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高中数学人教版必修一第一章+集合与函数概念》教材原题+高考题+模拟题(含答案详解)


必修一好题源第一章集合与函数概念
一、集合 1.【教材原题】数学必修一课本 12 页习题 1.1A 组 9 题 1.设 S ? ?x x是平行四边形或梯形? , A ? ?x x是平行四边形? , B ? ?x x是菱形? ,
C ? ?x x是矩形? ,求 B ? C,痧 , S A. AB

解: B ? C ? ? x x是正方形? , ?A B ? ? x x是邻边不相等的平行四边形? ,

?S A ? ? x x是梯形? .
【高考题或模拟题】 (2012· 高考大纲全国卷)已知集合 A={x|x 是平行四边形},B={x|x 是矩形}, C={x|x 是正方形},D={x|x 是菱形},则( A.A?B C.D?C B.C?B D.A?D )

解:因为平行四边形包含矩形、正方形、菱形,矩形又包含正方形.故选 B. 对比分析: 1.考查知识点:书本题和高考题共同考查知识点是集合;书本题考查集合的 运算;高考题考查集合间关系. 2.考查的方式:书本题是解答题,2012· 高考大纲全国卷高考题是以选择题 形式出现,一般的,高考中这一知识点都是以选择题形式出现的. 3.命题的思路:书本题考查学生对交集、补集的概念的理解应用,2012· 高 考大纲全国卷高考题考查学生对集合间关系的理解. 4.进一步挖掘的价值:从近两年高考试题看,集合间的关系与集合的运算 是高考命题的重点, 题型多为选择题, 常与函数、 方程、 不等式等知识结合命题, 考查学生对知识的综合运用能力. 2.【教材原题】数学必修一课本 11 页练习 4 题 已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5}, B={1,3,5,7}, 求 A? ,(?UA)∩(?UB). (? ) UB 解: ?UA={1, 3, 6, 7}, ?UB={2, 4, 6}, ∴ A? 4 }, (?UA)∩(?UB) (? ) ? {2, UB

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={6}. 【高考题或模拟题】 (2012· 高考辽宁卷)已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合 A ={0,1,3,5,8},集合 B={2,4,5,6,8},则(?UA)∩(?UB)=( A.{5,8} C.{0,1,3} B.{7,9} D.{2,4,6} )

解: ?UA={2,4,6,9,7},?UB={0,1,3,9,7},∴(?UA)∩(?UB)={7, 9}.故选 B. (2013· 高考全国课标Ⅰ 理数)已知集合 A= {x|x2-2x>0} , B= {x|- 5<x< 5} , 则 ( ) A.A∩B=? B. A B ? R C.B?A D.A?B

解:A=(- ? ,0)∪ (2,+ ? ), ∴A B ? R ,故选 B. 对比分析: 1.考查知识点:书本题与 2012· 高考辽宁卷考查集合的运算;2013· 高考全国 课标Ⅰ 理数考查集合的运算即集合间的关系. 2.考查的方式:书本题是解答题,2012· 高考辽宁卷和 2013· 高考全国课标Ⅰ 理数高考题是以选择题形式出现. 3. 命题的思路: 书本题与 2012· 高考辽宁卷高考题都是对集合基本运算能力 的考查, 2013· 高考全国课标Ⅰ 理数高考题考查一元二次不等式解法、 集合运算及 集合间关系,考查学生对知识的综合应用能力. 4.进一步挖掘的价值:从近两年高考试题看,集合间的关系与集合的运算 是高考命题的重点, 题型多为选择题, 常与函数、 方程、 不等式等知识结合命题, 考查学生对知识的综合运用能力. 二、函数及其表示 1.求函数定义域 1.【教材原题】数学必修一课本 17 页例 1 已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? (1)求函数的定义域;
1 . x?2

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2 (2)求 f (?3) , f ( ) 的值; 3

(3)当 a ? 0 时,求 f (a ) , f (a ? 1) 的值. 分析:函数的定义域通常有问题的实际背景确定.如果给出解析式 y=f(x), 而没有指明函数的定义域, 那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数 的集合. 解: (1)使根式 x ? 3 有意义的实数 x 的集合是 ? x x ? ?3? ,使分式 意义的实数 x 的集合是 ? x x ? ?2? .所以,这个函数的定义域就是
1 有 x?2

? x x ? ?3? I ? x x ? ?2? = ? x x ? ?3且x ? ?2? .
(2) f (?3) ? ?3 ? 3 ?
1 ? ?1 ; ?3 ? 2

2 2 1 3 33 f( )? ?3 ? ? ? . 2 3 3 8 3 ?2 3

(3)因为 a ? 0 ,所以 f (a ) , f (a ? 1) 有意义.
f (a) ? a ? 3 ? 1 ; a?2 1 1 ? a?2? . a ?1 ? 2 a ?1

f (a ? 1) ? a ? 1 ? 3 ?

【高考题或模拟题】 (2012· 广东高考)函数 y= x+1 x 的定义域为________.

分析: 求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题,取交集时可借助数 轴,并注意端点值的取舍. 【答案】 {x|x≥-1 且 x≠0}

?x+1≥0, ?x≥-1, 【解析】要使函数有意义,需? 解得? ?x≠0. ?x≠0. ∴ 原函数的定义域为{x|x≥-1 且 x≠0}. (2013 · 高 考 大 纲 全 国 卷 ) 已 知 函 数

f ? x ?的定义域为? -1,0?, 则函数f ? 2x ?1? 的定义域为 ( )

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A. ? ?1,1?

? 1? B. ? ?1, ? 2? ?

C. ? -1,0?

?1 ? D. ? ,1? ?2 ?

【解析】 Q f ? x ?的定义域为? -1,0?, 函数f ? 2x ?1? 有意义,则 ?1 ? 2x ?1 ? 0 ,即
1 ?1 ? x ? ? ,故选 B. 2

x2-2x (2013· 大连模拟)求函数 f(x)= 的定义域. 9-x2 分析:根据解析式,构建使解析式有意义的不等式组求解即可. 【解析】(1)要使该函数有意义,
2 ?x -2x>0, ?x<0或x>2, ? 需要? 则有: 2 ?9-x >0, ?-3<x<3,

解得:-3<x<0 或 2<x<3, 所以所求函数的定义域为(-3,0)∪ (2,3). (2013· 高考浙江卷)已知函数 f(x)= x-1 若 f(a)=3,则实数 a= ____________. 【答案】10 【解析】由已知得到 f (a) ? a ?1 ? 3 所以 a-1=9 为 10. 对比分析: 1.考查知识点: 书本题考查求用解析式 y=f(x)表示的函数的定义域及由函数 解析式求值和复合函数的定义域;2012 广东高考和 2013 大连模拟考查求用解析 式 y=f(x)表示的函数的定义域;2013· 高考大纲全国卷考查复合函数的定义域求 法;2013· 高考浙江卷考查由函数解析式求值. 2.考查的方式:书本题是解答题,2013 大连模拟和 2013· 高考大纲全国卷 高考题是以选择题形式出现;2012 广东高考和 2013· 高考浙江卷是填空题. 3.命题的思路:书本题、2013 大连模拟、2013· 高考大纲全国卷、2012 广 东高考和 2013· 高考浙江卷高考题都是都是考查函数定义域的求法,考查学生解 不等式组的能力. 4.进一步挖掘的价值:函数的定义域是每年高考的必考内容之一,多以选 择题或填空题的形式考查, 考查已知函数解析式的函数的定义域问题,题目主要 所以 a=10 ,所以答案

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较为简单,但具有一定的综合性,需要牢固掌握求定义域的基本方法. 2.分段函数及其应用 【教材原题】课本 45 页复习参考题 B 组 4 题

? x( x ? 4), x ? 0 已知函数 f ( x) ? ? ,求 f (1), f (?3), f (a ? 1) 得值. ? x( x ? 4), x ? 0
解: f (1) ? 1? (1 ? 4) ? 5 ;
f (?3) ? (?3) ? (?3 ? 4) ? 21;

当 a ? ?1 时, a ? 1 ? 0 , f (a ? 1) ? (a ? 1) ? (a ? 1 ? 4) ? a2 ? 6a ? 5 , 当 a ? ?1 时, a ? 1 ? 0 , f (a ? 1) ? (a ? 1) ? (a ? 1 ? 4) ? a2 ? 2a ? 3 . 方法规律:应用分段函数时,首先要确定自变量的值属于哪个区间,其次选 定相应关系代入计算求解, 特别要注意分段区间端点的取舍,当自变量的值不确 定时,要分类讨论. 【高考题或模拟题】

?1,x>0, (2012· 福建高考)设 f(x)=?0,x=0, ?-1,x<0,
则 f(g(π))的值为( A.1 C.-1 【解析】 )

?1,x为有理数, g(x)=? ?0,x为无理数,

B.0 D.π 根据题设条件,∵ π 是无理数,∴ g(π)=0, B

∴ f(g(π))=f(0)=0. 【答案】
x ?2 ,x>0, (2013· 泉州模拟)已知函数 f(x)=? 若 f(a)+f(1)=0, 则实数 a 的 ?x+1,x≤0,

值等于 ( A.-3

) B.-1 C.1 D.3

x ?2 x> , 【解析】∵ f(x)=? 且 f(a)+f(1)=0, ?x+ x≤ ,

∴ f(1)=21=2,则 f(a)=-f(1)=-2. 又当 x>0 时,f(x)=2x>0,

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因此 a≤0,且 f(a)=a+1=-2. ∴ a=-3. ?2x+a,x<1, (2013· 南京模拟)已知实数 a≠0,函数 f(x)=? 若 f(1-a)=f(1 ?-x-2a,x≥1. +a),则 a 的值为______. 【解析】当 a<0 时,1-a>1,1+a<1, 所以 f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a; f(1+a)=2(1+a)+a=3a+2. 因为 f(1-a)=f(1+a),所以-1-a=3a+2, 3 所以 a=-4.当 a>0 时,1-a<1,1+a>1, 所以 f(1-a)=2(1-a)+a=2-a;f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1. 方法规律:若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围, 应根据每一段的解析式分别求解, 但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的 自变量的取值范围. 对比分析: 1.考查知识点:书本题与 2012 福建高考、2013 泉州模拟、2013 南京模拟都 是考查分段函数及其应用; 书本题与 2012 福建高考考查由分段函数解析式求值; 2013 泉州模拟、2013 南京模拟考查与分段函数有关的方程问题. 2.考查的方式:书本题是解答题,2012 福建高考、2013 泉州模拟 2013 南 京模拟考题是以选择题形式出现;2013 南京模拟是填空题. 3. 命题的思路: 书本题与 2012 福建高考考查学生对分段函数的理解和简单 的应用;2013 泉州模拟 2013 南京模拟考题考查解分段函数有关的方程问题,考 查函数与方程思想,考查解方程的能力. 4.进一步挖掘的价值:从近近几年高考试题看,分段函数与分段函数有关 的方程、不等式是考查的重点内容,题型以选择题、填空题为主,既重视三基, 又注重思想方法的考查, 估计近几年仍以分段函数及应用为重点,同时应特别关 注与分段函数有关的方程的问题. 三、函数的基本性质 1.函数单调性

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【教材原题】数学必修一课本 44 页复习参考题 A 组 9 已知函数 f ( x) ? 4 x2 ? kx ? 8 在 ?5, 20? 上具有单调性,求实数 k 的取值范围. 解: f ( x) ? 4 x2 ? kx ? 8 的对称轴 x ? 上具有单调性,则
k ,要使函数 f ( x) ? 4 x2 ? kx ? 8 在 ?5, 20? 8

k k ? 5 或 ? 20 ,解得 k 的取值范围 k ? 40 或 k ? 160 . 8 8

【高考题或模拟题】 (2012· 徐州模拟)已知函数 f(x)=2ax2+4(a-3)x+5 在区间(-∞, 3)上是减函 数,则 a 的取值范围是( 3? ? A.?0,4? ? ? 3? ? C.?0,4? ? ? 答案:D 解析:当 a=0 时,f(x)=-12x+5,在(-∞,3)上是减函数; ) 3? ? B.?0,4? ? ? 3? ? D.?0,4? ? ?

a ? 0, ? 3 ? 当 a≠0 时,由 ? 4(a ? 3) 得 0<a≤4. ? ? 0, ? 4a ?
3 综上,a 的取值范围是 0≤a≤4. 对比分析: 1.考查知识点:书本题与 2012· 徐州模拟都是考查由函数单调性求参数. 2.考查的方式:书本题是解答题,2012· 徐州模拟考题是以选择题形式出现. 3.命题的思路:书本题与 2012· 徐州模拟都是考查数形结合、转化与化归等 数学思想和学生运算能力. 4.进一步挖掘的价值:函数的单调性是高考考查的重点内容,主要涉及单 调性的判断,求函数的单调区间与最值,函数单调性的应用;其中利用函数的单 调性解不等式应引起高度重视. 2.函数的奇偶性 【教材原题】数学必修一课本 35 页例题 5 例5 判断下列函数的奇偶性:

(1) f ( x) ? x4 ;

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(2) f ( x) ? x ?

1 . x

解:(1)对于函数 f ( x) ? x4 ,其定义域为 (??, ??) . 因为对定义域内的每一个 x ,都有

f (? x) ? (? x)4 ? x4 ? f ( x) ,所以,函数 f ( x) ? x4 为偶函数.
(2)对于函数 f ( x) ? x ?
1 ,其定义域为 ? x x ? 0? . x

因为对定义域内的每一个 x ,都有
f (? x) ? ? x ? 1 1 1 ? ?( x ? ) ? ? f ( x) ,所以,函数 f ( x) ? x ? 为奇函数. ?x x x

【高考题或模拟题】 (2012· 广东高考)下列函数为偶函数的是( A.y=sin x C.y=ex )

B.y=x3 D.y=ln x2+1

分析:先求定义域,看定义域是否关于原点对称,在定义域下,带绝对值符 号的要尽量去掉,分段函数要分情况判断. 【解析】由函数奇偶性的定义知 A、B 项为奇函数,C 项为非奇非偶函数, D 项为偶函数. 【答案】 D
1 , x

(2013· 山东高考理 3)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时, f ( x) ? x 2 ? 则 f(-1)= ( A.-2 【答案】A ) B.0 C.1 D.2

【解析】因为函数为奇函数,所以 f (?1) ? ? f (1) ? ?(1 ? 1) ? ?2 ,选 A. 对比分析: 1.考查知识点:书本题与 2012 广东高考、2013 山东高考理考查函数奇偶性 的含义;书本题与 2012 广东高考考查奇偶性判断;2013 山东高考理考查根据函 数奇偶性求值. 2.考查的方式:书本题是解答题,2012 广东高考、2013 山东高考考题是以 选择题形式出现.

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3. 命题的思路: 书本题与 2012 广东高考考查学生运用基本初等函数的解析 式分析函数的奇偶性的能力;2013 山东高考理考查对函数奇偶性的应用能力. 4.进一步挖掘的价值:从近几年的高考试题看,奇偶性的考查函数主要考 查奇偶性的判定,利用奇偶性求函数值,属中、低档题目;此外应注意会运用基 本初等函数的图象分析函数的奇偶性. 3.奇偶性与单调性综合应用 【教材原题】数学必修一课本 44 页复习参考题 A 组 10 题 已知函数 y ? x ?2 , (1)它是奇函数还是偶函数? (2)它的图象具有怎样的对称性? (3)它在 (0, ??) 上是增函数还是减函数? (4) 它在 (??, 0) 上是增函数还是减函数? 解:(1)函数 y ? x ?2 的定义域为 ? x x ? 0? ,令 f ( x) ? x?2 , 因为对定义域内的每一个 x ,都有 f (? x) ? (? x)?2 ? x?2 ? f ( x) , 所以,函数 f ( x) ? x?2 为偶函数; (2) 它的图象关于 y 轴对称; (3)它在 (0, ??) 上是减函数; (4) 它在 (??, 0) 上是增函数. 【高考题或模拟题】 (2012· 陕西高考)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A.y=x+1 1 C.y=x 【解析】 B.y=-x3 D.y=x|x| A 选项中的函数为非奇非偶函数.B、C、D 选项中的函数均为 )

奇函数,但 B、C 选项中的函数不为增函数,故选 D. 【答案】 D 2x-a (2013· 盐城模拟)已知函数 f(x)= x 在其定义域上为奇函数,则 a= 2 +a ________. 分析:根据 f(-x)=-f(x)求解.

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2-x-a 2x-a 【解析】由 f(-x)=-f(x)得 -x =- x 2 +a 2 +a 1 x a-2 a-2x 1 即1 = a=± 1. x,∴ =a,∴ a a+2 x + 2 a 【答案】± 1 对比分析: 1.考查知识点:书本题、2012 陕西高考、2013 盐城模拟均考查奇偶性与单 调性综合应用;书本题考查奇偶性含义、图象及函数的单调性;2012 陕西高考 考查奇偶性与单调性的判断;2013 盐城模拟均考查知函数奇偶性求参数. 2. 考查的方式: 书本题是解答题, 2012 陕西高考考题是以选择题形式出现; 2013 盐城模拟考题是以填空题形式出现. 3.命题的思路:书本题、2012 陕西高考考查学生对奇偶性与单调性综合应 用题的处理能力;2013 盐城模拟均考查学生由函数奇偶性求参数的能力,考查 化简能力. 4.进一步挖掘的价值:从近几年的高考试题看,奇偶性的考查函数主要考 查奇偶性的判定, 利用奇偶性与周期性求函数值,与单调性交汇求解简单的方程 与不等式,多以选择题和填空题的形式出现,属中、低档题目,其中利用函数的 周期性时,应注意隐含条件的挖掘.

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