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2019年人教A版高中必修四数学2.3.1平面向量基本定理优质课课件_图文

温故知新 向量的加法(三角形法则) a a+b b a 向量的加法(平行四边形法则) a+b b a-b 向量的减法(三角形法则) 向量的数乘运算 对λa a b (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同; 当λ<0时,λa的方向与a方向相反; 特别地,当λ=0或a=0时, λa=0 设a,b为任意向量,λ,μ为任意实数,则有: ①λ(μa)=(λμ) a ②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb 特别地: ? ? ? (?? )a ? ?(?a) ? ? (?a) ? ? ? ? ? (a ? b ) ? ?a ? ?b 向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当 有且只有一个实数λ,使得 b=λa 思考:一个平面内的两个不共线的向量 e1、 e2 与该平面 内的任一向量 a 之间的关系. M C e1 a e2 A ?如图 OC ? OM ? ON O N B OM ? ?1OA ? ?1 e1 ON ? ?2 OB ? ?2 e2 ?OC ? ?1 e1 ? ?2 e2 即 a ? ?1 e1 +?2 e2 N A B C e1 e2 a O ?如图 OC ? OM ? ON M OM ? ?1OA ? ?1 e1 ON ? ?2 OB ? ?2 e2 ?OC ? ?1 e1 ? ?2 e2 即 a ? ?1 e1 +?2 e2 a ? ?1 e1 +?2 e2 这就是说平面内任 一向量a都可以表示 成?1 e1 +?2 e2的形式 平面向量基本定理: 如果e1、是同一平面内的两个 e2 不共线的向量, 那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对 实数?1、?2,可使 a ? ?1 e1 +?2 e2 这里不共线的向量e1、叫做表示这一平面内 e2 所有向量的一组基底. 思考 (1)一组平面向量的基底有多少对? (有无数对) C F M M C A O a N B O a N E 特别的,若 a = 0 ,则有且只有 : ?1= ?2 = 0 e1 + ?2e2 . 可使 0 = ?1 ?2=0(?1=0),使得: a = ?1e1 + ?2e2 . ?若 ?1与 ?2 中只 有一个为零,情 况会是怎样? 特别的,若a与 e( )共线,则有 1 e2 例1:已知向量e1, e (如图),求作向量-2.5 e1 ? 3e2 . 2 作法: 1.如图,任取一点O , 作OA ? ?2.5e1 , OB ? 3e2 . 2.作 OACB. 则, OC就是所求的向量 -2.5e1 C 3e2 B e1 e2 A O 练习: 1.在 AD ? ABCD中,设 AC ? a, BD ? b,则 AB ? a ?b .(用a、 b来表示) 2 a ?b , 2 D C A B 二、向量的夹角 已知两个非零向量a和b如图, 则∠AOB=θ (0 ° ≤θ≤180°) 叫做向量的夹角 当θ =0° 时,a与b同向 当θ =180°时, a与b反向 o b B ? a A 共起点 a与b的夹角是90 °,则a与b垂直,记作a ⊥ b A 思考:正△ABC中,向量 AB与BC的夹角为几度? D B C 60 若 a ? b ? a ? b ? r (r ? 0), 则a与b的夹角为 _____ 思考 设 a、b是两个不共线的向量, 已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b, CD = 2a – b,若A、B、D三点共线, 求k的值。 解: ? A、B、D三点共线 ?AB与BD共线,则存在实数 λ使得AB = λBD. 由于BD = CD – CB ?k = =(2a – b) –(a +3b) = a – 4b 则需 2a + kb = ? (a – 4b ) 2 = ? 由向量相等的条件得 k = 4? 8. 此处可另解: 则需 2a + kb = ?(a – 4b ) 即(2 - ? )a +(k - 4? )b = 0 ? k – 4? = 0 8. 2 -? = 0 ?k = 小结: 平面向量基本定理


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