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【阳光数学网】高考二轮专题析与练(理科)专题二:第3讲 导数的几何意义,函数的极值、最值


题型一

导数的几何意义,求导方法

ln x+k 已知函数 f(x)= ex (k 为常数,e=2.718 28…是自 然对数的底数), 曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与 x 轴平行. (1)求实数 k 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)设 g(x)=xf′(x), 其中 f′(x)为函数 f(x)的导函数, 求证: 对任意 x>0,g(x)<1+e-2.

【分析】 可以利用导数几何意义求切线的斜率; 求函数 f(x) 的单调区间要根据 f′(x)>0 或 f′(x)<0 求 x 的解集;不等式恒 成立问题可以转化为最值问题.

1 x -ln x-k 【解析】(1)f′(x)= , ex 1-k ∵f′(1)= e =0,∴k=1.

1 x -ln x-1 (2)由(1),知 f′(x)= . ex 1 1 1 设 k(x)=x -ln x-1,则 k′(x)=-x2-x <0, 即函数 k(x)在区间(0,+∞)上是减函数. 由 k(1)=0,知当 0<x<1 时,k(x)>0,从而 f′(x)>0; 当 x>1 时,k(x)<0,从而 f′(x)<0. 综上可知, 函数 f(x)的单调递增区间是(0,1), 单调递减区间 是(1,+∞).

(3)由(2),可知当 x≥1 时,g(x)=xf′(x)≤0<1+e 2.故只 - 需证明关于 x 的不等式 g(x)<1+e 2 在 0<x<1 时成立. 当 0<x<1 时,ex>1 且 g(x)>0, 1-xln x-x 所以 g(x)= <1-xln x-x. ex 设 F(x)=1-xln x-x(x∈(0,1)), 则 F′(x)=-(ln x+2). - - 当 x∈(0,e 2)时,F′(x)>0;当 x∈(e 2,1)时,F′(x)<0. - - - 所以当 x=e 2 时,函数 F(x)取得最大值 F(e 2)=1+e 2. 所以 g(x)<F(x)≤1+e-2. - 综上,对任意 x>0,g(x)<1+e 2.


导数的几何意义是切线的斜率;求函数 f(x)的单调区间要 根据 f′(x)>0 或 f′(x)<0 求 x 的解集;证明不等式恒成立问题 可以转化为最值问题.不等式恒成立问题通常可以用分离参数 法,把不等式转化为形如 f(x)<g(a)的不等式,并求某个函数的 最值或取值范围.分离参数要特别注意不等式两边除以正数, 不等号方向不变,若除以负数,不等号要改变方向,所以通常 要分类讨论.

题型二

函数的极值、最值问题

aln x 设函数 f(x)=x+ x ,其中 a 为常数. (1)求证:对任意 a∈R,函数 y=f(x)的图象恒过定点; (2)当 a=-1 时,函数 y=f(x)是否存在极值?若存在,求 出极值;若不存在,说明理由; (3)若对任意 a∈(0,m]时,函数 y=f(x)恒为定义域上的增 函数,求实数 m 的最大值.

【分析】 第(1)问可以令 ln x=0; 第(2)问极值是否存在可以 考虑导函数函数值的符号;第(3)问可以转化为不等式恒成立问 题,再转化为最值问题.

【解析】(1)令 ln x=0,得 x=1 且 f(1)=1. 所以函数 y=f(x)的图象过定点(1,1). ln x (2)当 a=-1 时,f(x)=x- x , 1-ln x x2+ln x-1 f′(x)=1- x2 = . x2 令 g(x)=x2+ln x-1,经观察,得方程 g(x)=0 有根 x=1. 以下证明 g(x)=0 无其他根. 1 g′(x)=2x+x ,当 x>0 时,g′(x)>0, 即函数 y=g(x)在区间(0,+∞)上是单调递增函数.

所以方程 g(x)=0 有唯一根 x=1. g?x? 当 x∈(0,1)时,f′(x)= x2 <0,函数 f(x)在区间(0,1) 上是 g?x? 减函数; 当 x∈(1, +∞)时, f′(x)= x2 >0, 函数 f(x)在区间(1, +∞)上是增函数; 所以 x=1 是函数 f(x)的唯一极小值点. ln 1 极小值是 f(1)=1- 1 =1.

a-aln x x2-aln x+a (3)f′(x)=1+ x2 = , x2 令 h(x)=x2-aln x+a, 由题设,对任意 a∈(0,m],有 h(x)≥0(x∈(0,+∞)). ? ? a? a? ? ?? ? 2 x- 2??x+ 2? 2x2-a ? ? ?? ? ∵h′(x)= x = , x ? a? ? ? 当 x∈?0, 时,h′(x)<0,函数 h(x)是减函数; 2? ? ?

? a ? 当 时,h′(x)>0,函数 h(x) 是增函数. 2,+∞? ? a 所以当 x= 2时,函数 h(x)有极小值,也是最小值 ? ? a? a? ? ? ?3 ? h? = - ln ? ?2 ?a. 2 2 ? ? ? ? ?3 a? ? ? 3 由 h(x)≥0,得? -ln a ≥ 0 ,即 a ≤ 2e ,即实数 m 的最 ? 2 2 ? ? 大值为 2e3.

? x∈? ? ?

求函数 y=f(x)的极值的方法:解方程 f′(x)=0,当 f′(x0) =0 时,(1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那 么 f(x0) 是极大值; (2) 如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0 ,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0) 是极小值.

注意:可导函数在极值点处的导数为零,但导数为零的点 不一定是极值点,如 y=x3 在 x=0 处导数为零,但 x=0 不是 极值点. 求函数 y=f?x? 在区间[a,b] 上的最大值和最小值的步骤 如下: ?1?求函数 y=f?x?在区间?a,b?内的极值; ?2?将函数 y=f?x?的各极值与端点处的函数值 f?a?,f?b? 比 较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.


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