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数学物理方法论文


物理与电子信息学院 09 级物理汉班

数学物理方法第一篇总结
1.1 复数与复数运算
(一)复数的概念 一个复数可以表示为某个实数与某个纯虚数 iy 的和,z=x+iy,这是复数的代数式,x 和 y 叫 做该复数的实部和虚部,并分别记做 Re z 和 Im z。 如果将 x 和 y 当做平面上点的坐标,复数 z 就跟平面上的点一一对应起来, 这个平面称为复 数平面,两个坐标轴分别称为实轴和虚轴。

y
ρ

Z (x,y) θ

0 a

x
x
2

复数的三角式 z ? ? [cos ? ? i sin ? ] ,其中 ? ?

? y

2

, ? ? arctg ? y / x ? 。

共轭复数的概念 如果两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数。 (二)无限远点 复球面 无限远点:复平面上ρ 为无限大的点. 复球面:与复平面相切于坐标原点 o,其上每一点都与复平面上的点构成一一对应关系的球 面. (三)复数的运算 已知两个复数: z 1 ? cos ? 1 ? i sin ? 2
z 2 ? c o s 2 ? is i n 2 ? ?

1.加减运算 z 1 ? z 2 ? (cos ? 1 ? cos ? 2 ) ? i (sin 1 ? sin ? 2 ) 2.乘法运算
z 1 z 2 ? ? 1 ? 2 (cos ? 1 ? i sin ? 1 )(cos ? 2 ? i sin ? 2 ) ? ? 1 ? 2 ?cos( ? 1 ? ? 2 ) ? i sin( ? 1 ? ? 2 ) ?

3.除法运算
z1 z2 ? r1 r2

?cos( ? 1
n

? ? 2 ) ? i sin( ? 1 ? ? 2 ) ? ?

r1 r2

e

i (? 1 ? ? 2 )

4.复数的乘幂 z ? ? (cos n ? ? i sin n ? )
n

第一章复变函数论总结

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5.复数的方根 n z ?

n

? (cos

?
n

? i sin

?
n

)

(四)典型例题 计算下列数值(其中 ? 为常数) 1. cos ? ? cos 2? ? cos 3? ? ? ? cos n ? 2. sin ? ? sin 2? ? sin 3? ? ? ? sin n ?

1.2 复变函数
(一)复变函数的定义 对于复平面的点集 E,它的每个点 z 都有一个或多个点ψ 通过确定的关系与之对应。则称ψ 为 z 的复变函数,记作:ψ = f(z), z∈E E 叫做定义域。 (二)区域的概念 在解析函数论中,函数的定义域一般不是点集,而是满足一定条件的点集,称为区域,用 B 表示。 邻域:以某点 z0 为圆心,以任意小的正实数?为半径的圆的内部,称为 z 0 的邻域。 内点:若 z 0 及其邻域均属于点集 E,则称为该点集的内点。 外点:若 z 0 及其邻域均不属于点集 E,则称为该点集的外点。 边界点:若在 z 0 的每个邻域内,既有属于 E 得点,也有不属于 E 的点,则称 z 0 为该点集的 边界点,它既不是 E 的内点,也不是 E 的外点,边界点的全体称为边界线。 区域是指满足下列两个条件的点集: 1. 全由内点组成; 2. 具有连通性,即点集的任意两点都可以用一条折线连起来,且折线上的点全部属于该点 集。 (三)典型例题 求解方程 sinz ? 2

1.3 导数
(一)导数的概念 设函数 ? ? f (z) 是在区域 B 上定义的单值函数,即对于 B 上的每一个 Z 值,有且只有一个
? 值与之相对应。若在 B 上的某点 z,极限 lim
?? ?z ? lim
?z

f ( z ? ? z )— f ( z ) ?z

?z? 0

存在,并

且与 ? z ? 0 的方式无关,则称 f(x)在 z 点可导。 (二)柯西黎曼方程

第一章复变函数论总结

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?v ? ?u ? ?x ? ?y ? 柯西-黎曼方程在直角坐标系下的 C-R 条件,是复变函数可导的必要条件 ? ? ?v ? ? ?u ? ?x ?y ? ?v ? ?u ? ?? ? ?? ? 柯西-黎曼方程在极坐标系下的 C-R 条件,是复变函数可导的必要条件 ? ?- ?v ? 1 ?u ? ?? ? ?? ?

函数 f(z)可导的充分必要条件:f(z)的偏导数 (三)典型例题

?u ?u ?v ?v , , , 存在且连续,并满足 C-R 条件。 ?x ?y ?x ?y

?v ? ?u ? ?? ? ?? ? 试从极坐标系中的柯西黎曼方程中 ? 消去 u 或者 v。 ?- ?v ? 1 ?u ? ?? ? ?? ?

(四)人物传记 1.柯西:法国数学家,他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的,在 数学写作上,他是被认为在数量上仅次于欧拉的人,他首创性的工作 是关于单复变函数论,阐明了有关概念,并且用这种积分来研究多种 多样的问题,如实定积分的计算,级数与无穷乘积的展开,用含参变 量的积分表示微分方程的解等等。他还在综合工科学校所授分析课程 及有关教材给数学界造成了极大的影响。 2.黎曼:德国数学家,对数学分析和微分几何做出了重要贡献,其中 一些为广义相对论的发展铺平了道路。他的名字出现在黎曼 ζ 函数, 黎曼积分,黎曼引理,黎曼流形,黎曼映照定理,黎曼-希尔伯特问题, 黎曼思路回环矩阵和黎曼曲面中。他初次登台作了题为“论作为几何基 础的假设”的演讲,开创了黎曼几何,并为爱因斯坦的广义相对论提供 了数学基础。

1.4 解析函数
(一)解析函数的定义 若函数 f(z)在 z0 点及其邻域上处处可导,则 f(z)在 z0 点解析。又若 f(z)在区域 B 上每点都解 析,则 f(z)是区域 B 上的解析函数。 (二)解析函数的性质 1.若函数 f(z)=u+iv 在区域 B 上解析,则 u(x,y)= C 1 ,v(x,y)= C 2 ,是 B 上的两组正交曲线组。 2.若函数 f(z)=u+iv 在区域 B 上解析,则 u,v 均为 B 上的调和函数。 (三)典型例题
第一章复变函数论总结

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已知解析函数 f ? z ? 的实部 u ? x , y ? 或者虚部 v ? x , y ? ,求该解析函数。 1. u ? e sin y ;
x

2. u ? x ? y ? xy , f ?0 ? ? 0 ;
2 2

2.1 复变函数的积分
(一)复变函数积分的定义 设在复数平面的某分段光滑曲线 l 上定义了连续函数 f(z),在 l 上取一系列分点 z0(即起点 A), z1 , z2,…, zn(即终点 B) ,把 l 分成 n 个小段,在每个小段[zk-1,zk]上任取一点ξ k,作
) 和得 ? f ( ? k( z k — z k — 1)?
k ?1 n

?

n

f (? k ) ? z k

k ?1

当 n→∞且每小段都无限缩短时,如果这个和的极限存在,且其值与各个ξ k 的选取无关, 则 这 个 和 为 函 数 f(z) 沿 曲 线 l 从 A 到 B 的 路 积 分 , 记 作

?

l

f ( z ) dz = ? u ( x , y ) dx ? v ( x , y ) dy ? i ? v ( x , y ) dx ? u ( x , y ) dy
l l

Zn(B) Zk-1 ξ Zk

k (二)复变函数积分的性质 1.常数因子可以移到积分号外; l 2.和积分等于积分和; Z0(A) 3.反转路径,积分反号; 4.全路径上的积分等于各段积分之和 一般来说,复变函数积分值不仅依赖于起点和终点,同时还与积分路径有关。

2.2 柯西定理
(一)单连通区域的情况 单通区域:在其中做任何简单的闭合围线,围线内的点都是属于该区域内的点。也可以认为 是一根闭合曲线围成的区域。 单连区域柯西定理:如果函数 f(z)在闭单通区域 B 上解析,则沿 B 上的任一分段光滑闭合曲 线 l,有 ? f ( z ) dz ? 0
l

证明如下

?

l

f ( z ) dz ? ? u ( x , y ) dx ? v ( x , y ) dy ? i ? v ( x , y ) dx ? u ( x , y ) dy ,
l l

由于 f(z)在 B 上解析,因而有

?u ?u ?v ?v , , , 在 B 上连续, ?x ?y ?x ?y

第一章复变函数论总结

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根据格林公式 ? Pdx ? Qdy ?
l

?

(

?Q ?x

?

?P ?y

)dxdy 和 C-R 条件

?u ?x

?

S

?v ?v ?u , ? 得: ?y ?x ?y

?

f ( z ) dz ? 0

l

(二)复通区域情形 为了将奇点排除在区域之外, 需要做一些适当的闭合曲线把奇点分隔出去, 即形成复通区域。 一般来说,在区域内,只要有一个简单的闭合曲线内有不属于该区域的点,这样的区域便称 为复通区域。 对于区域(单或复通区域)的境界线,通常这样规定(内外)正方向,区域在观察者的左边。 复通区域柯西定理: 如果 f(z)是闭复通区域上的单值解析函数, ? f ( z ) dz ? 则
l

??
i ?1

n

f ( z ) dz ? 0 l 为区域外境界线,

li

li 为内境界线,积分均沿正方向进。 证明如下:
按单通区域柯西定理,

l

? ?



l

?
AB

+? +
l1

?
BA

?? ? 0

B
的积分值抵消,于是

其中沿同一割线两边缘
l

A l1

+?

?? ? 0

l1

即: f ( z ) dz ? ?
l

??
i ?1

n

f ( z ) dz 向积分相等。

li

沿内外境界线逆时针方

(三)柯西定理的总结: 1.闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零; 2.闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向积分和为零; 3.闭复通区域上的解析函数沿境界线逆时针方向积分等于沿所有内境界线逆时针积分之和。 4.对于某个闭单通或闭复通于区上为解析的函数,只有起、终点固定不变,当积分路径连续 变形(不跳过“孔”) ,路积分值不变。

2.3 不定积分
(一)不定积分的概念 根据柯西定理,若函数 f(z)在单通区域 B 上解析,则沿 B 上任一路径 L 的积分 ? f ( z ) d z
l

的值只跟起点和终点有关,而与路径无关。因此,当起点和终点固定时,这个不定积分就定 义了一个单值函数,记作 F ( z ) ? 例如 I ?

?

z

z0

f (? ) d ?

? (z ? ? )
l

n

dz

( n 为整数 ).

1. 若回路 L 不包围点 ? ,则被积函数在 l 所包围的区域上是解析的,按照柯西定理,积分
第一章复变函数论总结

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值为零。 2. 接着讨论 L 包围 ? 的情形,如果 n ? 0 ,被积函数在 l 所包围的区域是解析的,积分值 也为零; 如果 n ? 0 , 被积函数在 l 所包围区域有一个奇点 ? , 我们可以将 L 变形一点 ? 为圆心,R 为半径的圆周 C,R 是相当任意的,在 C 上 z ? ? ? Re
I ?
i?

? (z ? ? )
l

n

dz ?

?

R e

n

in ?

d (? ? Re

i?

)?

C

?

2?

R e

n

in ?

R e id ?

i?

0

? iR

n ?1

?

2?

e

i ( n ?1)?

d?

l
?
n ?1

0

讨论:1. 当 n ? -1时, I ? iR

1 i ( n ? 1)

e

i ( n ?1)?

2? 0

?0

l?

2. 当 n ? -1时, I ? i ?

2?

d ? ? 2? i

0

2.4 柯西公式
单通域柯西公式:若 f(z)在闭单通区域 B 上解析,L 为 B 的境界线,α 为 B 内一点,则
f (? ) ?

? 2? i

1

f (z) z ??

dz 。

l

复通域柯西公式:若 f(z)在 L 上所围区域上存在奇点,则考虑挖去奇点后的复通区域。在复 通区域上 f(z)解析,则柯西公式仍成立,只要将 L 理解为所有的境界线,且均取正向。 柯西导数公式: 由于 z 为区域内点, 积分变数在境界线上, -z≠0,积分号下的导数 f(ξ )/(ξ ξ -z)在区域上处处可导。因此,可以在积分号下对 z 求导,得: f ? ( z ) ?

? 2 ? i (?
l

1!

f (? ) ? z)
2

dz 反

复在积分号下求导,得 f (三)典型例题 已知函数? ?t , x ? ? e 路积分。
2 tx ? t
2

(n)

(z) ?

? 2 ? i (?
l

n!

f (? ) ? z)
n ?1

dz 。

。将 x 作为参数, t 为复变数,应用柯西公式将

? ?
n

?t

n t?0

表示成回

3.1 复数项级数
(一)设有复数项的无穷级数 ? w k ? w1 ? w 2 ? ? ? w k ? ? 他的每一项都可以分为实部和
k ?1 ?

虚部, w k ? u k ? iv k 那么他的前 n+1 项的和可以表示为:
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?

n

wk ?

k ?1

?

n

k ?1

u k ? i? vk ,
k ?1

n

lim

n? ?

?

n

w k ? lim

k ?1

n? ?

?

n

u k ? i lim

k ?1

n? ?

?v
k ?1

n

k

这样,复数项无穷级数的收敛问题就归结为两个实数级数的收敛问题。 级数收敛的判断依据
n? p

(二)柯西收敛判据:对于任一给定的小正数ε ,存在一个 N,使得 n>N 时 |

k ? n ?1

?w

k

|? ?



p 为任意正整数。 绝 对 收 敛 : 如 果 复 数 项 级 数 各 项 的 模 ( 正 实 数 ) 组 成 的 级 数 收敛,则 wk 绝对收敛。 (三)绝对收敛级数的性质 绝对收敛的复数项级数必是收敛的,各项先后次序可变,其和不改变。 应用柯西收敛判据,复变项级数在 B(或 l)上收敛的充要条件是: 在 B ( 或 l ) 上 各 点 z , 对 于 任 一 给 定 小 正 数 ε , 存 在 N(z) , 使 得 n>N(z) 时 ,
n? p

|

k ? n ?1

?w

k

( z ) |? ? ,p 为任意正整数。如果 N 与 z 无关,则复变项级数在 B (或 l)上一致收

敛。 (四)典型例题

3.2 幂级数
(一) 各项都是幂函数的复变项级数 ? a k ( z ? z 0 ) ? a 0 ? a 1 ( z ? z 0 ) ? a 2 ( z ? z 0 ) ? ? 其中
k 2 k ?1 ?

z0,a0,a1,a2,…都是复常数。这样的级数叫做以 z0 为中心的幂级数。 绝对收敛:由幂级数各项模组成的正项级数|a0|+|a1||z-z0|+|a2||z-z0|2+…+|ak||z-z0|k+… (二)正项级数的收敛性的判别: 1.达朗贝尔判别法 如果 lim
| a k ? 1 || z ? z 0 | | a k || z ? z 0 |
k ?1 k

k??

? lim |
k??

a k ?1 ak
k ?1 k

|| z ? z 0 |? 1 则正项级数收敛,幂级数绝对收敛。如果

| z ? z 0 | ? R , 则 lim

| a k ? 1 || z ? z 0 | | a k || z ? z 0 |

k??

? lim

| a k ?1 | | ak |

k??

R ? 1 也就是说, 幂级数后面的项的模越来

越大,必然是发散级数。即如果|z-z0|>R,则发散。 那么以 z0 为圆心做一个半径为 R 的圆 CR,圆内绝对收敛,圆外发散。CR 称为幂级数的收 敛圆,半径 R 为收敛半径。 3. 根值判别法 如果 lim 如果 lim
k k??

| a k || z ? z 0 | ? 1 ,则正项模级数收敛,幂级数绝对收敛;
k

k

k??

| a k || z ? z 0 | ? 1 ,则正项模级数发散,幂级数绝对发散;
k

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收敛半径为 R ? lim

1 | ak |

k?? k



幂级数在收敛圆内的性质: 1.和函数是解析函数; 2.可以逐项求导,且收敛半径不变; 3.可以逐项积分,且收敛半径不变; (三)典型例题 (四)人物传记 达朗贝尔:法国著名的物理学家、数学家和天文学家,一生研究了大量课题, 完成了涉及多个科学领域的论文和专著, 其中最著名的有八卷巨著 《数学手册》 、 力学专著《动力学》 、23 卷的《文集》《百科全书》的序言等等。他的很多研究 、 成果记载于《宇宙体系的几个要点研究》中。 达朗贝尔生前为人类的进步与文 明做出了巨大的贡献,也得到了许多荣誉。

3.3 泰勒级数展开
(一)已知,任意阶导数都存在的实变函数可以展开为泰勒级数,既然解析函数的任意阶导 数都存在,也希望能把解析函数展开为复变项的泰勒级数。 定理:设 f(z)在以 z0 为圆心的圆 CR 内解析,则对圆内任意 z 点,f(z)可以展开为幂级
f (z) ?

?a
k ?0

?

k

( z ? z 0 ) 其中 a k ?
k

? 2? i

1

f (? ) (? ? z 0 )
k ?1

d? ?

f

(k )

( z0 )

C R1

k!

。 C R 为圆 C R 内包含 z
1

且与 C R 同心的圆。 泰勒展开公式(具有唯一性) :
f (z) ?

?a
k ?0

?

k

( z ? z 0 ) ? a 0 ? a1 ( z ? z 0 ) ? a 2 ( z ? z 0 ) ? ?
k 2

ak ?

f

(k )

( z0 )

k!

(二)几个典型的泰勒展开公式 1. e ?
z

?

?

f

(k )

( z0 )

k ?0

k!

( z ? z0 ) ?
k

?
k

?

z

k

k ?0

k! z 1!
k

(在 z 0 ? 0 的邻域)
3 5 7

2. sin z ?

?

?

f

(k )

( z0 )

k ?0

k!

( z ? z0 ) ?

?

z

?

z

?

z

3!

5!

7!

? ? (在 z 0 ? 0 的邻域)

3. ln z ? n 2 ? i ?

?

?

( ? 1)

k ?1

( z ? 1) k

(在 z 0 ? 1 的邻域)

k ?1

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4.

?1 ? z ?
1 1? Z ?

m

m m ( m ? 1) 2 m ( m ? 1) 3 ? m ? ? 1 ?1 ? z? z ? z ? ? ? (在 z 0 ? 0 的邻域) 1! 2! 3! ? ?
?

5.

?Z
k ?0

k

?

? (? z
k ?0

?

2

) ?
k

? ( ? 1)
k ?0

?

k

z

2k

(在 z 0 ? 0 的邻域)

(三)典型例题 (四)人物传记 泰勒:18 世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒。泰 勒的主要著作是 1715 年出版的《正的和反的增量方法》 ,书内以下列形式陈 述出他已于 1712 年 7 月给其老师梅钦(信中首先提出的著名定理--泰勒定 理:泰勒定理开创了有限差分理论,使任何单变量函数都可展成幂级数;同 时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者。泰勒于书中还讨论了微积分对一系 列物理问题之应用,其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。他透过求解 方程 导出了基本频率公式,开创了研究弦振问题之先河。

3.4 解析延拓 3.5 洛朗级数展开
(一)当所研究的区域上存在函数的奇点时,就不能将函数展为泰勒级数,而需要考虑除去 奇点的环域上的展开,这就是洛朗级数展开。 定理: 设 f(z)在环形区域 R 1 ? z ? z 0 ? R 2 的内部单值解析,则对环域上的任意一点,f(z)可展为幂 级数 f ( z ) ?

k ? ??

?a

?

k

( z ? z 0 ) ,其中 a k ?
k

? 2 ? i (?
c

1

f (? ) ? z0 )
k ?1

d ? ,积分路径 C 位于环域内按逆

时针方向绕内圆一周的任意闭合曲线。 (二)几个典型的洛朗展开公式
1

1. e z ?

k ? ??

?

0

1 ( ? k )!
1 1

z

k

( 0 ? | z |)

2.
z

1
2

?1

?

2 z ?1

?

1

? 4
?

?

( ? 1) (
k

z ?1 2

)

k

?

1

1

k ?0

2 z ?1

?

? ( ? 1)
k ?0

?

k

1 2
k?2

( z ? 1) ( 1 ? z ? ? )
k

3.

sin z z

?1?

z

2

?

z

4

z

6

? ? ( 0 ? | z |? ? )

3!

5!

7!

(三)洛朗展开和泰勒展开的区别与联系 联系:都是单值解析函数;展开形式均以 z 0 为展开中心。
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区别:1. z 0 是泰勒函数 f(z)的奇点,洛朗展开中的 z 0 不一定是 f(z)的奇点; 2. 泰 勒 展 开 的 区 域 是 z - z 0 ? R , 是 绝 对 且 一 致 收 敛 的 函 数 。 洛 朗 展 开 的 区 域 是
R 1 ? z ? z 0 ? R 2 ,也是绝对且一致收敛的函数;

3.泰勒展开无负幂次项,洛朗展开可以有负幂次项,也可以没有负幂次项。 (三)典型例题 在挖去奇点 z 0 的环域上或指定的环域上将下列函数展为洛朗级数 (五)人物传记 洛朗:法国数学家提出洛朗级数,复变函数 f(z)的洛朗级数,是幂级数的一 种,它不仅包含了正数次数的项,也包含了负数次数的项。有时无法把函数 表示为泰勒级数,但可以表示为洛朗级数。

3.6 孤立奇点的分类
孤立奇点:若函数 f(z)在某点 z0 不可导,而在 z0 的任意小邻域内除 z0 之外处处可导,则 z0 为 f(z) 的孤立奇点。 若在 z0 无论多么小的邻域内总可以找到除 z0 外的不可导点,z0 为 f(z)的非孤立奇点。 在挖去孤立奇点 z0 而形成的环域上的解析函数 f(z)的洛朗级数分三种: (1)无负幂项, z 0 为 f(z)的可去奇点; (2)有有限个负幂项, z 0 为 f(z)的极点; (3)有无限个负幂项, z 0 为 f(z)的本性奇点。 典型例题 设函数 f ? z ? 和 g ? z ? 分别以点 z 0 为 m 阶和 n 阶极点,问对下列函数而言, z 0 是何种性质的 点: (1)
f ?z ? g ?z ?

; (2) f ? z ? g ? z ? ; (3) f ? z ? ? g ? z ?

4.1 留数定理
(一)留数的定义:单值函数 f(z) 在孤立奇点 z 0 邻域内的洛朗展开 f ( z ) ? 其中的 ( z ? z 0 ) 项的系数称为 f(z) 在 z 0 处的留数,记作 res f ( z 0 ) 。 这样 ? f ? z 0 ?d z ? 2 ? i R es f ? z 0 ?
l
?1
l ? ??

?a

??

(k ) l

(z ? z0 )

k

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(二)留数定理:函数 f(z)在回路 l 所围区域 B 是除有限个孤立奇点 b1 , b 2 , ? , b n 外解析,在 闭区域上除点 b1 , b 2 , ? , b n 外连续,则 ? f ( z ) dz ? 2 ? i ? Re sf ( b j )
l j ?1 n

(三)留数的计算 1. 单极点的情况:
? P(z) ? (z ? b) P (b ) R es f ? z 0 ? ? lim ?( z ? b ) f ( z ) ? ? lim ? ( z ? b ) ? ? ? P ( b ) limb z?b z?b z? Q (z) ? Q (z) Q ?( b ) ?

2. m 阶极点的情况:
R es f ? z 0 ? ? 1 ( m ? 1)! lim d dz
m ?1 m ?1

z ? z0

(z ? z0 )

m

f (z)

(四)典型例题 1.计算下列函数的奇点,求出函数在各奇点的留数 (1) z (2) 1

? z ? 1 ?? z ? 2 ? 2



?z
dz

3

? z

5

?。
( l 的方程是 x ? y
2 2

2.计算函数的回路积分

? ?z
l

2

? 1 ?? z ? 1 ?

2

? 2 x ? 2 y ? 0)

3.应用留数定理计算回路积分 是这区域的一个内点。

? 2? i
l

1

f ?z ? z ??

d z ,函数 f ? z ? 在 L 所包围的区域上是解析的,?

4.2 留数定理是复变函数的定理
若要在实变函数定积分中应用, 必须将实变函数变为复变函数。 这就要利用解析延拓的概念。 留数定理又是应用到回路积分的, 要应用到定积分, 就必须将定积分变为回路积分中的一部 分。
2?

类型一: I ?

? R (sin
0

? , cos ? ) d ? 被积函数是三角函数的有理式,积分区间是 ?0 , 2 ? ? ,做变
? z 2 ? 1 z 2 ? 1 ? dz R? ? ? 2 iz , 2 z ? iz ? ? ? z ?1

i? 换 z ? e ,于是原积分化为 I ?

??

类型二:

??

?

f ( x ) dx 积分区间 ?- ? , ? ? ;复变函数 f(z)在实轴上没有奇点,在上半平面除有

限个奇点是解析的;当 z 在上半平面及实轴上 ? ? 时,zf(z)一致的→0.
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物理与电子信息学院 09 级物理汉班

R2

这个积分通常看作为极限 I ? lim

R 1 ? ?? R 2 ? ? R1

?

f ( x ) dx

R

?R

?

f ( x ) dx ? 2 ? i{ ? Re sf ( z j ) , z j ? 上半平面 }
j

?

?

类型三: ? F ( x ) cos mxdx , ? G ( x ) sin mxdx . 偶函数 F(z) 和奇函数 G(z) 在实轴上无奇点,
0 0

在上半平面除有限个奇点外是解析的;当 z 在实轴和上半平面趋于无穷大, F(z) 和 G(z) 一致地趋于零。 做变换得
?

? F ( x ) cos
0 ?

mxdx ?

1

? F ( z )e 2
l

imz

dz ? ? i ? Re sF ( z j )e
j

imz

j

, z j ? 上半平面。

? G ( x ) sin
0

mxdx ?

? G ( z )e 2i
l

1

imz

dz ? ?

? Re
j

sG ( z j )e

imz

j

, z j ? 上半平面。

典型例题 计算下列实变函数的定积分
??

1.

??
2?

?

x ?1
2 4

x ?1



2.

? ?1 ? ? cos x ? , ?0 ? ?
2 0

dx

? 1? ;

?

3. ?
0

cos mx 1? x
4

dx,m ? 0 。

5.1 傅里叶级数
(一)周期函数的傅里叶展开 若函数 f(x)以 2l 为周期,即 fx)= f(x+2l),则可取三角函数族,将 f(x)展开为级数
f (x) ? a0 2 ?

? (a
n ?1

?

n

cos

n? l

x ? b n sin

n? l

x)

其中 a n ?

1

? l

l

?l

f ( x ) cos

n? l

xdx , b n ?

1

? l

l

?l

f ( x ) sin

n? l

xdx

注意:对于非周期函数,如果函数 f(x)只在区间 [ ? ? , ? ] 上有定义,并且满足收敛定理条件,也 可展开成傅立叶级数. (二)傅里叶级数收敛的定理 狄里希利定理:若函数 f(z) 满足条件 (1) 处处连续,或在每个周期内只有有限个第一类间
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断点;(2) 在每个周期内只有有限个极值点,则三角级数收敛,
? f ( x ), ? ?2 ? { f ( x ? 0 ) ? f ( x ? 0 )}. ( 在连续点 x ) ( 在间断点 x )

且 级数和 ? ? 1

(三)奇函数和偶函数的傅里叶展开 1. 奇函数的傅里叶展开: f ( x ) ?

?b
n ?1

?

n

sin

n?x l

,其中 b n ?
n?x l

2 l

?

l

f ( x ) sin

n?x l

dx 。

0

2. 偶函数的傅里叶展开: f ( x ) ?

a0 2

?

?a
n ?1

?

n

cos

其中 a n ?

2 l

?

l

f ( x ) cos

n?x l

dx 。

0

(四)定义在有限区间上的函数傅里叶展开 对于只在有限区间,可以采取延拓的方法,使其成为某种周期函数 g ? x ? ,而在 ? 0, l ? 上
g ? x ? ? f ? x ?, 然后在对 g ? x ? 作傅里叶展开,其级数区间在 ? 0, l ? 上代表 f(x)。

两种特殊的展开:1.如果 f ?0 ? ? f ?l ? ? 0 ,这时应延拓成奇的周期函数; 2.如果 f ??0 ? ? f ? ?l ? ? 0 ,这时应延拓成偶的周期函数; (五)复数形式的傅里叶级数
k?x l

周 期 函 数 f(x) 展 开 为 复 数 形 式 的 傅 里 叶 级 数 为 : f ? x ? ?

k ? ??

?c

?

i k

e

,其中

ck ?

? ? f ?? ? ? e 2l ? ?
1
l ?l

ik ? l

? ? ? ?

*

d? .

(六)典型例题 1.交流电压 E 0 sin ? t 经过全波整流,成为 E ?t ? ? E 0 sin ? t 。将它展为傅里叶级数; 2.将锯齿波展为傅里叶级数。在 ? 0 , T ? 周期上,该锯齿波可以表示为 f ? x ? ? x 。

3

3.在区间 ? 0 , l ? 定义了函数 f ? x ? ? x ,试根据条件 f ? ?0 ? ? 0 , f ?l ? ? 0 ,将 f ? x ? 展为傅里叶 级数; 4.将函数 f ? x ? ? cos x 展为傅里叶级数。
3

(七)人物传记 傅里叶:法国数学家及物理学家,主要贡献是在研究热的传播时创立了一
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套数学理论。1807 年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文,推导出著名的热传导方程 ,并 在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示, 从而提出任一函数都可以 展成三角函数的无穷级数,傅里叶级数(即三角级数) 、傅里叶分析等理论均由此创始。

5.2 傅里叶积分与傅里叶变换
(一)实数形式的傅里叶变换 周期函数变为傅里叶级数,被看作周期函数从时域到频域的变换。不过,由于时域的函数具 有周期性,频域的函数是离散的级数。有限区间的函数可以延拓为周期函数。因此,失去周 期性的时域中的函数的定义域当为 ? ? ? x ? ? 。从方便于研究而言,它又可以看作为周期 趋于无穷大的函数。 非周期函数的傅里叶级数积分: f ( x ) ? 实数形式的傅里叶变换: B (? ) ?
1

?

?

A (? ) cos ? xd ? ?

0

?

?

B (? ) sin ? xd ?
1

0

?

?

?

??

f (? ) sin ?? d ? , A (? ) ?

?

?

?

??

f (? ) cos ?? d ? 。

傅里叶积分定理:若函数 f ? x ? 在区间 ( ?? , ? ) 上满足条件(1) 在任意有限区间满足狄 里希利条件;(2) 在区间 ( ?? , ? ) 上绝对可积(即 ?
?

??

f ( x ) dx 收敛) ,则 f(x) 可表为

傅里叶积分,且傅里叶积分值= [ f ( x ? 0 ) ? f ( x ? 0 )] / 2 。 (二)复数形式的傅里叶积分 出了实数形式,还有复数形式的傅里叶积分,而且在很多情况下,复数形式的傅里叶积分比 实数形式的傅里叶积分使用起来更为方便。 复数形式的傅里叶积分:f ( x ) ?

?

?

A (? ) cos ? xd ? ?

0

?

?

B (? ) sin ? xd ? ?

0

?

?

??

F (? ) e

i? x

d? .

(三)两种特殊函数的傅里叶积分和傅里叶变换 1.奇函数: f ( x ) ? 2.偶函数: f ( x ) ?

? ?

?

B ( ? ) sin ? xd ? , B (? ) ? A (? ) cos ? xd ? , A ( ? ) ?

2

0 ?

?
2

?

?

f (? ) sin ?? d ? 。 f ( ? ) cos ?? d ? 。

0 ?

0

?

?

0

(四) 傅里叶变换的基本性质 1.导数定理: F [ f ' ( x )] ? i ? F (? ) ; 2.积分定理: F [ ?
(x)

f ( x ) dx ] ? 1 a

1 i? F(

F (? ) ;

3.相似性定理: F [ f ( ax )] ?

?
a

);
F (? ) ;

4.延迟定理: F [ f ( x ? x 0 )] ? e 5.位移定理: F [ e
? i? 0 x

? i? x 0

f ( x )] ? F (? ? ? 0 ) ;

6.卷积定理: F [ f 1 ( x )] ? F1 (? ) F [ f 2 ( x )] ? F 2 (? ) , F [ f 1 ( x ) ? f 2 ( x )] ? 2 ? F1 (? ) ? F 2 (? ) 则
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(五)典型例题 1.在边界条件下 f ?0 ? ? 0 ,将定义在 ?0 , ? ? 上的函数 f ? x ? ? e
? ?x

展为傅里叶积分;

? 0 , ?t ? T ? ? ? ? h , ?? T ? t ? 0 ? 2.将下列脉冲 f ?t ? 展开为傅里叶积分, f ?t ? ? ? 。 ? h , ?0 ? t ? T ? ? 0 , ?T ? t ? ?

5.3 ? 函数
(一) ? 函数作为广义函数的引入 物理上,存在这样的物理量,在无限小的范围内具有有限大小的量。这样的量的密度为无穷 大,但是在整个空间这个物理量的总量却为有限。 对于指点,点电荷,瞬时力这类集中于空间某一点或时间的某一瞬时的抽象模型,在物理学 中引入 ? 函数以描述其密度:
b

?
a

? ( x ) dx ? ?

? 0, ?1 .

(a , b ? 0, 或 a , b ? 0) (a ? 0 ? b0)

(二) ? 函数的一些性质 1.
? 偶函数,它的导数是奇函数 ? ( ? x ) ? ? ( x ) , ? ' ( ? x ) ? ? ? ' ( x ) ;

2.

阶跃函数或亥维赛单位函数 H ( x ) ?
?

?? ? ? ( t ) dt ? ?

x

?0, ?1 .

( x ? 0) ( x ? 0)



3. 挑选性

??

?

f (? ) ? (? ? t 0 ) d ? ? f ( t 0 ) ;

(二)典型例题 将 ? ? x ? 展为实数形式的傅里叶积分。

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