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广东省广州市执信中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案[数理化网]


2014-2015 学年度第一学期

高一级数学科期末考试试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分为 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项: 1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上, 用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。 2、选择题每小题选出答案后,有 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选 涂其他答案;不能答在试卷上。 3、 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答, 答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上, 超出指定区域的答案无效;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以 上要求作答的答案无效。 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.空间直角坐标系中,点 M (2,5,8) 关于 xoy 平面对称的点 N 的坐标为(***) A. (?2,5,8) B. (2, ?5,8) C. (2,5, ?8) D. (?2, ?5,8)

第一部分选择题(共

2.利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,得到下列结论,其中正确的是(***) A.正三角形的直观图仍然是正三角形 B.平行四边形的直观图一定是平行四边形 C.正方形的直观图是正方形 D.圆的直观图是圆 3.已知一个棱长为 3 的正方体的顶点都在球面上,则该球的表面积等于(***) A. 4? B. 6? C. 8? D. 9? 4.设 a ? log0.3 2, b ? log0.3 3, c ? 20.3 , d ? 0.32 ,则这四个数的大小关系是(***) A. a ? b ? c ? d B. b ? a ? d ? c C. b ? a ? c ? d D. d ? c ? a ? b

5.已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 相交,则圆 C1 与 C2 的公 共弦所在的直线的方程为(***) A. x ? 2 y ? 1 ? 0 B. x ? 2 y ? 1 ? 0 6.函数 f ( x) ? C. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0

2 x2 ? 1 (***) x

? 2 ? ? 2 ? A. 是奇函数且在区间 ? B. 是奇函数且在区间 ? ,?? ? 上单调递增 ,?? ? 上单调递减 ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? C. 是偶函数且在区间 ? D. 是偶函数且在区间 ? ,?? ? 上单调递增 ,?? ? 上单调递减 ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? 7.下列四个说法: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 正确的是(***) A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④

8.函数 f ( x) ? ln( x 2 ? 1) 的图象大致是 (***)

A.

B.

C.

D.

9. 已知点 A(?1, 0), B (1, 0), C (0,1) ,直线 y ? x ? b 将△ ABC 分割为面积相等的两部分,则 b ? (***) A.

2 2

B.

1 2

C.

2 ?1

D. 1 ?

2 2

?a ? b ? 2, x ? 0 ? 10.若 a、 b 分别是方程 x ? lg x ? 4, x ? 10 ? 4 的解, f ( x) ? ? x .则关于 x 的方程 ? ,x ? 0 ?2 f ( x) ? 2 x ? 1 的解的个数是(***) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
x

第二部分非选择题 (共 100 分) 二.填空题:本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分. 把答案填在答卷的相应位置.
?2 x ? y ? 4 ? 11.实数 x, y满足 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? x ? y ? 3 的最小值是 ?x ? 2 y ? 2 ?
12.利用计算器,算出自变量和函数值的对应值如下表: *** .

x 2 由上表知,方程 2 ? x ? 0 的一个根所在区间为

***

.

13.两条直线 2 x ? y ? 2 ? 0 与 ax ? 4 y ? 2 ? 0 互相垂直, 则a ? *** .

14.如图,直四棱柱 ABCD-A 1B 1C1D 1 的底面是边长为 1 的 正方形,侧棱长 AA 1 的夹角 1B 1 与 BD 1 = 2 ,则异面直线 A 大小等于 *** . *** .

15.直线 m( x ? 2 y ? 1) ? n( x ? y ? 2) ? 0(m, n ? R且m, n不同时为0) 经过定点 16.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A﹣BD﹣C,有如下四个结论: ①AC⊥BD; ② ? ACD 是等边三角形; ③AB 与 CD 所成的角为 90°;④二面角 A﹣BC﹣D 的平面角正切值是 2 ; 其中正确结论是 *** .(写出所有正确结论的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. ( 本 题 满 分 12 分 ) 已 知 集 合 A ? { x | 2 , x ? 6 x? 5 ? 0 } B ? {x |1 ? 2x?2 ? 16} ,

C ? {x | y ? ln(a ? x)} ,全集为实数集 R .
(1) 求 A ? B,(CR A) ? B ; (2) 若 A ? C ? ? ,求实数 a 的范围.

18. (本题满分 10 分)如图是一个几何体的正视图和俯视图. (1)画出其侧视图,判断该几何体是什么几何体; (2)求出该几何体的全面积和体积.

19. (本题满分 12 分)已知圆 C 经过点 A(2,0), B(1, ? 3) ,且圆心 C 在直线 y ? x 上. (1)求圆 C 的方程; (2) 过点 的直线 l 截圆所得弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程. (, 1 )

3 3

20.(本题满分 14 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是矩形,侧面 PAD 是正三角形,且侧面 PAD ? 底面 ABCD , E 为侧棱 PD 的中点. P (1)求证: PB //平面 EAC ; (2)求证: AE ⊥平面 PCD ; (3)若直线 AC 与平面 PCD 所成的角为 30 ? ,

E D C

CD 求 的值. AD
A B

21.(本题满分 10 分)已知圆 C : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 ,直线 l1 过定点 A(1, 0) (1)若直线 l1 与圆相切,切点为 B ,求线段 AB 的长度; (2)若 l1 与圆相交于 P, Q 两点,线段 PQ 的中点为 M ,又 l1 与 l 2 : x ? 2 y ? 2 ? 0 的交点为 N , 判断 AM ? AN 是否为定值,若是,则求出定值;若不是,请说明理由.

22.(本题满分 12 分)对于函数 f ( x ) ,若存在 x0 ? R 使得 f ( x0 ) ? x0 成立,则称 x0 为 f ( x ) 的不 动点. 已知函数 f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? b ?1(a ? 0) . (1)若 a ? 1, b ? 3 ,求函数 f ( x ) 的不动点; (2)若对任意实数 b ,函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若 y ? f ( x) 图象上 A、B 两点的横坐标是函数 f ( x ) 的不动点,且 A、B 两 点关于直线 y ? kx ?

1 2a 2 ? 1

对称,求 b 的最小值.

2014 年高一数学期末考试参考答案 1-10.CBDBB ADACB 11. ?4 ;12. (1.8,2.2) ;13. ?2 ;14.60°;15. (?1,1) ;16.①②④ 17. (本题满分 12 分)已知集合全集为实数集 R . (1) 求 A ? B,(CR A) ? B ;

(2) 若 A ? C ? ? ,求实数 a 的范围. 17.解: A ? {x |1 ? x ? 5} , B ? {x | 2 ? x ? 6} , C ? {x | x ? a} , (6 分) (1) A ? B ? {x |1 ? x ? 6},(8 分)

(CR A) ? B ? {x | x ? 1或x ? 5} ?{x | 2 ? x ? 6} ? {x | 5 ? x ? 6} (10 分) (2) A ? C ? ? ,所以 a ? 1 .(12 分)
18. (本题满分 10 分)如图是一个几何体的正视图和俯视图. (1)画出其侧视图,判断该几何体是什么几何体; (2)求出该几何体的全面积和体积. 18.解:(1)左视图: 见下图 可判断该几何体是一个正六棱锥.(4 分) (2)正六棱锥的侧棱长是 2 a ,底面边长是 a . 它是由六个腰长是 2 a ,底面边长是 a 的等腰三角形 与一个底面边长是 a 的正六边形围成.

1 a 1 a a ? (2a)2 ? ( )2 ? 6 ? a ? a 2 ? ( ) 2 ? 6 2 2 2 2 3 15 2 3 3 2 3 3 = a ? a = ( 5 ? 1)a 2 .(7 分) 2 2 2 2 2 由 正 视 图 可 知 , 正 六 棱 锥 的 高 h ? (2a ) ? a ? 3a , 底 面 积
∴ S表面 =

S底面 =

1 1 3 3 2 3 3 3 a ? 3a ? a3 a , ∴ V棱 = S底 ? h ? ? 3 3 2 2 2

( 10

分)

19. (本题满分 12 分)已知圆 C 经过点 A(2,0), B(1, ? 3) ,且圆心

C 在直线 y ? x 上. (1)求圆 C 的方程; 3 (2) 过点 的直线 l 截圆所得弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程. (, 1 ) 3
19.(1)设圆心 C( a, a ),(1 分)

CA ? CB ? a 2 ? (a ? 2) 2 ? (a ? 1) 2 ? (a ? 3) 2 ? a ? 0 (4 分)
2 2 所以 r ? CA ? 2 (5 分),圆 C 的方程为 x ? y ? 4

(6 分)

(2) 若直线 l 的斜率不存在,方程为 x ? 1 ,此时直线 l 截圆所得弦长为 2 3 ,符合题意;若直线 l 的斜率存在,设方程为 y ?

3 ? k ( x ? 1)即3kx ? 3 y ? 3 ? 3k ? 0 . 3
2

由 题 意 , 圆 心 到 直 线 的 距 离

d?

| 3 ? 3k | 9k 2 ? 9

? 22 ? 3 ? 1 ? k ? ?

3 3

直线 l 的方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 . 综上,所求方程为 x ? 1 或 x ? 3 y ? 2 ? 0 20. (本题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是矩形,侧面 PAD 是正三角形,且侧面 PAD ? 底面 ABCD , E 为侧棱 PD 的中点.

P E D C

A

B

(1)求证: PB //平面 EAC ; (2)求证: AE ⊥平面 PCD ; (3)若直线 AC 与平面 PCD 所成的角为 30 ? , 求

AD 的值. CD

20.解: (1)连结 BD 交 AC 于 O,连结 EO, 因为 O、E 分别为 BD、PD 的中点, 所以 EO//PB E0 ? 平面EAC, PB ? 平面EAC , 所以 PB//平面 EAC. (4 分) (2)法一:

矩形ABCD ? CD ? AD ? ? ? CD ? 面PAD ? 面PAD ? 面ABCD=AD ? ? ? CD ? AE AE ? 面 PAD ? 面ABCD ? 面PAD ? ? CO ? 面ABCD
正三角形 PAD 中,E 为 PD 的中点,所以, AE ? PD , 又 PD ? CD ? D ,所以,AE⊥平面 PCD. (10 分) 法二:

矩形ABCD ? CD ? AD ? ? ? CD ? 面PAD ? 面PAD ? 面ABCD=AD ? ? ? 面PDC ? 面PAD CD ? 面PDC ? ? 面ABCD ? 面PAD ? C O? 面 A B C D
正三角形 PAD 中,E 为 PD 的中点,所以, AE ? PD , 又 面PDC ? 面PAD ? PD , AE ? 面PAD ,所以,AE⊥平面 PCD.(10 分) (3)由(2)AE⊥平面 PCD,直线 AC 与平面 PCD 所成的角为∠ACE

? Rt? ACE中,?ACE ? 30?, AC ? 2 AE ,又 正?PAD中,AE ?

3 AD , 2

? AC ? 3AD ,又矩形 ABCD中,AC ? AD2 ? CD2 ,由 AD2 ? CD2 ? 3AD CD ? ? 2 解得 CD ? 2 AD, (14 分) AD 21. (本题满分 10 分) 已知圆 C : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 ,直线 l1 过定点 A(1, 0)
(1)若直线 l1 与圆相切,切点为 B ,求线段 AB 的长度; (2)若 l1 与圆相交于 P, Q 两点,线段 PQ 的中点为 M , 又 l1 与 l 2 : x ? 2 y ? 2 ? 0 的交点为 N ,判断 AM ?AN 是否为定 值,若是,则求出定值;若不是,请说明理由. 21.(1) AB ? CB ,所以切线长

AB ? AC 2 ? r 2 ? 4 (4 分)
(2)易知,若斜率不存在,则 l1 与圆相切, 若斜率为 0,则 l1 与圆相离,故直线的斜率存在, 可设 l1 的方程: y ? k ( x ? 1) 由?

?x ? 2 y ? 2 ? 0 2k ? 2 ?3k , ) 解得 N ( 2k ? 1 2k ? 1 ? y ? k ( x ? 1)

1 ? k 2 ? 4k ? 3 4 k 2 ? 2 k ? y ? 4 ? ? ( x ? 3) , ) 又直线 CM ? l1 , ? 解得 M ( k 1? k 2 1? k 2 ? ? y ? k ( x ? 1)

2 2 | 2k ? 1| 2 3 1? k 1 ? k ? ? 6 为定值.(也可以用几何法证明)(10 分) 1? k 2 | 2k ? 1| 22. (本题满分 12 分) 对于函数 f ( x ) ,若存在 x0 ? R 使得 f ( x0 ) ? x0 成立,则称 x0 为 f ( x ) 的不动

所以 AM ?AN ?

点. 已知函数 f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? b ?1(a ? 0) . (1)若 a ? 1, b ? 3 ,求函数 f ( x ) 的不动点; (2)若对任意实数 b ,函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若 y ? f ( x) 图象上 A、B 两点的横坐标是函数 f ( x ) 的不动点,且 A、B 两点 关于直线 y ? kx ? 对称,求 b 的最小值. 2a 2 ? 1 22. 解:(1)若 a ? 1, b ? 3 , f ( x) ? x2 ? 4 x ? 2, f ( x) ? x ? x2 ? 3x ? 2 ? 0 , ? x ? ?2, ?1 , 则 f ( x ) 的不动点为 ?2, ?1 . (2 分) (2)函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点, 所以方程 f ( x) ? x 即 ax2 ? bx ? b ?1 ? 0(a ? 0) 恒有两个不等实根, 需要判别式大于 0 恒成立,即 b2 ? 4a(b ?1) ? 0 ? b2 ? 4ab ? 4a ? 0 对任意实数 b 恒成立,

1

? ? ? (?4a)2 ? 4 ? 4a ? 0 ? 0 ? a ? 1 ,所以 0 ? a ? 1 .(6 分) 1 (3)因为 A、B 两点关于直线 y ? kx ? 对称,所以 AB ? 直线且中点 M 在直线上 2a 2 ? 1 b 设 A( x1 , x1 ), B( x2 , x2 ) ,由(2)知, x1 ? x2 ? ? a x ? x2 x1 ? x2 b b , )即(? , ? ) 所以 AB 的中点 M ( 1 2 2 2a 2a b b 1 a ? ?( ? ) ? 2 ?b?? 2 易知 k AB ? 1? k ? ?1 ?? 2a 2a 2a ? 1 2a ? 1 a 1 1 由(2), 0 ? a ? 1 所以 b ? ? 2 ?? ?? 1 2a ? 1 1 2 2a ? ( 2a ? ) ?2 2 a a 1 2 1 2 当且仅当 2a ? (12 分) 即a ? 时,bmin ? ? ?? a 2 4 2 2



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