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高一数学数列求和


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课题:数列求和
教学目标
(一) 知识与技能目标 数列求和方法. (二) 过程与能力目标 数列求和方法及其获取思路. 教学重点:数列求和方法及其获取思路. 教学难点:数列求和方法及其获取思路.

教学过程
1.倒序相加法:等差数列前 n 项和公式的推导方法:

?Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 2S ? n(a ? a ) n 1 n ?Sn ? an ? an ?1 ? ? ? a1 12 22 32 102 ? ? ? ? ? 例 1.求和: 2 1 ? 102 22 ? 92 32 ? 82 102 ? 12
(1) ? 分析:数列的第 k 项与倒数第 k 项和为 1,故宜采用倒序相加法. 小结: 对某些前后具有对称性的数列,可运用倒序相加法求其前 n 项和. 2.错位相减法:等比数列前 n 项和公式的推导方法: (2) ?

?Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? (1 ? q) Sn ? a1 ? an ?1 ?qSn ? a2 ? a3 ? ? ? an ? an ?1
2 3 n

例 2.求和: x ? 3x ? 5x ? ? ? (2n ? 1) x ( x ? 0) 3.分组法求和

1 ? 的前 n 项和; 16 1 例 4. 设正项等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? , 前 n 项和为 S n , 且 210 S30 ? (210 ? 1)S 20 ? S10 ? 0 2
例 3 求数列 1 ,2 ,3 ,4 (Ⅰ)求 ?an ? 的通项;
2

1 2

1 4

1 8

(Ⅱ)求 ?nSn ?的前 n 项和 Tn 。
2 n ?1

例 5.求数列 1, 1 ? a, 1 ? a ? a ,?,1 ? a ? a ? ? ? a

,?的前 n 项和 Sn. n(n ? 1) 解 : 若a ? 1, 则a n ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? n, 于是S n ? 1 ? 2 ? ? ? n ? ; 2 1? an 1 n ?1 若a ? 1, 则a n ? 1 ? a ? ? a ? ? (1 ? a n ) 1? a 1? a 2 n 1? a 1? a 1? a 1 1 a(1 ? a n ) 于是S n ? ? ??? ? [n ? (a ? a 2 ? ? ? a n )] ? [n ? ] 1? a 1? a 1? a 1? a 1? a 1? a

4.裂项法求和 例 6.求和: 1 ?

1 1 1 ? ??? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ??? n

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2 1 1 ? 2( ? ), n(n ? 1) n n ?1 1 1 1 1 1 1 2n ? Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )] ? 2(1 ? )? 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1
解:设数列的通项为 an,则 an ? 例 7.求数列

1 1? 2

,

1 2? 3 1

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

解:设 a n ?

n ? n ?1 1 ?

? n ?1 ? n 1 n ? n ?1

(裂项)

则 Sn ?

1 2? 3

1? 2

? ??? ?

(裂项求和)

= ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n ) = n ? 1 ?1 三、课堂小结: 1.常用数列求和方法有: (1) 公式法: 直接运用等差数列、等比数列求和公式; (2) 化归法: 将已知数列的求和问题化为等差数列、等比数列求和问题; (3) 倒序相加法: 对前后项有对称性的数列求和; (4) 错位相减法: 对等比数列与等差数列组合数列求和; (5) 并项求和法: 将相邻 n 项合并为一项求和; (6) 分部求和法:将一个数列分成 n 部分求和; (7) 裂项相消法:将数列的通项分解成两项之差,从而在求和时产生相消为零的项的求和方 法. 四、课外作业: 1. 《学案》P62 面《单元检测题》 2.思考题

1 1 1 ? 4 ? 6 ? ?前n项的和. 4 8 16 1 2 n 2 ? ? ??? ? (2) .在数列{an}中, an ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项 n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1 2 ( 1). 求数列:
的和. (3) .在各项均为正数的等比数列中,若 a5 a6 ? 9, 求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 的值. 解:设 S n ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 由等比数列的性质 m ? n ? p ? q ? aman ? a p aq

(找特殊

性质项)
和对数的运算性质 loga M ? loga N ? loga M ? N 得

S n ? (log3 a1 ? log3 a10 ) ? (log3 a2 ? log3 a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? log3 a6 )
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(合

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并求和)
= (log3 a1 ? a10 ) ? (log3 a2 ? a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? a6 ) = log3 9 ? log3 9 ? ? ? ? ? log3 9 =10

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课题:数列复习(一)通项公式
教学目标
(三) 知识与技能目标 数列通项公式的求法. (四) 过程与能力目标 1. 熟练掌握本章的知识网络结构及相互关系. 2. 掌握数列通项公式的求法.

教学重点:掌握数列通项公式的求法. 教学难点:根据数列的递推关系求通项. 教学过程
一、基本概念 数列的通项公式:如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示,这个 公式就叫做这个数列的通项公式. 二、数列的通项公式的求法 题型一:已知数列的前几项,求数列的通项公式. 例1 根据数列的前几项,写出下列个数列的一个通项公式: (1) ?

4 1 4 2 , ,? , ,?; 5 2 11 7

(2) 0.9,0.99,0.999,0.9999,…; (3) 1,0,1,0,1,0,…. 【解】 (1) 注意到前四项中有两项分子均为4, 不妨把分子都统一为4, 即? 观察符号是正负交替出现,因而有 an ? (?1) n

4 4 4 4 , , … ? , , 5 8 11 14

4 . 3n ? 2 1 1 1 (2) 将数列中的项和1比较,就会发现, a1 =0.9=1=1- 2 a2 =0.99=110 10 100 1 1 1 =1- 3 ,因此就有 a n ? 1 ? n . a3 =0.999=110 10 1000 1 n?1 (3)数列中的奇数项为1,偶数项为0,注意 1 ? (?1) n?1 的值为2和0,因此有 an ? ?1 ? (?1) ?. 2
题型二:已知递推公式,求特殊数列的通项公式. 例2 写出下面各数列一个通项公式. (1) a1 ? 1, an ?1 ? 1 ? (2) a1 ? 1 , a n ?

an (n ? 1); 2

练习1: a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ; 练习2: a1 ? 1 , a n ?1 ? 练习3:

2a n ?1 (n ? 2) ; 2 ? a n ?1

3a n (n ? 1) ; 3 ? an

(3) a1 ? 1 , a n ? a n?1 ? 2n(n ? 2)

a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ).
(4) a1 ? 1 , an?1 ?

n an (n ? 1) ; n ?1

练习4: a1 ? 1 , an ?1 ? 2n ? an (n ? 1)

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【解】 (1)法一:∵ a1 ? 1 , an?1 ? 1 ?

an (n ? 1) 2

∴ a2 ? 1 ?

a1 1 3 ? 1? ? , 2 2 2
2n ?1 . 2 n ?1

a3 ? 1 ?

a2 3 7 ? 1? ? 2 4 4

a4 ? 1 ?

a3 7 15 ? 1? ? 2 8 8

故 an ?

an 1 (n ? 1) ,∴ an?1 ? 2 ? (an ? 2) 2 2 1 ∴{ a n ? 2 }是一个首项为-1,公比为 的等比数列, 2 1 1 ∴ a n ? 2 ? (?1)( ) n?1 ,即 a n ? 2 ? ( ) n?1 . 2 2
法二:∵ an?1 ? 1 ? 练习: ∵ a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,∴ an?1 ? 3 ? 2(an ? 3)(n ? 1) , ∴{ an ? 3 }是以 a1 ? 3 ? 4 为首项,2 为公比的等比数列, ∴ an ? 3 ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,所以该数列的通项 an ? 2 (备用)∵ a n?1 ? 2a n ? 4 ,
n ?1

?3 .

∴ an?1 ? 4 ? 2(an ? 4)

∴数列{ a n ? 4 }是以2为首项,2为公比的等比数列, ∴ an ? 4 ? 2 ? 2 n?1 ,即 an ? 2 n ? 4(n ? N ? ) . [点评]若数列{an}满足a1 =a,an+1 = pan +q (p≠1),通过变形可转化为

a n ?1 ?

q q q ? p(a n ? ) ,即转化为 {an ? } 是等比数列求解. 1? p 1? p 1? p
2a n ?1 1 1 1 1 1 1 1 (n ? 2) 得 ? ? ,即 ? ? ,又 ? 1 , 2 ? a n ?1 a n a n ?1 2 a n a n ?1 2 a1

解: (2)由 a n ?

∴数列{

1 1 }是以1为首项, 为公差的等差数列. an 2



1 1 1 n ?1 2 ? ? (n ? 1) ? ? ,∴ an ? (n ? N ? ) . a n a1 2 2 n ?1 3a n 1 1 1 ? ? , 得 3 ? an a n ?1 a n 3


练习2:由 a n ?1 ?

1 1 1 1 ? ? ,又 ? 1 , a n ?1 a n 3 a1

∴数列{

1 1 }是以1为首项, 为公差的等差数列. an 3



1 1 1 n?2 3 ? ? (n ? 1) ? ? ,∴ an ? (n ? N ? ) . a n a1 3 3 n?2
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[点评] 若数列 { an } 满足 a1 ? a ,an ?1 ?

ca n 1 1 b (b, c ? 0) , ? ? , 通过取倒可转化为 ban ? c an ?1 an c

即转化为{

1 }是等差数列求解. an
∴ a 2 ? a1 ? 2 ? 2 … …

(3)∵ a1 ? 1 , a n ? a n?1 ? 2n(n ? 2)

a3 ? a 2 ? 2 ? 3
a n ? a n?1 ? 2 ? n

a 4 ? a3 ? 2 ? 4

将上述(n-1)个式子相加,得 a n ? a1 ? 2 ? (2 ? 3 ? 4 ? ? ? n) 即 an ? a1 ? 2 ? 练习 3:

(2 ? n)(n ? 1) , an ? n 2 ? n ? 1(n ? N ? ) . 2

an?2 ? 3an?1 ? 2an ,
? an ? 2 ? an ?1 ? 2(an ?1 ? an ), a1 ? 1, a2 ? 3, ? an ? 2 ? an?1 ? 2(n ? N * ). an ?1 ? an

??an?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列.
∴ an?1 ? an ? 2n (n ? N * ),

?an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1

? 2n ?1 ? 2n ?2 ? ... ? 2 ? 1 ? 2n ? 1(n ? N * ).
[点评]若数列{ an }满足 a1 ? a , an ?1 ? an ? bn (数列{b}为可以求和的数列 ) ,则用累加 n 法求解,即 an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an ?1 ) . (4)∵ a1 ? 1 , an?1 ?

n an (n ? 1) , n ?1



a n ?1 n ? , an n ?1



a 2 1 a3 2 a 4 3 ? , ? , ? ,…, a1 2 a 2 3 a 3 4

an n ?1 ? , a n ?1 n

将上述(n-1)个式子相乘,得

an 1 1 ? ,即 an ? (n ? N ? ) . a1 n n


练习4:∵ an ?1 ? 2n ? an ,∴

a n ?1 ? 2n an

a2 a a a ? 2 , 3 ? 2 2 , 4 ? 23 ,…, n ? 2 n ?1 , a2 a3 an ?1 a1

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将上述(n-1)个式子相乘,得

an ? 21? 2 ? 3??? ( n ?1) ,即 an ? 2 a1

n ( n ?1) 2 (n ? N ? )



[点评]若数列{ an }满足 a1 ? a , an ?1 ? an ? bn (数列{b}为可以求积的数列 ) ,则用迭乘 n 法求解,即 an ? a1 ?

a a2 a3 ? ??? n . a1 a2 an?1

三、课堂小结: 1. 已知数列的前几项,求数列的通项公式的方法:观察法. 2. 已知递推公式,求特殊数列的通项公式的方法: 转化为等差、等比数列求通项;累加法;迭乘法. 四、课外作业: 《习案》作业二十.

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