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辽宁师范大学附属中学2015届高三10月月考数学(理)试题


考试时间:90 分钟 试卷分值:120 分 校对人:于南西 第Ⅰ卷 选择题(共 50 分) 一、选择题:本题 共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 命 题人:郭文慧 1.若 a、b 为实数,则“ ab ? 1 ”是“ 0 ? a ? A. 充分而不必要条件 C. 充要条件 A. x3 ? y 3 C. ln( x2 ? 1) ? ln( y 2 ? 1)
3.下列四个图中,函数 y ?

1 ”的( b



B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 )
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

2.已知实数 x , y 满足 a x ? a y (0 ? a ? 1) ,则下列关系式恒成立的是( B. sin x ? sin y D.

1 1 ? 2 x ?1 y ?1
2

10 ln x ? 1 x ?1

的图象可能是(



[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

4. 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 区 间 [0, ??) 单 调 递 增 . 若 实 数 a 满 足 ) f (log2 a ) ? f (log1 a ) ? 2 f (1) , 则 a 的最小值是(
2

3 A. 2

B.1

C.

1 2

D.2

5.已知向量 a、 b ,其中 a ? A.

(a ? b) ? a ,则向量 a 和 b 的夹角是 ( 2 , b ? 2 ,且
C.



?
4

B.

?
2

3? 4

D. ?

6.把函数 y ? sin 3x 的图象适当变化就可以得 y ?

? 4 ? C.沿 x 轴方向向右平移 12
A.沿 x 轴方向向右平移 ( ) A.33

2 (sin 3x ? cos3x) 的图象,这个变化可以是( 2 ? B.沿 x 轴方向向左平移 4 ? D.沿 x 轴方向向左平移 12



7.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,又知 ( x ln x) ' ? ln x ? 1 ,且 S10 ? B.46 C.48 D.50 )

?

e

1

ln xdx , S 20 ? 17 ,则 S30 为

8 .已知 sin(

7? 2? 4 3 ) 的值是 ( ,则 sin(? ? ? ? ) ? sin ? ? 6 3 5

A. ?

2 3 5

B.

2 3 5

C. ?

4 5

D.

9. 已知函数 f(x)=lnx+tan ? ( ? ∈(0, <1,则实数 ? 的取值范围为( A. ( ) C. (

? ) )的导函数为 f ?( x ) ,若使得 f ?( x0 ) = f ( x0 ) 成立的 x0 2
D. (0,

4 5

? ? , ) 4 2

B. (0,

? ) 3

? ? , ) 6 4

? ) 4

?1?x 10.已知函数 f(x)=? ? -log2x,实数 a、b、c 满足 f (a)f(b)f(c)<0(0<a<b<c),若实数 x0 是方程 f(x)=0 ?3?
的一个解,那么下列不等式中,不可能成立的是( A.x0<a B.x0>b C.x0<c ) D.x0>c 第Ⅱ卷 (共 70 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将正确答案填在相 应位置上。 11.函数 f ( x) 的定义域为 R, f (?1) ? 1 ,对任意 x ? R, f '( x) >3,则 f ( x) >3x+4 的解集为 12.已知 f ?x ? ? tan x ? cos?x ? m? 为奇函数,且 m 满足不等式 13.已知 x>0,y>0,且

.

m2 ? 9 ? 0 ,则实数 m 的值为 m?m ? 1?

.

2 1 . ? =1,若 x+2y>m2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围 x y 14. 已知点 O 是 ?ABC 的外接圆圆心,且 AB ? 3, AC ? 4 .若存在非零实数 x, y ,使得
AO ? x AB ? y AC ,且 x ? 2 y ? 1 ,则 cos ?BAC ?
.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 50 分. 2 15.已知命题 p :任意 x ? [1, 2] ,有 x 2 ? a ? 0 ,命题 q :存在 x0 ? R ,使得 x0 ? (a ? 1) x0 ? 1 ? 0 .若“ p 或 q 为 真”,“ p 且 q 为假”,求实数 a 的取值范围.

16.已知 f ? x ? ? 3 cos 2 x ? 2sin( (1)最小正周期及对称轴方程;

3? ? x)sin( ? ? x), x ? R 2

(2)已知锐角 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,且 f ? A? ? ? 3 , a ? 3 ,求 BC 边上的高的最 大值.

17.已知首项都是 1 的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N ) 满足 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.

*

(1)令 cn= ,求数列{cn}的通项公式; (2)若 bn=3
n-1

an bn

,求数列{an}的前 n 项和 Sn.

18.已知向量 a

3 ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1) . 4
2

(1)当 a // b 时,求 cos (2) 设函数

x ? sin 2 x 的值; f ( x) ? 2(a ? b) ? b ,已知在△
6 3

ABC 中,内 角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a、b、c ,若

a ? 3, b ? 2, sin B ?

,求 f ?x ? ? 4 cos? 2 A ?

? ?

??

? ( x ? ?0, ? )的取值范围. 6? ? 3?

? ??

19.已知函数

f ( x) ? ( x 2 ? 2 x) ? ln x ? ax 2 ? 2 . (1)当 a ? ?1 时,求 f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)设函数 g ( x) ? f ( x ) ? x ? 2 , (ⅰ)若函数 g ( x ) 有且仅有一个零点时,求 a 的值; ?2 (ⅱ)在(ⅰ)的条件下,若 e ? x ? e , g ( x ) ? m ,求 m 的取值范围。

[来源:Z§xx§k.Com]

高三理科数学答案
一、选择题: BACCA CCCAD 二、填空题 11.

? ?1, ???

12. ?

?
2

13. -4<M<2

14.

2 3

三、解答题

科网 ZXXK]

an+1 an 17.解:(1)因为 anbn+1- an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N*),所以 - =2, bn+1 bn 即 cn+1-cn=2,所以数列{cn}是以 c1=1 为首项,d=2 为公差的等差数列, 故 cn=2n-1. - - (2)由 bn=3n 1,知 an=(2n-1)3n 1,于是数列{an}的前 n 项和 - Sn=1×30+3×31+5×32+?+(2n-1)×3n 1, 1 2 n-1 3Sn=1×3 +3×3 +?+(2n-3)×3 +(2n-1)×3n, - 将两式相减得-2Sn=1+2×(31+32+?+3n 1)-(2n-1)×3n=-2-( 2n-2)×3n, n 所以 Sn=(n-1)3 +1. 18.解析:解: (1)

3 3 a // b,? cos x ? sin x ? 0,? tan x ? ? 4 4 2 cos x ? 2sin x cos x 1 ? 2 tan x 8 cos 2 x ? sin 2 x ? ? ? sin x 2 ? cos 2 x 1 ? tan 2 x 5
(2) f ( x) ? 2(a ? b) ? b ?

2 sin(2 x ?

?
4

)+

3 2

由正弦定理得

a b 2 ? ? 可得 sin A ? , 所以A ? , 或 A ? 3? sin A sin B 2 4 4

因为 b

? a ,所以 A ?

?
4
? ? ? 11? ? ? 1 ? ?? , 2 sin(2 x ? ) ? , x ? ?0, ? ? 2 x ? ? ? , 4 ? 4 12 ? 2 4 ? 3? ?

?? ? f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 6? ?
所以

3 ?? 1 ? ? 1 ? f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 ? 2 6? 2 ?

所以当 0 ? x ? 1 时, h? ? x ? ? 0 ,当 1 ? x 时, h? ? x ? ? 0 , 所以 h ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上 单调递减,

?h ? x ?max ? h(1) ? 1

所以当函数 g ? x ? 有且今有一个零点时, a ? 1
2 2 (ⅱ)当 a ? 1 , g ? x ? ? x ? 2 x ln x ? x ? x ,若 e?2 ? x ? e, g ( x) ? m, 只需证明

?

?

g?( x) ? ? x ?1??3 ? 2ln x ?
令 g ?( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? e 又
? 3 2

g ( x)max ? m,

e ?2 ? x ? e ,
? 3 ? 3

? 函数 g ( x) 在 (e ?2 , e 2 ) 上单调递增,在 (e 2 ,1) 上单调递减,在 (1, e) 上单调递增
3 3 ? ? 1 ?3 2 2 g ( e ) ? ? e ? 2 e 又 2



g (e) ? 2e 2 ? 3e

3 3 3 ? ? ? 1 3 g (e 2 ) ? ? e ?3 ? 2e 2 ? 2e 2 ? 2e ? 2e(e ? ) ? g (e) 2 2

即 g (e 2 ) ? g (e)

?

3

g ( x) max ? g (e) ? 2e 2 ? 3e

? m ? 2e 2 ? 3e

??????14 分


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