.
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(1)设月用电 x 度时,应交电费 y 元.写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)小明家第一季度交纳电费情况如下: 月份 交费金额 一月 76 元 二月 63 元 三月 45.6 元 合计 184.6 元

则小明家第一季度共用电多少度?

21、

▲22、(本题满分 14 分) 设 f(x)是定义在[0,1]上的函数,若存在 x*∈ (0,1),使得 f(x)在[0, x*]上单 调递增,在[x*,1]上单调递减,则称 f(x)为[0,1]上的单峰函数,x*为峰点,包含峰点 的区间为含峰区间.对任意的[0,l]上的单峰函数 f(x),下面研究缩短其含峰区间长度的 方法. (1)证明:对任意的 x1,x2∈ (0,1),x1<x2,若 f(x1)≥f(x2),则(0,x2)为含峰区 间;若 f(x1)≤f(x2),则(x*,1)为含峰区间; (2)对给定的 r(0<r<0.5),证明:存在 x1,x2∈ (0,1),满足 x2-x1≥2r,使得由 (I)所确定的含峰区间的长度不大于 0.5+r; (3)选取 x1,x2∈ (0,1),x1<x2,由(I)可确定含峰区间为(0,x2)或(x1,1),在 所得的含峰区间内选取 x3,由 x3 与 x1 或 x3 与 x2 类似地可确定一个新的含峰区间.在 第一次确定的含峰区间为(0,x2)的情况下,试确定 x1,x2,x3 的值,满足两两之差 的绝对值不小于 0.02,且使得新的含峰区间的长度缩短到 0.34.(区间长度等于区间的 右端点与左端点之差)

22.(本小题满分 14 分) (1)证明:设 x*为 f(x) 的峰点,则由单峰函数定义可知,f(x)在[0, x*]上单调递增,在 [x*,1]上单调递减. 当 f(x1)≥f(x2)时,假设 x* (0,x2),则 x1<x2<x*,从而 f(x*)≥f(x2) >f(x1), 这与 f(x1)≥f(x2)矛盾,所以 x*∈ (0,x2),即(0,x2)是含峰区间. 当 f(x1)≤f(x2)时,假设 x* ( x2,1),则 x*<≤x1<x2,从而 f(x*)≥f(x1)>f(x2), 这与 f(x1)≤f(x2)矛盾,所以 x*∈ 1,1),即(x1,1)是含峰区间.…………4 分 (x (2)证明:由(I)的结论可知: 当 f(x1)≥f(x2)时,含峰区间的长度为 l1=x2;当 f(x1)≤f(x2)时,含峰区间的长度为 l2=1-x1; 对于上述两种情况,由题意, 得

①…………………………6 分
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由① 1+x2-x1≤1+2r,即 x1-x1≤2r. 得 又因为 x2-x1≥2r,所以 x2-x1=2r, ② 将② 代入① x1≤0.5-r, x2≥0.5-r, 得 ③…………………………8 分 由① 和③ 解得 x1=0.5-r, x2=0.5+r. 所以这时含峰区间的长度 l1=l1=0.5+r,即存在 x1,x2 使得所确定的含峰区间的长度不大 于 0.5+r。…………………………10 分 (3)解:对先选择的 x1;x2,x1<x2,由(II)可知 x1+x2=l, ④ 在第一次确定的含峰区间为(0, x2)的情况下,x3 的取值应满足 x3+x1=x2, ⑤

由④ 与⑤ 可得

,当 x1>x3 时,含峰区间的长度为 x1。

由条件 x1-x3≥0.02,得 x1-(1-2x1)≥0.02,从而 x1≥0.34。 因此,为了将含峰区间的长度缩短到 0.34,只要取 x1=0.34,x2=0.66,x3=0.32. ………………14 分

数学半期考试 参考答案: 一、 二、 三、 选择题 填空题:13. 解答题: 14. 15. 16

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